学习心得：分类思想在中学教学中的渗透

1、 分类思想在初中数学教学中的渗透李国伟摘 要: 分类思想是一种重要的数学思想，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。本文结合中学数学教学从渗透分类思想，养成分类的意识；掌握分类的原则，感受分类的标准；学习分类方法，增强思维的缜密性；分类讨论的步骤；如何避免分类讨论等方面阐述了分类思想在初中教学中的渗透。关键词： 分类思想; 归类整理; 化繁为简; 渗透意识; 应用提高1.引 言推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，这正是新时期教育的根本任务

2、。数学家乔治·波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路” 。随着课程改革的深入， "应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如在数学基本知识的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点，能将所学的有关的理论和方法应用到生活实践中。所以说：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。1古今中外一直把数学思想方法的学习作为人才培养的起点。数学“学”什么？方法和思想。数学

3、学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，是新的课程标准的一个基本要求，也是进行数学素质教育的一个切入点。从近几年的中考试题来看，数学基本方法和思想是重点考察的内容。分类讨论是其中重要的一部分。在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个繁杂的大问题简化为几个简单的小分支，达到化繁为简，变难为易，各个击破的目的，是最常用的一种科学方法。所以分类是研究各门科学的基本思想方法之一。区分概念之间的联系和异同，确定概念的内涵和外涵，都离不开分类思想，可以说没有分类思想，就没有概念体系。2那么，什么是数学分类讨论方法呢？就是根据数

4、学问题的相同点和不同点，把数学问题区分为不同种类的一种思想方法。分类要有一个科学合理的分类标准，按照这个标准，在对数学对象分类时要做到不重复、不遗漏，分类后要对各种情况分别进行研究。3在初中阶段应如何在教学中渗透分类讨论的思想呢？2、 渗透分类思想，养成分类意识初中课本中很多定义、定理、公式本身是分类定义、分类概括的，因此要有意识地让学生在学习过程中逐渐地体会分类讨论的思想。北师大版七年级数学课本在引入负数后即对有理数进行分类：将有理数分为正有理数、零、负有理数或将有理数分为整数、分数。八年级又进一步拓宽到实数的树状分类，九年级更是在圆的有关性质的学习中频频使用分类的方法，让学生在反

5、复使用中，辨别不同分类的依据，初步体会分类要不重复，不遗漏；标准不同则分类不同的基本原则。绝对值的定义的高频率应用已在学生心中形成固定模型，养成分a>0， a=0， a<0三种情况解决有关问题的基本思路，例如化简+，如果不采用分类讨论的思想作为解题指导，那么学生根本无法顺利解答该题。在学习有理数加法的教学中也充分渗透这一思想。通过学生观察和讨论，学生归纳出有理数相加的几种类型，有些类型可能是学生想不到的，可在教学活动中逐步引导，让学生在精心设计的教学情境中发现，在探索中产生并提出自己的主张，然后让学生思考：这一运算是否已包含在我们已经归纳出的几条法则内？为什么？从而使学生体会分类的

6、完整性和严谨性。这个让学生探索推导有理数加法法则的过程，实际上就是应用分类思想解决问题的一个完整的过程。使学生在学习知识的过程中体会：为什么要分类？（是因为一个问题存在几种不同的情况，不能一概而论）及分类的基本原则（分类要完整，不重不漏）。在初中三年的数学学习中分层次、有梯度地向学生渗透分类的思想的实质，使学生在学习的过程中逐步领悟和接受解决问题中的分类讨论的思想，为高中的完备学习打好基础。3、掌握分类原则，感受分类标准一个数学问题是否要分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，当被研究的问题包含有多种可能的情况，导致我们不能将它们一概而论时，我们就应该把可能出现的所有情况进行分类讨论，得

7、出各种情况下相应的结论，再进行综合。在解答时，应遵守这样的原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏，不重复，分层次，不越级讨论。具体可从四个方面来说： 3.1、同一性原则。分类的对象是确定的，分类应按同一标准进行，即每次分类的对象只有一个，分类时不能同时使用几个不同的分类根据。如：有部分学生把有理数分为负有理数，正整数，零。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按“数的性质”和按“数的发展”两个分类标准。事实上，有理数可以是整数，也可以是分数，；而整数和分数也可以是正数，也可以是负数。这样的划分显然是混乱的。3.2、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就

8、是分类后不重复，不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。如：某班有8名同学参加了数学、物理、化学的学科竞赛，其中有3人参加数学竞赛，4人参加物理竞赛，5人参加化学竞赛。如把这8人分成三类，这就犯了子项相容的逻辑错误，因为必有2人同时参加两科或两科以上的竞赛。 3.3、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等，不能遗漏任何一部分。例：有的学生没有弄清分类标准，把圆与直线的位置关系分为相离和相交两类，这个分类是不相称的，因为子项的外延总和小于母项的外延。事实上还包括相切这种情况。 3.4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之别。一次分类是对被讨论对象

9、只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至不能再分或满足需要为止，即分层次，不越级讨论。有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按“对象有无某性质”来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止4。如实数的树状分类： 4、学习分类方法，增强思维的缜密性 分类讨论是重要的数学思想方法，对学生的能力要求较高，而初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，举一些浅显易懂、需要区分种种情况进行讨论的例子，边学习边总结，启发诱导，揭示分类讨论的思想本

10、质。让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。让学生明确引起分类讨论的原因，是掌握合理分类方法的关键所在。下面就“引起分类讨论的一些常见情况”作一归纳：4.1根据数学的概念进行分类有些数学概念是分类定义的（如实数的绝对值），所以应用这些概念解题时，一般按概念的分类形式进行分类。例如去掉，中的绝对值符号；有些数学概念在下定义已经对所考虑的对象的范围作了限制（一元二次方程，要求二次项系数不为零），当解题过程的变换需要突破这些限制时，就必须进行分类讨论。如等腰三角形的一个内角是70°，那么这个等腰三角形的另两个内角的

11、度数是_度。分析：本题中等腰三角形的一个内角是70°，并没有说明这个内角是顶角还是底角，同时70°是锐角，因此，在解答过程中应考虑分两种情况：（）如果这个内角是顶角，那么两个底角的度数分别是55°；（）如果这个内角是底角，那么所求的另两个内角的度数分别是40°、70°。说明：如果本题中已知内角是大于等于90°，由于它不是锐角，因此这个内角只能是顶角。于是，答案只有唯一一种情况。4.2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类有些数学运算的实施需要一定的条件（如零不能作除数），若在运算中要突破该运算的限制条件，就要进行分类讨论。如一元二次

12、方程的判别式，不等式的基本性质，抛物线的有关常数取值问题等等。4.3、根据图形的特征或相互间的关系进行分类4.31、根据图形的位置变化或形状的变化分类在几何中，常常由于图形的的形状、位置的不同而要进行分类讨论。在九年级下册的圆周角定理的发现过程中，要引导学生去分析:为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况去证?要在学生画图、测量、分析、讨论后形成思路,决不能在这些活动之前给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，无法体会分类证明的目的和优点。只有通过学生的活动，才能体会到恰当的分类可增强题设的条件，即把分类的依据做为附加条件，先证明特殊情况，再由特殊情况推广到一般情

13、况的解决问题的思路，这是常用分类的方法。例1 如图所示，直线ACBD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成PAC、APB、PBD三个角。（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角。）（1）当动点P落在第部分时，求证：APB=PAC+PBD；（2）当动点P落在第部分时，APB=PAC+PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P落在第部分时，全面探究PAC、APB、PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论。选择一种结论加以证明。DC BADCBPA 本题是200

14、7年福州市的中考试题第21题，得分为12分，是一题中上梯度的考题，设计者将图形分类显示，首先在提示同学该题应采用“分类讨论的思想”,并以第一小题的形式暗示：下面两题应模仿第一小题的研究方式，为考生能顺利应用“分类讨论的思想来解决问题”提供完整的思路，从而也从形式上降低了该题的抽象程度，使大多数的考生能得窥门径，举一反三，较好地展开类比联想，并将同类事物或相同性质归为一类，充分体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。54.32、根据相互间的关系进行分类有些应用题,从表面上看难以列式解答,必须通过仔细审题,结合实际生活的需要或常用做法,寻求它们之间的相互关系,并据此分类处理.如下例:例2

15、某区要印制初中招生计划本，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元的制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元则六折优惠，且甲乙两厂都规定：一次印刷数量至少是300份。如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？这道例题是初中数学的常见习题，在教学中引导学生思考此类问题，一方面渗透分类思想，一方面通过具体的实例使学生体会分类的实质为：化繁为简，变难为易，将一个复杂的问题转化为几个简单的等式或不等式问题，分而治之；其次，为解决一些“生活中方案选择问题”提供解题模型 。4.4、根据字母的变化分类某些含有字母的问题，由于字母取值

16、的不同会导致所得结果的不同，或者由于对不同的字母值要运用不同的推演方法，这时就需要根据字母的不同取值进行分类讨论。例3 当 k取何值时，方程有实根？本题首先要考虑到的系数是字母k，因此要对字母k 讨论：当k =0时，原方程为一元一次方程，它有实数根，所以k=0；当k0时，原方程为一元二次方程，要使它有实数根，则0，得到，所以且k0；综合、得到k的取值为. 4.5、根据整数的剩余类来分类对有些与整数n有关的问题，常把n分为n= rk+m（r，kZ，m=0，1，r-1）这r个组，然后运用这一划分（剩余类）进行分类。4.6、根据条件的开放分类有些题目中的条件开放，致使求解结果不唯一，若对这类问题考虑

17、不全面，时常发生漏解现象。例4 如图1所示，以矩形ABCD的顶点为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系。点D的坐标为（8，0），点B的坐标为（O,6），点F在对角线AC上运动（点F不与点A、C重合），过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E。设四边形BCFE的面积为S1，四边形CDGF的面积为，AFG的面积为。（1） 试判断S1,S2的关系，并加以证明；（2） 当S3:S2=1:3时，求点 F的坐标；（3） 如图2，在（2）的条件下，把AFG沿对角线AC所在的直线平移，得到AFG，且A、F两点始终在直线AC上。是否存在这样的点E，使点E到x轴的距离与到y轴的距

18、离比是5：4，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。 yxDGO(A)FECB图1yxCFEO(A)G图2 在分析E的运动位置时，往往会漏掉E在第二象限这种情况，从而造成漏解，分类不完整的错误。当然，我们归纳的这几种分类根据不是相互独立的，有时这几种分类根据常常要交叉使用，尤其对一些较复杂的讨论题更是如此。例5 当a为何值时，方程只有一个实数根？求满足条件的实数a的值及方程的根。分析：该题是含有字母的方程，根据题目的要求，以下三种情况可使方程只有一个实数根：1)化得的整式方程为一次方程，则只有一解（且这个根不能是增根）；BCxyA图32）化得的整式方程为一元二次方程且判别式为零，则只

19、有一解（且这个根不能是增根）；3)化得的整式方程为一元二次方程且判别式大于零，解得的两根中需有一根为增根。例6 已知抛物线y=x2+x+m与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C点，得到ABC，试根据m的取值范围把ABC按角分类。BCxyA图4分析：该题可先从图形的位置的不同分为两类：抛物线与x轴的交点在x轴的同侧，该三角形为钝角三角形；抛物线与x轴的交点在X轴的两侧时，再分直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三类考虑。这时可以直角三角形为突破口，若ABC为直角三角形，则OAOB=OC2，由此得到若ABC为钝角三角形，则OAOB>OC2，若ABC为锐角三角形，则OAOB<OC2从而推出m

20、的范围。这道例题并不是一次分类就可完成的，需要逐级分类且在分类中应用了由特殊推广到一般的分类方法，具有一定的代表性。在此阶段的教学中，应结合具体的例题，揭示分类讨论的本质为化繁为简，由特殊到一般，分而治之。使学生进一步加深对分类讨论的理解。教学中让学生通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，逐步养成主动灵活应用分类思想的习惯。除了在课堂教学中渗透、提炼外，还要有意识地增加平时应用这一思想方法的机会，得到强化，克服分类讨论中的盲目性和随意性，提高学生的综合运用这种数学思想解题的能力。5、分类讨论的步骤 用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：a、先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围；b、正确选择分类的标准，进行合理分类；c、逐类讨论解决；d、归纳并作出结论。例7：解方程|x+2|+|3x|=5分析：该题是含有绝对值的方程，怎样去掉绝对值的符号化为一般的一元一次方程为解题的关键。由绝对值的定义，求出各绝对值的零点：-2，3，把数轴分成三段：x-2，-2x3，x3，就可去掉绝对值转化为我们能