福建省福州市2018届高中毕业班第二次质量检测数学理试题

1、2018年福州市高中毕业班质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120 分钟；满分：150 分）注意事项：1本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2本试卷分为第卷 (选择题 )和第卷 ( 非选择题 )两部分，全卷满分 150 分，考试时间120 分钟参考公式：1样本数据 x1, x2 , , xn 的标准差2球的表面积、体积公式：1x1x22xn2，S 4R2, V4R3 ，sx2xx3n其中 R 为球的半径其中 x 为样本平均数；第卷（选择题共 50分）一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分在每小题所给的四

2、个选项中有且只有一个选项是正确的把正确选项涂在答题卡的相应位置上）1 已知全集 UR，集合 Mx 2 ,x2 ， Px yx ，则 MeU P 等于A 2,0B2,0C 0,2D 0,22 在平面直角坐标系xOy 中，已知角的顶点与点 O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点 M 的坐标为 (3,1) ，则 cos() 的值是3开始A 0.5B 0C 0.5D 1S0,n13 在等差数列an中，若 a21 ， a82a6a4 ，则 a 5 的值是SS1 nA 5B1C 1D 5222nn14 4否4 若 a44n 2015?xdx,bdx,c2dx ，则 a,b, c 的大小关系为是2

3、2 x2输出 SA abcB bac结束C bcaD cba第5题图5 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为A 1B1C 0D 20146 在棱长为3 的正方体内任取一点P ，则点 P 到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1 的概率为A 1BC 1D 2627162162277 “直线 l 垂直于平面”的一个必要不充分条件是A 直线 l 与平面内的任意一条直线垂直B 过直线 l 的任意一个平面与平面垂直 C存在平行于直线 l 的直线与平面垂直 D 经过直线 l 的某一个平面与平面垂直8 已知EFH是边长为1 的正三角形，动点G在平面EFH内若EGEF 0，1，则HG EF|HG|的取值范围

4、为A 1, 1)B 1, 1223331C( ,D( ,)第8题图24229若函数f ( x)满 足 ：x1 , x2 1，1， 都 有f ( 1 x )f (,2 x)1 成x立，则2x称f ( x)对于函数 g ( x) x3x , h( x)1 x,x 0, 有cos x,x 0A g ( x)且 h(x)B g ( x)且 h( x)C g ( x)且 h( x)D g ( x)且 h( x)10某医务人员说： “包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16 名无论是否把我算在内，下面说法都是对的在这些医务人员中：护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一名男医生 ”请你

5、推断说话的人的性别与职业是A 男医生B男护士C女医生D 女护士第卷 （非选择题共 100 分）二、填空题（本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分. 把答案填在答题卡的相应位置上）已知a, bR，i为虚数单位，若ai = 2 + bi ，则(abi)21112 ( x2a22a)4展开式的常数项为 280，则正数 a 2x13 已知抛物线24x 的焦点为 F ， P 是的准线上一点，Q是直线 PF与的一个交点若: yPQ2 QF学优网 ，则直线 PF 的方程为 14已知一组正数x , x, x的方差2112223212)，则数据x1 1, x21,x31的平均数为123s3( xxx 15已

6、知函数 f xx sin x ，有下列四个结论： 函数 fx的图象关于 y 轴对称； 存在常数 T0 ，对任意的实数x ，恒有 fxTfx成立； 对于任意给定的正数M ，都存在实数 x0 ，使得 fx0M ； 函数 fx的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合其中正确结论的序号是 (请把所有正确结论的序号都填上)三、解答题（本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x)3sinx cosx(0) 的图象与直线 y2 的相邻两个交点之间的距离为（）求函数f (x) 的单调递增区间；（）设ABC 的内角 A, B

7、,C 所对的边分别是a, b, c 若 f ( A)2, a3b ，求角B 的大小17（本小题满分 13 分）调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性现将这三项的满意度指标分别记为x, y, z ，并对它们进行量化： 0 表示不满意， 1 表示基本满意，2 表示满意，再用综合指标w x yz 的值评定中年人的成就感等级：若w 4 ，则成就感为一级；若2 剟 w 3 ，则成就感为二级；若0 剟 w 1 ，则成就感为三级为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10 名中年人，得到如下结果：人员编号A1A2A3A4A5x, y, z1,1,22,

8、1,12,2,20,1,11,2,1人员编号A6A7A8A9A10x, y, z1,2,21,1,11,2,21,0,01,1,1（）在这10 名被采访者中任取两人，求这两人的职业 满意度指标z 相同的概率；（）从成就感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为a ，从成就感等级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量Xab ，求X的分布列及其数学期望18（本小题满分13 分）已知一个空间几何体的直观图和三视图（尺寸如图所示）（）设点M 为棱 PD 中点，求证：EM 平面 ABCD ；（）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于2 ？若

9、存在，试确定点 N 的位置；若不存在，请说明理由519（本小题满分13 分）221 点 F, A 分别为椭圆如图，已知椭圆xy1（ ab 0 ）的离心率e的: a2b22左焦点和右顶点，且AF3 yQ（）求椭圆的方程；（）过点 F 作一条直线 l 交椭圆于 P,Q 两点，点 Q关AFOx于 x 轴的对称点为Q 若 PF AQ ，求证：1PFAQ2PQ'20（本小题满分 14 分）第 19题图已知函数 f ( x) a xa x， ae ， e 2.71828为自然对数的底数（）当 ae 时，求函数 f ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程；（）设 nN * ，比较 n(n

10、1)ln a 与 ln( a 1)ln(2 a 1) ln(3a 1)ln( na 1) 的2大小，并加以证明21本题设有（ 1）（ 2）（ 3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分若多做，则按所做的前两题计分（ 1）（本小题满分7 分） 选修 4 2：矩阵与变换22已知矩阵 A 的逆矩阵A12222A ；22（）求矩阵（）求曲线xy1在矩阵 A 所对应的线性变换作用下所得的曲线方程（ 2）（本小题满分7 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程为x22cos, （为参数）在平面直角坐标系中，以坐y2sin标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立

11、极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为cos2 24（）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1与 C2交点的极坐标（厔0,02）（ 3）（本小题满分7 分） 选修 4 5：不等式选讲已知定义在 (0,) 上的函数 fx2a0 的最小值为 3 xa（）求 a 的值；x（）求不等式xax 1 ,4 的解集2018 年福州市高中毕业班质量检测理科数学能力测试参考答案及评分细则第卷 （选择题共 50分）一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分）1A2B 3B 4C 5C 6D 7D8A9C 10B第卷 （非选择题共 100 分）二、填空题（本大题共5 小题，每小题4 分，共20

12、分）11 34i12213 xy1 0 或 xy1 014 315三、解答题（本大题共6 小题，共80分)16本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式、利用正弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想满分13 分解： ( )因为 f ( x)3sinxcosx(0, xR) ，所以 f (x)2sin(x ·················

13、······················1 分)62 ···························

14、;··········2 分所以函数f ( x) 的最大值为因为函数f ( x) 的图象与直线y 2 的相邻两个交点之间的距离为，所以T， ······························

15、················3 分所以 2 ，解得2, ·······························

16、3;·······4 分所以 f (x)2sin(2 x).6令 2kZ ， ·······························5 分2剟2x2k, k62解得 k 剟 x k, k Z63所以函数f ( x

17、) 的单调递增区间是 k, k, k Z ··················6 分63( )由 ( )知， f (x)2sin(2 x).ABC 中，因为 f ( A)2,6在所以所以因为2sin(2 A2,)6sin(2 A1,)60A，所以··············

18、83;·························7 分A ·······················

19、3;··············9 分 3因为 a3b ，根据据正弦定理，有sin A3sin B ， ·······················10分所以 sin1 ， ····

20、83;·······················11分3sin B ，所以 sin B32因为 ab ，所以 A B ，所以 0B， ···················&#

21、183;······12分3所以B··········································&

22、#183;··13 分617本小题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等满分13 分解：（）设事件A 为 “从 10 名被采访者中随机抽取两人，他们的职业满意度指标相同”职业满意度指标为0的有： A9；职业满意度指标为1的有： A2,A4,A5,A7,A10；职业满意度指标为2的有： A1, A3 , A6 , A8从 10 名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为C102 ， ········&

23、#183;······1分45 ， ·················2分职业满意度指标相同的所有可能结果数为C52C42 ····················

24、83;···3分10 6 16 ， ············4 分所以他们的职业满意度指标相同的概率P( A)16 ······················5 分45（）计算10 名被采访者的综合指标，可得下表：人员编号A1A

25、2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指标4462453513其中成就感是一级的 （ w4 ）有： A1 、A2、 A3 、 A5 、 A6 、 A8 ，共 6 名，成就感不是一级的 （ w4 ）有 A4、 A7、 A9 、 A10，共 4名随机变量 X 的所有可能取值为：1,2,3,4,5 ························6 分P( X1

26、)C31C211······································7 分C61 C41,4P( X2)C31C11C21 C217 ， ·····

27、;··························8 分C61 C4124P( X3)C31C11C21 C11 C21 C117， ·················

28、;·······9 分C61 C4124P( X4)C11C11C21C111······························ 分C61 C41,108P( X5)C11C111 ， ···

29、;···································11 分C61 C4124所以 X 的分布列为X12345p1771142424824·······

30、3;···············································12 分所以 E(X)11273

31、74 15129 ···············13 分424248241218本小题主要考查空间体的直观图与三视图、直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想满分13 分（）证明：（方法一）由三视图知，BA, BP, BC 两两垂直，故以B 为原点， BA, BP, BC 分别为 x轴， y 轴， z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

32、1 分则 P(0,2,0),1D(2,0,1), M (1,1, ), E(2,1,0), C (0,0,1) ,1,0, 1)，2所以 EM =(2易知平面 ABCD 的一个法向量等于n (0,1,0) ， 3 分所以 EM n=(1,0, 1 ) (0,1,0) 0,2所以 EMn ，··························

33、;···················4 分又 EM 平面 ABCD ，所以 EM 平面 ABCD ·························

34、3;·············5 分（方法二）由三视图知，BA, BP, BC 两两垂直连结 AC, BD ，其交点记为O ，连结 MO , EM ·······················1 分因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O

35、为 BD 中点因为 M 为 PD 中点，所以OM PB，且OM1 2 分PB2又因为 AE PB ，且 AE1PB ，2所以 AEOM , 且AE=OM 所以四边形 AEMO 是平行四边形，所以 EM AO 4分因为 EM平面 ABCD ， AO平面 ABCD所以 EM 平面 ABCD ··························

36、·············5 分（）解：当点N 与点 D 重合时，直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值为2 ···6分5理由如下：因为 PD(2,2,1),CD(2,0,0) ，设平面 PCD 的法向量为 n1(x1, y1 , z1 ) ，n1PD0,2x12y1z10,由得2x10.············&

37、#183;···············7 分n1CD0取 y11 ，得平面 PCD 的一个法向量n1 (0,1,2) ························8 分假设线段 PD 上存在一点 N ，使

38、得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 2 5设 PNPD(01) ，则 PN(2,2,1)(2, 2 ,)， BN BP PN(2,2 2,) ·········9 分所以 sin| cosBN , n1| BN n1 |·······················

39、···10 分| BN | | n1 |222 ············12 分5 (2)2(2 2)2( ) 25 9 2845所以 92810 ，解得1 或1(舍去 )9因此，线段 PD 上存在一点 N ，当 N 点与 D 点重合时， 直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于2 5·············&

40、#183;·········································13 分19本小题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系、推理与证明等基础知识，考查推

41、理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等满分13 分c1 ,解 :（）设椭圆的半焦距为 c ，依题意，得a2················2 分ac3,b2a2c2 .a2,····················&#

42、183;························3 分解得3.b2所以椭圆的方程为 x2y21 ·····················&#

43、183;···········4 分43（）方法一：依题意得，PQ 与坐标轴不垂直设P x1 , y1,Q x2 , y2因为点 Q 与点 Q 关于 x 轴对称,所以 Qx2 ,y2由（）讨论可知，A2,0, F1,0因为 PF AQ ，所以直线FQ 与直线 AQ 的斜率相等，故y2y2， ·······6 分x21x2 2解得 x21 ······

44、3;······································7 分2又因为点Qx2 , y2在椭圆35，或y235 ·······

45、····8 分上，所以 y244由椭圆对称性，不妨取y235，则直线 PQ 的斜率 ky254x212所以直线 PQ 方程为 y5 x1 ·······························9 分2由 y5x1 ,得点 P坐标为7 ,3 5

46、 ·······················10 分23x24 y212,y1248k281 ， ········11 分所以 PF2x112x11k2x1121x1 122AQx22y22x22k 2 x2 21 k2x226422281 ···

47、3;····12 分22116所以 PFAQ ··········································13 分2

48、PQ 与坐标轴不垂直方法二：依题意，得设 l 方程为 ykx1（ k0 ）， Px y1 ,1Qx, y 2 , 2因为点 Q与点 Q 关于x 轴对称 , 所以 Qx2 ,y2又因为椭圆关于x 轴对称，所以点Q 也在椭圆上由ykx1 ,消去y得222234kx8kx4 k1 2 ············5 分3x24 y212,08k24k2122 所以0, x1x232,x1x2········

49、···············6 分4k34k因为 PF AQ ，所以直线 AQ 的方程为 ykx2由ykx2,消去y得22224 y234kx16k x16k12073x212, ··········· 分因为直线 AQ 交椭圆于 A 2,0 ,Qx2 ,y2 两点，所以 2 x216k212，故 x28k 262 ·

50、3;···························8 分34k 234k所以0, x1x2x18k268k 22 , x1 x2x18k264k 212，34k234k34k234k2解得 k25 , x17 ·········&#

51、183;······························9 分44所以 x28k 261 ················

52、83;······················10 分322所以 PF4k1y12x11k2x111 k2x1 181 ，2x1222264AQ2x2222x222x2221k2x22281········12 分y22k16所以 PF1AQ ····&#

53、183;·····································13 分2PQ 与坐标轴不垂直方法三：依题意，得设 l 方程为 ykx1 （ k0 ）， Px y1 ,1Qx, y 2 , 2因为点 Q 与点 Q

54、 关于 x 轴对称 , 所以 Qx2 , y2又因为椭圆关于x 轴对称，所以点Q 也在椭圆上直线 PQ 过定点 M4,0， ·······································5 分理由如下：由y2kx21,消去 y 得34k 2x28k 2 x4k2120 ···············6 分3x4 y12,所以0, x1x238k 22, x1 x24k2122 ····················