第1~4章部分习题解

1、第一章1-1一维运动的粒子处在下面状态将此项函数归一化；求粒子坐标的概率分布函数；在何处找到粒子的概率最大?解：（1）由归一化条件，知 得到 归一化常数 所以 归一化波函数为 （2）粒子坐标的概率分布函数（3）令 得到 ，根据题意x=0处，所以处粒子的概率最大。1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n。距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少?n取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?当n时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）距势阱的左壁1/4宽度，即x的取值范围是-a-a/2，发现粒子概率为：（2）n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大。（3）当n时，。这时概

2、率分布均匀，接近于宏观情况。1-3一个势能为的线性谐振子处在下面状态，求归一化常数A；在何处发现振子的概率最大；势能平均值解： （1）利用泊松积分由归一化条件： （2） 振子的概率密度 令，即振子出现的概率最大位置是x=0。 （3）势能平均值 1-4设质量为m的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。解: 注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。半谐振子与对称谐振子在x>0区域满足同样的波动方程，但根据题意，x<0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而破坏了偶宇称的状态。这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解（仅归一化常数不同） 1-5电子在原子大小的范围(10-10m )内

3、运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。解： 电子总能量 作近似代换，设 ，于是所以电子的最小能量 ，此式与薛定谔方程得到的氢原子基态能量表达式相同。1-6氢原子处在基态，求：r的平均值；势能的平均值；最可几半径。解：（1）r的平均值 （2）势能的平均值 （3）最可几半径粒子在球壳r-r+dr范围中出现的概率如下： 由 得到r=a处电子出现的概率最大。1-7设一体系未受微扰作用时，只有两个能级E01及E02，受到微扰作用，微扰矩阵元 。a，b都是实数，用微扰公式求能级的二级修正值。解：根据非简并微扰公式，有1-8氢分子的振动频率是1.32×1014Hz，求在5000K时，下列两种情况

4、下振动态上粒子占据数之比。n=0，n=1；n=1，n=2。氢分子的振动看作为谐振子，因此振子能量为 振动态上被粒子占据的概率服从M-B分布，则（1） n=0，n=1 时， （2） n=1，n=2时， 1-9求在室温下(k0T=0.025ev)电子处在费米能级以上0.1ev和费米能级以下0.1ev的概率各是多少? （已知F-D分布概率函数为）费米能级以上0.1eV的概率： 费米能级以下0.1eV的概率： 第二章 2-1.试说明格波和弹性波有何不同?提示：从晶格格点分立取值和晶格周期性特点出发分析与连续介质弹性波的不同。2-2. 证明：在长波范围内，一维单原子晶格和双原子晶格的声学波传播速度均与一

5、维连续介质弹性波传播速度相同，即：式中，E为弹性模量，为介质密度。证明：在长波范围内，即q0时；利用2-35，一维单原子的所以其中a为弹性模量E；m/a为介质密度；利用2-46，对于一维双原子链的声学波，所以；其中a为弹性模量E；(M+m)/2a为介质密度；2-3.设有一维原子链(如下图所示)，第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为，第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为()。设两种原子的质量相等，最近邻间距为a，试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=/2a时的振动频率。解：根据题意，原子运动方程为 设上两式的行波解为将式（2）代入式（1），并整理得方程（3）中的A、B有

6、非零解，则方程组的系数行列式为零，得到所以 2-4. 一维双原子晶格振动中，证明在布里渊区边界处，声频支中所有轻原子m静止，光频支所有重原子M静止。解：当时，对于声频支：将，代入2-43得：，即轻原子m静止；对于光频支：将，代入2-43得：，即重原子M静止；2-5. 什么叫声子?它和光子有何异、同之处?不同点：光子是电磁波能量的量子化；声子是格波能量的量子化；相同点：都是玻色子，起传递能量的作用；2-6. 一维双原子点阵，已知一种原子的质量m=5×1.67×10-27kg，另一种原子的质量M=4m，力常数=15N·m-1，求：(a) 光学波的最大频率和最小频率、(

7、b) 声学波的最大频率(c) 相应的声子能量是多少eV?(d) 在300K可以激发频率为、的声子的概率?(e) 如果用电磁波来激发长光学波振动，试问电磁波的波长要多少?解：（a），（b），（c），（d）由玻色-爱因斯坦分布， ；(e) 由可得： 2-7. 设晶体中每个振子的零点振动能量，试用德拜模型求晶体的零点振动能。解：晶体的零点振动能E0是各振动模式零点能之和，并且2-8.设长度为L的一维简单晶格，原子质量为m，间距为a，原子间的互作用势可表示成。试由简谐近似求（1）色散关系；（2）模式密度；（3）晶格热容（列出积分表达式即可）解：（1）原子间的弹性恢复力系数为将上式代入本教材一维简单晶格

8、的色散关系式（2-34）中，即，得到：（2）对于一维简单晶格，有，q值分布密度在波矢中的振动模式数为，所以：所以， 代入上式，有（3） 利用教材第二章中的式（2-81），得 2-9. 有人说，既然晶格独立振动频率的数目是确定的(等于晶体的自由度数)。而h代表一个声子。因此，对于一给定的晶体，它必拥有一定数目的声子。这种说法是否正确?提示：不正确，因为平均声子数与与温度有关。2-10. 应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。解：（1）一维情况下，q值分布密度由习题2-7（2）的结论可知：，又因为，所以所以振动频谱密度德拜温度其中 满足，所以利用教材第二章中的式

9、（2-81） ， 其中（2）二维情况下在波矢中的振动模式数为与一维求解思路相同，但必须注意二维时需计及两种弹性波（一个纵波和一个横波），则，所以振动谱密度； 德拜温度，其中 满足，所以， ；利用教材第二章中的式（2-81）2-11. 简述绝缘体热导在以下三个温度范围内和温度的关系，并说明物理原因：T>>DT<<D介于、之间的温度。提示：根据第二章中描述图2-39的曲线的形成进行分析。第三章1. 按照经典的观点，在室温下，金属中每个电子对比热的贡献为，按照量子论的观点，如取，则为，只为经典值的1/60。试解释何以两者相差这么大。提示：两种情况下电子服从的统计分布不同，量子

10、论观点认为只有能量高于费米能的那些电子对比热才有贡献。2. 限制在边长为L的正方形中的N个自由电子。电子能量(a) 求能量E到E+dE之间的状态数；(b) 求此二维系统在绝对零度的费米能量。解： （a）二维平面波矢k的分布密度，那么以波失k为半径的圆面积中的状态总数为：，式中系数2的引入是因为考虑每个状态可容纳自旋相反的两个电子。由公式3-7得到，所以；所以能态密度 得到能量E到E+dE之间的状态数 （b）T=0 K时，系统总电子数可以表示如下，其中，电子浓度3. 设有一金属样品，体积为，其电子可看作自由电子，试计算低于5ev的总的状态数。解：低于5ev的总的状态数为 4. 在低温下金属钾的摩

11、尔热容量的实验结果可写成若一个摩尔的钾有N=6×1023个电子，试求钾的费米温度和拜温度。解：低温下金属的热容量由电子热容和晶格热容构成，且电子热容正比于T，晶格热容正比于T3。所以有5. 一维周期场中电子波函数应当满足布洛赫定理，若晶格常数是a，电子的波函数为(a)(b)(c) (f是某个确定的函数)试求电子在这些状态的波矢解: (a) 所以 考虑到 则有 所以，仅考虑第一布里渊区，（b） 与（a）同样方法，得，仅考虑第一布里渊区内，内（c） 与（a）同样方法，得 ，仅考虑第一布里渊区内， 6.证明，当时，电子数目每增加一个，则费米能变化其中为费米能级的能态密度。解：由本教材第三章

12、的式（3-21）知电子每增加一个，费米能级的变化为注意到， ，所以并由本教材第三章的式（3-14）可得到：所以7.试证明布洛赫函数不是动量的本征函数提示：只要证明即可，其中为动量算符，为布洛赫函数8. 电子在周期场中的势能且a=4b，是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。解：V(x)曲线如下图所示：V(x)是以a为周期的周期函数，所以第四章4.当E-EF 分别为kT、4kT、7kT，用费米分布和玻尔兹曼分布分别计算分布概率，并对结果进行讨论。解：电子的费米分布 ，玻尔兹曼近似为（1）E-EF=kT时 ，（2）E-EF=4kT时 ，（3）E-EF=7kT时 ，当远大于1时，就可以用较为简

13、单的玻尔兹曼分布近似代替费米狄拉克分布来计算电子或空穴对能态的占据概率，从本题看出E-EF=4kT时，两者差别已经很小。5. 设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近的能量Ec(k)和价带极大值附近的能量Ev(k)分别为 ，式中m为电子惯性质量，Å,试求出：（1）禁带宽度（2）导带底电子的有效质量；（3）价带顶空穴的有效质量；（4）导带底的电子跃迁到价带顶时准动量的改变量。解： （1） 令 即 得到导带底相应的 令 即 得到价带顶相应的 故禁带宽度 将k1= / a 代入，得到（2）导带底电子有效质量 （3）价带顶空穴有效质量 （4）动量变化为 7. 试证明半导体中当且电子浓度空穴浓度时，材料的电导率最小，并求的表达式。试问当n0和p0（除了n0= p0 =ni以外）为何值时，该晶体的电导率等于本征电导率？并分别求出n0和p0。已知解：（1）由 得 ，又，所以当，时，（2）当材料的电导率等于本征电导率时，有： 即 解得： 计算得： 故，时，该晶体的电导率等于本征电导率。15. 一块补偿硅材料，已知掺入受主杂质浓度NA=1´1015cm-3, 室温下测得其费米能级位置恰好与施主能级重合，并测得热平衡时电子浓度n0=5´1015cm-3 。已知室温下本