1-5-无穷大与无穷小

1、一、无穷小一、无穷小1、定义、定义:定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 )(xf, ,那末那末 称函数称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, ,记作记作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时的

2、无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数）零是可以作为无穷小的唯一的常数.2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则有则有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx )(

3、lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);).(,)()(20 xAxfxxf 误差为误差为式式附近的近似表达附近的近似表达在在）给出了函数）给出了函数（ 3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.证证,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 x使

4、得使得, 0, 0, 021 NN;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时恒有时恒有当当Nx,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nx 22 , )(0 x注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设函数),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒有恒有时时使得当使得当则则,0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设xx .0, 0, 0202Mxx

5、恒有恒有时时使得当使得当推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.,min21 取取恒有恒有时时则当则当,00 xx uuMM , .,0为无穷小为无穷小时时当当 uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小二、无穷大二、无穷大定义定义2 2 设设函数函数)(xf在在0 x某某一一去去心心邻域邻域内内有有定定义义 （或或x大大于于某某一一正数正数时时有有定

6、义定义） 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数M( (不不论它多么大论它多么大),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不使得对于适合不等式等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf总总满足不等式满足不等式 Mxf )(, , 则称函数则称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷大时为无穷大, ,记作记作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或 绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)(

7、)(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;.)(lim20认为极限存在认为极限存在）切勿将）切勿将（ xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充分大时充分大时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充分大时充分大时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，.11lim1 xx证

8、明证明例例证证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有时时使得当使得当.)(1 xf即即.)(1,0为无穷

9、小为无穷小时时当当xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反之反之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx , 0)( xf由于由于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.四、小结四、小结1、主要内容、主要内容: 两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不

10、能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；思考题思考题若若0)( xf，且且Axfx )(lim，问问：能能否否保保证证有有0 A的的结结论论？试试举举例例说说明明.思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx一、填空题一、填空题: :1 1、 凡凡无无穷穷小小量量皆皆以以_ _ _ _ _ _ _ _ _为为极极限限. .)(,_2的水平渐近线的水平渐近线是函数是函数直线直线条件下条件下、在、在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其中其中、._,)(,4是无穷小是无穷小则则是无穷大是无穷大若若、在同一过程中、在同一过程中xf.10,21,0:4 yxxxyx能使能使应满足什么条件应满足什么条件问问是无穷大是无穷大函数函数