五级奥数专题图形的计数

1、 1 下图中一共有（ ）条线段 2. 如右上图,0 为三角形 A1AA12的边AA2上的一点,分别连结 0 个三角形 下图中有 _ 三角形. 右上图中共有 _ 梯形. 数一数 （1） 一共有（）个长方形. 一共有（）个三角形. （1） 6. 在下图中，所有正方形的个数是 7. 在一块画有 4 4 方格网木板上钉上了 25 颗铁钉（如下图），如果用线绳围正方形，最多可以 围出 _ 个. P 0 )N QX W RY V ST U F :G 3 H 1 I 9. _ 如下图,方格纸上放了 20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有 _ 个. 九图形的计数（A） _ 年级 一、填空题 姓名 得分 3. 4

2、. 5. 8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板 用皮筋套出正方形和长方形共 _ 个. ,上面有 4 4 个钉（如右图）.以每个钉为顶点，你能 OAi，这样图中共有 O 10. 数一数,下图是由 _ 小立方体堆成的.要注意那些看不见的. 二、解答题 11. 右图中共有 7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比 12. 下图中,AB CD7 7EF、MN 互相平行， 则图中梯形个数与三角形个 3 13 .现在都是由） 米、9 厘米的大小不同的 方形，除此以外， 方形多少个？ 14.将 米的红色、白色两种正方形分别组成） 它们的特点都是正方形的四边的小正 小正方形，要组成这样

3、 4 个大小不同的 色正形多少 匚一边等 海， 过各 峑是多少？ 厘米、 4 厘米、 8 厘 是涂有红颜色的小正 正形总共需要红色正 卜点作边的平行线，在所得下图中有 M |多少个平行四边形? A 答 案 _ 年级 _ 班 一、填空题 1. 2. 3. 4. 5. 九图形的计数（B） 姓名 得分 下图中长方形（包括正方形）总个数是 _ . 右上图中有正方形 _ 个,三角形 _ 个,平行四边形 下图中共出现了 _ 长方形. _ 方形平均分成 8 个三角形.再数一数,它一共有 有 图一 个,梯形 _ 个. 先把正 图形中 6. 如右上 的小三角形要涂上不同的颜色 已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三

4、角形多 7. 下图是由小立方体码放起来的，其中有一些小方体看不见.图中共有 8. 右上图中共有 _ 正方形. 9. 有九张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“ 1”的有 1 张；标有数码“ 2”的有 2 张；标有 数码“3”的有 3 张，标有数码“4”的也有 3 张。把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起， 但标 有相同数码的纸片不许靠在一起，问： 如果 M 位上放置标有数码“ 3”的纸片，一共有 个大小不同的三角形. _ y 三 . 36 个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边 ,那么多 _ 个. 个小立方体. 种不同的放置方法. 10.如下图,在 2X2方格 可穿过 5 个方格

5、.那么 10X 1 二、解答题 11.把一条长 画一条直线最多可穿过 3 个方格,在 3X3方格中,画一条直线最多 中,画一条直线最多可穿过 _ 方格. 使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少 个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时， 我们称这两个三角形是相同的.） 12.有一批长度分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 和 11 厘米的细木条,它们的数量都足够多,从 中适当选取 3 根木条作为三条边.可围成一个三角形，如果规定底边是 11 厘米长,你能围成多少个不 同的三角形？ 13.下图中的正方形被分成 9 个相同的小正方形，它们一共有 16 个顶点（

6、共同的顶点算一个）, 以其中不在一条直线上的 3 个点为顶点，可以构成三角形.在这些三角形中，与阴影三角形有同样大 小面积的有多少个？ 14.有同样大小的立方体 27 个,把它们竖 3 个,横 3 个,高 3 个,紧密地没有缝隙地搭成一个大 的立方体 （见图）.如果用 1 根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话，最多可以穿透几个小立方体？ 1 . 30 由例 1 注可知图形中每边有 3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有 6 5=30 条线段. 2. 37 将一 A1AA12分解成以OA为公共边的两个三角形.OAA中共有 5+4+3+2+仁 15 个）三角形, OAA12 中共有 6+5+4

7、+3+2 +1=21（个）三角形,这样,图中共有 15+21+仁 37（个）三角形. 3. 15 这样的问题应该通过分类计数求解.此题中的三角形可先分成含顶点 C 的和不含顶点 C 的两大 类.含顶点 C 的又可分成另外两顶点在线段 AB 上的和在线段 BD 上的两小类.分类图解如下： 所以原图有 （3+2+1）+（3+2+1 =15（ B 4. 18B 梯形 5. B08,36 （1）因为长方形是由长和宽组成的，因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数 按照前面 所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数，将它们相乘就是所有长方形的个数 因为 AB 边上有 8+7+6+2+1=空=3

8、6 条线段，AD 边上有 2+1=3 条线段，所以图中一共有 36 2 3=108 个长方形. （2）三角形一共有 6 行，每行都有 3+2+仁 6（个）,所以一共有 6 6=36（个）三角形. 6. 30 由例 5 注可知整个图形中共有 12+22+32+42=30 个正方形. 7. 50 此类问题一般用分类方法计数.对正方形的边长分八类计数如下： 边长为 AB 的正方形有 16 个； 边长为 AC 的正方形有 9 个； 边长为 AD 的正方形有 4 个； 边长为 AE 的正方形有 1 个； 边长为 DF 的正方形有 9 个； 边长为 CF 的正方形有 8 个； 边长为 BF 的正方形有 2

9、 个； 边长为 CG 的正方形有 1 个. 所以,最多可围出 50 个正方形. 8. 44 因为正方形是特殊的长方形，所以可以把正方形看成长方形，这样就不必分别求正方形和长方 形的个数，仍用分类计数的方法求解. 先考虑有一组对边平行于 BC 的长方形有多少个.这一类按其水平边的位置可分为 6 小类,即位 置在E 有 誓+1=6（个），所以 有 6 x 3=18（个）梯形. C B C D D 答 案 BF、FE EC FC BE BC 同样,其竖直边也分为 6 类.所以这一类有 6 6=36 个长方形. A D 个长方形. 设相邻两点的距离为 面积为 2 的有 4 个； 面积为 5 的有 2

10、个； 面 面积为， 所以，共有 9+4+2+4+2=21 个正方形. 10. 30 将原立体图形从左至右分类计算，共有 11+7+5+7=30 个. 11. 白色小三角形个数=1+2+3+6=（1 6） 6 =21, 2 黑色小三角形个数=1+2+3+7=（1 7） 7 =28, 2 所以它们的比二辺二3. 28 4 12. 解法一 本图中三角形的个数为（1+2+3+4） 4=40（个）.下面求梯形的个数.梯形由两底唯一确定.首先 在ABCDEFMN 中,考虑两底所在的线段,共有（4 汉 3）2=6（种）选法；对上述四条线段中确定的两 条线段，共有 10 （10=4+3+2+1 个梯形.共 6

11、0 个梯形.故所求差为 20. 解法二 在图三中可数出 4个三角形,6个梯形,梯形比三角图形图形多 2个.而在题图中,这种恰有 10 个.故题图中，梯形个数与三角形的个数之差为 2 10=20（个）. 13. 边长 2 厘米的正方形： 2 2=4（个） 红色 边长 4 厘米的正方形 （4-1） 4=12 （个） 红色 （4-2） （4-2）=4（个） 白色 边长 8 厘米的正方形 （8-1） 4=28（个） 红色 （8-2） （8-2）=36（个） 白色 另一类是没有边平行于 BC 的.这一类又分类两小类 分解图如下页图所示 ,其中分别有 6 个和 2 形的面积大小分类计数. ， 则正方形面积

12、为 有 4 勺有 所以, 9. 2 方形和长方形 答 案 边长 9 厘米的正方形 （9-1） 4=32（个） 红色 （9-2） （9-2）=49（个） 白色 所以,红色小正方形共有 4+12+28+32=76（个） 白色小正方形共有 4+36+49=89（个） 注本题的要求是由边长为 1 厘米的红色和白色两种正方形，分别组成边长是 2 厘米,4 厘米,8 厘米,9 厘米的大小不同的正方形，可以看作方阵问题来解.四周的小正方形是涂红色的，可看成是 空心方阵，因此，涂红色正方形的个数等于 4 (n-1).其他小正方形是涂白色的，可当作实心方阵， 所以，涂白色的正方形的个数等于(n-2) (n-2)

13、.比如,由边长为 1 厘米的正方形组成边长为 9 厘米 的正方形，涂红色的小正方形的个数是：4 (9-1)=32(个),涂白色的小正方形的个数是:(9-2) (9-2)=49(个). 14. 将平行四边形分为三类：尖角在上、下方；尖角在左下、右上方；尖角在左上、右 下方. 就第类而言：.型 6 个；一型 3 个，与其对称的 3 个； . 型 1 个，与其对称的 1 个；“一型 1 个；共 15 个.同理,第、类也分别含 15 个，故 上述三类平行四边形共 45 个. 注这样数平行四边行，很麻烦, ,又易出错. .我们试图找到一种对应关系: :先考虑任一边 不与BC平行的平行四边形，延长各边必与

14、BC有 4 4 个交点，特殊情况下，第二个交点与第三个 交点重合；反过来，BC上的任意四点或三点决定一个平行四边形，也就是说，边不与 BC 平行的平行四边形的个数与 BC上的四交点组和三交点组的数目一样多。 由于BC上有 5 5 个交点，其中可构成 5 5 个 4 4 点组；1010 个 3 3 点组，即边不平行于 BC的平 行四边形有 1515 个。 同理分别考虑边不平行 AB CD的平行四边行。 由此可知，共有 4545 个平行四边形。 - 答 案 1. 90 利用例 1 和例 4 公式可直接计算： (5+4+3+2+1) X (3+2+1) =15X6 =90(个) 注注意，由长方形、正

15、方形的意义可知，正方形一定是长方形，但反之不然 . .故求长 方形个数时，不必把正方形分幵考虑. . 2. 3 个正方形;18 个三角形；6 个平行四边形；8 个梯形. 3. 18 根据这个图形的特点,我们先数出下图(1)中长方形的个数为(2+1) X (2+1)=9 个;然后在图(1) 的内部添上一个长方形得到图(2).这时新产生的长方形有(2+1) X (2+1)=9 个.至此已将图(1)还原 为题图，同时题图中的长方形已全部数完.因此，原图中共有长方形. (2+1) X (2+1)+ (2+1) X (2+1)=18(个). (1) (2) 4. 16 具体分法如下图所示.基中小三角形有

16、 8 个,由两个小三角形组成的三角形有 4 个，由四个小三 角形组成的三角形有 4 个,所以共有三角形 8+4+4=16(个). 5. 72 把图中最小三角形作为基数，然后按含有几个基数的三角形分类进行解答 含一个基数的三角形，共有 16 个；含两个基数的三角形，共有 24 个；含四个基数的三角形， 共有 20 个；含八个基数的三角形，共有 8 个；含十六个基数的三角形，共有 4 个.因此，整个图形 中共有 16+24+20+8+4=72 个)三角形. 6. 6 图中的三角形可分成两种，一种是尖头向上的，一种是尖头向下的从图上可以看出，每种三角 形必须涂成同一颜色为了使涂红色的三角形比涂蓝色的

17、三角形多，尖头向上的三角形要涂红色 每一横排，尖头向上的三角形要比尖头向下的三角形多一个，共有 6 排，因此，涂红色的比涂蓝 色的三角形多 6 个. 7. 38 将原立体图形从左至右分类计算，共有 16+9+5+7+1=38 个. 8. 115 单独的一个 4X4的方格中有 12+22+32+42=30 个正方形,两个 4X4的方格如原图重叠后,重叠部 分有 5 个正方形.所以原图中一共有 30X4-5X 3=115 个正方形. 9. 6 根据标有相同数码的纸片不许靠在一起的条件，当 M 位置上放标有数码“ 3”的纸片时，其余 两个标有数码“ 3”的纸片，只能放置在下面左右两边两个圆圈内.如下

18、图所示. 这样圆圈绕 M 圆紧接着4M 的六个圈旋转一周，回到初始状态，可知共有六种不同的放置方法. 如果直线与大正方形的两横边都有交点,则与所有的横边产生 11 个交点,与竖边至多 9 个交点, 共 20个交点. j : 如果直线与大正声形的一横边和一竖3边有交点,则与横边至多产生 10 个交点,与竖边至多产生 10个交点,共 20 个交点. 20 个交点,将直线分成 21 部分,其中在大正方形有内有 19 部分,故至多穿过 19 个方格. 注穿过一个方格，在直线上截出一条线段，线段由直线上的交点决定，关键是求交点 个数 对小学生来说，通常总是从简单情况入手，即由 1 1X1方格,2 ,2

19、X2方格,3 ,3 X3方格等的情 况，归纳出一般的规律，从而得出 1010X 1010 方格的结果. .请同学们用归纳法试一试！ 11. 最大边为 7 时，另两边之和为 8,可构成 4 个(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的三角形；最大边为 6 时，另两边之和为 9,可构成 2 个(3+6, 4+5)不同的三角形；最大边为 5 时,可构成 1 个(5+5) 不同的三角形.所以一共可组成 7 个不同的三角形. 12. 由三角形的一边为 11 厘米,及其他边长必为 1,2,.，11 厘米，根据三角形两边之和大 于第三边的性质，可知两边之和应介于 12 厘米和 22 厘米之间(包含 12 厘米和