圆锥曲线中发散思维的培养

1、圆锥曲线中发散思维的培养圆锥曲线有很多性质，如果在学习的过程中善于总结，灵活运用，对解析几 何知识的掌握会有很大的帮助。下面通过一道试题对圆锥曲线的又一个性质做一番 探讨，培养学生的发散思维，增加对圆锥曲线的了解。有这样一道试题：设 A,B是双曲线x? 一 y2 =2的两个顶点，点P是双曲线上异 于顶点的一个动点，直线PA,PB分别交直线x=1于M,N两点，则以MN为直径的圆过 定点(A)(1,0) B (2,0) C (3,0) D (4,0)证明，设 MChyM) N(1, yN ), A(- x 2 ,0) B(、2 ,0)则直线AM的方程为y =_yMX 2 .(1)1+2BN 的方程

2、为 y = yN:ix -2(2)1 _J222直线AM,BN相交于点P(x.y),点P在双曲线x - y =2上(1),(2)式相乘得y2二也 皿x2 -2，将 x2 -y2 =2代入-1得 yN *y t-yN 22又 M N = yM + yN = yM yN以MN为直径的圆为当 y=0 时，有(x -1 f = -yM yN =1 二 x=0 或 x=2-以MN为直径的圆过定点(0,0),(2,0)这个问题中的直线恰是双曲线的准线，定点恰是焦点，于是我们联想到能否把 这个问题推广到一般的双曲线呢？2 2性质一，设 A , A2是双曲线- 1 (a > 0,b > 0)的左右

3、顶点，点 P是双a b曲线上异于 A2 , A的一个动点，P A2 ,P A1分别交准线2a z 22, 2、十x (c a b )于 cM ,N两点，则以M N为直径的圆过定点,a2 -b2C (0)工“a2+b2和D(-c .0)2证明：设M （ ,yM）c2aN (,yN)cAi (-a，0)A2 (a，0)直线AiM的方程为直线A2N的方程为yN x-a2aac两式相乘得y2yMyN x2_a24a2c(i)又两直线的交点2x2a2 y b2yM y n-a2p在双曲线=i代入（i）式2 x 2 a2_ y_b2=1上b2a2-c2-b4yN-以MN为直径的圆为当y=0时 得=yM y

4、Na2 丫圆心（cyM Tn )yM - yN2-yM yNa2 b2a2 -b2x=2,2a +b.圆过定点D(-c0)2,2和 C(a c0)其中点D(c ,0)即为双曲线2 x 2 a2= 1的焦点b2由这个证明过程可以看出，当曲线改为椭圆2 x2 a2爲 =1时应该也有同样的b2结论。2x性质二，设Ai A2是椭圆二a2 y. b2=1的左右顶点,点 P是椭圆上异于Ai A2的一个动点,直线PAi PA2分别交准线2a 222x= (c =a -b )于M ,N两点，则以MN为直c2 _b2径的圆过定点c(ac2 2工a +b0)和 D(-c0)2其中C就是椭圆x2a2y2 =1的焦点

5、。b2证明；略从这两类曲线的共同点可以看出,当直线为2x= 时，以MN为直径的圆过右焦c点。a2当M,N在左准线x=- 时，以MN为直径的圆一定过左焦点。c若曲线变为抛物线 y2=2px时,只有一个顶点 0(0 ,0)及一个焦点(P ,0)，相应的2M,N也有变化。性质三；若P是抛物线y2=2px上异于点0(0 ,0)的一个动点，直线PO与准线x=-相交于M,直线PN垂直于准线x=-卫并与准线相交于 N，则以MN为直径的2 2圆过定点F( P ,0)及E( -亚，0)2 2这个性质与抛物线的另一个性质相吻合。即抛物线y2=2px的焦点弦为 PQ,PN,QM与准线x=-卫分别相交于N,M，PN,QM都垂直于准线，