勾股定理教学设计

1、勾股定理目标认知学习目标：掌握勾股定理及其逆定理.能够比较熟练地运用勾股定理，由已知直角三角形中的两条 边长，求出第三条边长，会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形.勾股定理是平面几何中的一个十分重要的定理，它反映了直角三角形中三边之间的数量关系.在理论和实际中应用很广泛.重点：理解和掌握勾股定理及其逆定理，以及应用.难点：理解勾股定理的推导.知识要点梳理知识点一：勾股定理a, b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三如果直角三角形的两直角边长分别为: 角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.图120要点诠释：(1)勾股定理揭示的是直角三角形的边之间的平方关系的定理。(2)勾股

2、定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形。(3)理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 ,c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。X正力拗SCD - g+gy = c2+4x-£2J2 ,12图(1)中2,所以以+8二方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。图(2) J 方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3） 1和（3） 2所示的两个形状相同的正方形。一 1b '(3)-2在（3） 1中，甲的面积=（大正方形面积）一（4

3、个直角三角形面积），在（3） 2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即:方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。,所以 aa+6a知识点三：勾股定理的作用1 .已知直角三角形的两条边长求第三边；2 .已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3 .用于证明平方关系的问题；4 .利用勾股定理，作出长为 占的线段。知识点四：原命题与逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题。如果其中一个叫原命题, 则另一个叫做它的逆命题。知识点五：勾股定理的逆定理如果三角形的三条边 a、b, c,满足a2+b2=c2.那么这个三角形是

4、直角三角形.要点诠释：勾股定理及其逆定理的区别在于勾股定理从“形”(一个三角形是直角三角形)出发，得出三边数量关系(a2+b2=c2),而勾股定理的逆定理从三边数量关系(a2+b2= c2)出发，判断其形(三角形是直角三角形)，它是判断一个三角形是否是直角三角形或一个角是否是直角的有效方法。规律方法指导1 .掌握直角三角形的性质如上图1,直角A ABC的性质：(1)勾股定理:ZC=90° ,则有 c2=a2+b2(2) /C=90° ,贝U有/ A+/B=90° ,(3) /C=90° ,则有 c>a, c>b。2 .在理解的基础上熟悉下列勾

5、股数 也j满足不定方程X2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)，显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：3、 4、 55、 12、 13;8、 15、 17;7、 24、 25;10、 24、 26;9、 40、 41.如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角 形。经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtMBC 中,/ C=900 施(1)已知 a=6, c=10,求 b,(2)已知 a=40, b=9,求 c；(3)已知 c=25, b=15,求

6、 a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1)在4ABC 中，/ C=90(2)在4ABC 中，/ C=90(3)在4ABC 中，/ C=90,a=40,c=25,a=6, c=10,b=b=9,c='b=15,a=JU 二 20总结升华：在应用勾股定理进行计算时一定要看清哪条是直角边哪条是斜边。举一反三【变式】：如图/ B=/ACD=90° , AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少【答案】. / ACD=90°AD = 13, CD=12.AC2 =AD2-CD2=132-122二25AC=5又.

7、 / ABC=90 ° 且 BC=3由勾股定理可得AB 2=AC2-BC2 =52-32 二16AB= 4AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用、如图，已知：在AASC中，4二60°,幺。二7。，&二3。.求：bc的长.思路点拨：由条件 4别， 想到构造含30°角的直角三角形，为此作 血比于D,则有ZW 二 30°,52） = 1/5=152,再由勾股定理计算出 AD、DC的长，进而求出BC的长.解析： 作如1册 于D,则因 25 = 60°,一二.1.（直角三角形的两个锐角互余）2（在直角三角形中，如果一个锐角等于,那么它所对的直角

8、边等于斜边的一半）根据勾股定理，在 M4"中,AD = 73?-1? -15.根据勾股定理，在 必&O中,CD具AC*-g =小冰-©乂3二 65 = +5(7=65+15=80总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理t p举一反二c 制 A 【变式1】如图，已知： ZC = 90°, AMCM,戚p.求证：.BLc M A思路点拨：图中已有两个直角三角形，但是还没有以 BP为边的直角三角形.因此，我 们考虑构造一个以 BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上

9、就得到了 4个直角 三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系 解析：连结BM ,根据勾股定理，在 处BMP中，而在 血行 中，则根据勾股定理有 ；.又,: AM-CM （已知）， 二二二".在FlhBCM中，根据勾股定理有sm2-cm2=bc.一丁 一: 二 .【变式2】已知：如图，/ B=/D=90° , /A=60° , AB=4 , CD=2。求：四边形ABCD 的面积。c分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC,或延长AB、DC交于F, 或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第 三种较

10、为简单。BE= 二解析：延长AD、BC交于E。 / A=60 ° , / B=90E=30BE2=AE 2-AB 2=82-42=48 ,AE=2AB=8 , CE=2CD=4 ,DE2= CE2-CD2=42-22=12,DE=1- S 四边形 ABCD =SA ABE -Sacde= 2 AB - BE- 2 CD类型三：勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题C3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60。方向走了 500 Jim到达B点，然后再沿北偏西 30。方向走了 500m到达目的地C点。山(1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地

11、 C在营地A的什么方向。思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。解析：(1)过B点作BE/AD/ DAB= / ABE=60 °,30° +/CBA+ Z ABE=180 °/ CBA=90 °即4ABC为直角三角形由已知可得:BC=500m , AB=500 Jim由勾股定理可得：二：-：* AC = ；BCa+ABa =-0%(50邙)口 =100D(m)(2)在 RtA ABC 中,. BC=500m, AC=1000m/ CAB=30 °/ DAB=60 °/ DAC=30 °即点C在点A的

12、北偏东30°的方向总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CDLAB,与 地面交于H .解：OC = 1米 （大门宽度一半），OD=0.8米 （卡车宽度一半） 在RtA OCD中，由勾股定理得：CD=护 _=0 . 6 米，CH= 0 . 6 + 2

13、.3 = 2 . 9 （米） 2 . 5 （米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.（二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在 四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案， 如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.(2)思路点拨：解答本题的思路是： 最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.解析：设正方形的边长为 1,则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD =3, AB+

14、BC+CD =3图（3）中，在RtAABC中同理 一，图（3）中的路线长为:：.：【：图（4）中，延长 EF 交 BC 于 H,贝U FHXBC, BH=CH3 优 bh _ 1由/FBH='2 及勾股定理得：ea = ed=fb = fc= 3 . EF= 1 2FH= 1 3此图中总线路的长为4EA+EF = 1+后总2.7323>2.828>2.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线.总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识 进行计算，比较从中选出最优设计. 本题利用勾股定理、 等腰三角形的判定、全等三角形的 性

15、质.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm,高AB为4cm, B C是上底面的直径. 只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.10 cm,根据勾股定理得AC =以小+犯'即。'解:如图，在 RtABC中，BC=底面周长的一半=答：最短路程约为10. 77 cm.类型四：利用勾股定理作长为 疝 的线段C5、作长为亚、出、后的线段。囱思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1的等腰直角三角形，斜边长就等于 J2 ,直角边（1）作直角边为1 （单位长）的等腰直角 ACB ,使AB为斜边；（2）作以AB为一条直角边，另一直角边为 1的Rt"/

16、'。斜边为乂 ；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 幺&4 ,这样斜边AB、迎1、他、出? 的长度就是也、也、币、出。总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如 1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。【变式】在数轴上表示而的点。解析：可以把710看作是直角三角形的斜边,（阿二 10为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：如图所示在数轴上找到 A点，使OA=3 ,作AC ±OA且截取AC=1，以。为圆 心，OC为半径做弧，弧

17、与数轴的交点 B即为亚。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 .原命题：猫有四只脚.（正确）2 .原命题：对顶角相等（正确）3 .原命题：线段垂直平分线上的点， 到这条线段两 端距离相等.（正确）（正确）解析：1.2.3.4.逆命题 逆命题 逆命题 逆命题有四只脚的是猫（不正确）相等的角是对顶角（不正确）到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）?（正确）4 .原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等. 思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,判断 A总

18、结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果A ABC的三边分别为 a、b、c,且满足ABC的形状。施思路点拨：要判断A ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,故只有从该条件入手，解决问题。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=o。(a-3)2>0, (b-4)2>0, (c-5)2>0oa=3, b=4, c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得 A ABC

19、是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。举一反三【变式1】四边形 ABCD中，/ B=90° , AB=3 , BC=4, CD=12 , AD=13 ,求四边形ABCD的面积。【答案】：连结AC / B=90 ° , AB=3 , BC=4AC2=AB 2+BC2=25 (勾股定理)AC=5, AC2+CD2=169, AD2=169ac2+cd2=ad2/ ACD=90 ° (勾股定理逆定理)S酗皿CD = S瓯+= BC AC CD =36【变式2】已知： ABC的三边分别为 m2n2,2mn,m2+

20、n2（m,n为正整数，且m>n）,判断ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明：a2+b2=c2即可证明：:' B3 . :' J ：= +加': + 一=(加，所以 ABC是直角三角形.【变式3】如图正方形 ABCD , E为BC中点，F为AB上一点，且1-FBF= A AB。B E C请问FE与DE是否垂直？请说明。【答案】DEXEFo证明：设 BF=a ,贝U BE=EC=2a, AF=3a , AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接DF (如图)DF2=

21、AF2+AD 2=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2+DE2, FEXDEo学习成果测评基础达标：一、判断对错()1.直角三角形直角边长为 6, 8,则斜边上的高为 2.4.()2.直角三角形两边为1, 2则另一边为 后()3.两直角边的比为1 ： 45的直角三角形三内角比为1 ： 2 ： 3.()4.等腰直角三角形斜边中线与直角边的比为()5.面积为12,底边为6的等腰三角形腰长为5.()6.高为h的等边三角形面积为2-h2.二、选择题1 .周长为24,斜边长为10的直角三角形面积为()A.12B.16C.20D.242 . ABC 中，Z C=90° ,/A=30

22、6; , M 为 AB 中点，MD，AB 交 AC 于 D.若 DM=7 ,则BC长为()A.7B.14C.7D.143 .直角三角形锐角平分线分对边为15和25两部分，则斜边长为()A.50B.60C.70D.804.三角形内角比为1 ： 2 ： 3,则三边长度比为（）A.1 ： 2 ： 3C.1 ：亚：D.1 ：板：3三、填空题一,为直角边作直角三角形,1 .已知线段a,求作线段 而 a时，可分别以2a和斜边即为所求.2 .等腰直角三角形直角边长为1,则斜边长为.3 .等边三角形边长为 2,则面积为.4 .CD 为 RtAABC 斜边上的高， AB=13 , AC=12 ,则 CD=5 .

23、周长为30,面积也为30的直角三角形斜边中线长为 6 .两直角边之和为14,斜边长为12的直角三角形斜边上的高是 四、解答题1.计算：RtABC 中，Z C=90°,CD LAB 于 D, M 为 AB 中点，MD=CD ,求/ B.7 .AABC 中，D 为 BC 上一点，且 AB=AD ,求证 AC2-AB2=BC - DC. 能力提升：1 .如图，A/MC = 120°, Z5 = 30°,如！AS,垂足为 a, CD二江阳,求AB的长.ab2 .如图，BD=DC , DA ±AC , AC= 2.求/ BAD.O3 .如图，在 ABC 中/ C=

24、90° , / CAB=60,AD为/ BAC的平分线，D到AB的距亨于5.6cm,求BC.4 .已知，如图，AD，BC 于 D, CE，AB 于 E, AD、CE 交于 G,且 CG=AB ,求/ ACB.15 .如图，在正方形 ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且 EC=4 BC ,求证:AF XEF.U F6. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面 ABCD倒下到AB' C' D'的位置，连接CC',设AB=a , BC=b , AC=c , 请利用四边形BCC' D&#

25、39;的面积验证勾股定理：a2+b2=c27.已知：如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等 ）的一边AD,使点D落在BC 边的点F处，已知 AB=8cm , BC=10cm,求EC的长.综合探究：,在花铺内走出1 .如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”了一条“路”.他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草2 .已知 ABC中，AB=40 , AC=30 , BC边上的高为 24.求 ABC的面积.3 .已知A（1 , 3）, B（4, 2）,点P为x轴上一点.求使AP+BP的值最小时点 P的坐标和 AP+BP的最小值.答案与解析：基础达标：4 、1. X

26、 （画示意图利用勾股定理可以进行判断）2. X （画示意图利用勾股定理可以进行判断）3. ，（画示意图利用直角三角形30度角所对边等于斜边一半可以进行判断）4. X （画示意图利用勾股定理可以进行判断）5. V （画示意图利用三角形面积等于底乘高的一半可以进行判断）6. X （画示意图利用三角形面积等于底乘高的一半可以进行判断）二、1. D （设两条直角边为 a, b斜边为c, a+b+c=24, c=10,和勾股定理可以求出面积 ）2. C （利用勾股定理及直角三角形中30度角所对边等于斜边的一半即可）3. A （过平分线与对边的交点做斜边的垂线可得全等，用勾股定理求出小三角形边长为15,

27、20, 25,设另一直角边长为 x,根据勾股定理得：x2+402=（x+20） 2,可求斜边的长）4. B （设30度角所对边为a,和勾股定理即可）三、1.3a （用（2a）+（3a）2=13a2）5. j5（勾股定理的简单应用）6. 招（过一个顶点坐高线即可）607. 13 （设CD=x ,应用勾股定理和直角三角形面积的两种表示方法即可）1325. 2 （a+b+c=30, ab=60,斜边中线=2 c）136.6 （a+b=14 , c=12, a2+b2=c2,用直角三角形面积的两种表示方法）四、1. . CDLAB CD=MD . . / CMB=45 ° 又 CM=MB .

28、 . / B=67.5 ° 或 22.5° .2.作 AE，BD 于 E, AB=AD ED=EB.AC 2-AB 2=（EC2+AE 2）-（EB 2+AE 2）=（EC+EB）（EC-ED尸BC - DC能力提升：1.分析：由于 AB是将ARAD中的一条直角边,故要求 AB的长，只要求出 BD, AD 的长，利用勾股定理即可求出.解："。=12。葭3二3。ZC=W-ZW-Z£ = 30°,又,: AD I AS,垂足为a ,：，.一，.， _， ,二w ,在直角三角形BAD中， /£ = 30°, 二二"J J

29、 二"1 二2“答：AB的长为2出cut .2 .分析：作辅助线过 B作AC的平行线BE与AD延长线相交于 E可证 ADC与& BED 全等利用勾股定理 和30°角所对的边是斜边的一半的定理可得/BAD的度数.解：延长AD与AC的平行线BE相交于点E BD=DC/ BDE= / ADC（对顶角相等）/ DAC= / DEB . ADC 9匕 EDBAC=BE 且/ E=90°-AB=BE又 AC=2且/E=90°/ BAD=30 °3 .解：RtAABC 中，/ CAB=60 ° ,/ B=30 ° （余角的性质）

30、AD平分/ BAC（已知）1 .Z DAB= 2 / CAB=30 ° （角平分线性质）丁./ DAB= / DBE（等量代换）AD=DB（等角对等边）DBE 中，DE=5.6, Z B=30 ° （已知） .BD=2DE=11.2（cm）（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半 ）AD=11.2（cm）（等量代换）同理 RtAACD 中，/ CAD=30 °2CD=二 AD=5.6(cm)BC=DC+DB=5.6+11.2=16.8(cm)，BC边的长为16.8厘米.4 .解：- AD ± BC, CEXAB在ABD和CGD中：/ A

31、DB= / CDG=90 °又. / CEB=90 °/ B+ / BAD= / B+ / BCE=90 °/ BAD= / BCE又 CG=ABABD CGD(A.A.S)AD=DC又 ; AD ±DC/ ADC=90 °/ ACB= / DAC=45 °a a5 .证明：连结 AE,设正方形边长为 a,贝U DF=FC= 2 , EC= 4 ,a a §在 RtAECF 中，有 EF2=(2 )2+(4 )2?=16 a2;g 20同理可证.在 RtAADF 中，有 AF2=( 2 )2+ a2= 16 a；1 3在 RtAABE 中，有 BE=a- 4 a= 4 a,325,AE2=a2+(4 a)2= 16a2, af2+ef2=ae2.根据勾股逆定理得，/ AFE=90° ,AF ±EF.6.证明：四边形BCC' D'为直角梯形，S 梯形 BCC D = 2 (BC+C ' D ' ) . BD ' =2 RtAABCRtAAB ? C', ./ BAC= / B' AC&#