向量易错题带答案

1、1 .在 ABC中,M是uuu uuuuBC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学 AP 2 PM ,则mu PAuuu(PBuumPC)等于A、A、49已知向量)(7 7)(9,3)uuuu已知|AB |(1,2),(2,3）.若向量43c 满足(c a)/b ,c (a b)，则 cA、设向量uur|AC| 9） Cuuu则| BC |的取值范围是（B、(3, 8)(Xi，yi),bXiX2、（6 7,7）D (3,13)y11是a/b的(y2）条件。A、C、5.充要充分不必要下列命题：、必要不充分、既不充分也不必要2 2(a) (a)|a|4(ab) c (a c) b | a - b

2、|=|a| | b| 若 a/b ,b / c ,则 a / ca /b ,则存在唯一实数入，使b a若设ei ,e2是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a，都存在唯组实数X、y，使a xe ye2成立。若 | a + b |=| a a b =0，贝U a = 0 或 b =0真命题个数为（1A、C、3D、3个以上8.若向量 a = x, 2x , b =3x,2，且a , b的夹角为钝角,则x的取值范围是_uun3BDuuuBD则四边形ABCDuuu uuu uuu uuirBA BC9. 在四边形 ABCD中, AB =DC = (1, 1),閭卸 uu的面积是10 . ABC中，已知

3、，判断 ABC的形状为 11.向量a、b都是非零向量，且向量 a+ 3b与7a b垂直，a 4b与7a b垂直, 求a与b的夹角.12 .a (1 cos ,sin ),b(1 cos ,sin ), c (1,0),(0, ),( ,2 ) , a 与c的夹角为B 1, b与c的夹角为B 2,且13,求sin 丁的值.13 .设两个向量 e1, e2，满足|e1| = 2, |e2| = 1, e1与e2的夹角为 3 .若向量2te1+ 7e2 与& + te2的夹角为钝角，求实数 t的范围.14 .四边形 ABCD中，AB =a, BC =b, CD =c, DA = d，且 ab

4、 = bc=，试问四边形ABCD是什么图形15 .如图，在Rt ABC中,已知BC=a若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与 BC的夹角取何值时BP CQ的值最大并求出这个最大值16 .已知常数a>0,向量c= (0, a), i= (1, 0),经过原点O以c+入i为方向向量的直 线与经过定点 A (0, a)以i 2入c为方向向量的直线相交于点 P,其中入 R.试问： 是否存在两个定点 E、F ,使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在, 说明理由17 .已知a是以点A(3,-1)为起点，且与向量 b= (-3,4)平行的单位向量，则向量 a的 终点坐标是

5、多少18 .已知 R(3,2) , P2 (8, 3),若点P在直线P1P2上,且满足|P1P|=2|PP2| ,求点P的 坐标。uuu uuu uur uun urn uuu19 .在边长为1的正三角形 ABC中，求ABgBC BCgCA CAgAB的值.20.已知同一平面上的向量a、b、c两两所成的角相等，并且|打1, |b| 2 , |c| 3,求向量a b c的长度。参考答案1 . A【解析】【错解分析】不能正确处理向量的方向导致错选为D由知，为的重心，根据向量的加法，【正解】=mu uuu uum4PA (PB PC)-故选 A。9，2. D【解析】【错解分析】由于混淆向量平行与垂直

6、的条件，即非r I0 向量 a/bx1y2 x2y1 0，r brax1x2 yy 0，而不能求得答案。【正解】不妨设 C (m, n)，则a c 1m,2r rr r rn ,a b (3, 1)，对于 c a /b，贝Vrr r77有 3(1 m) 2(2 n)；又c a b，则有 3m n 0，则有 m ,n,故选 D。93【点评】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用.3. C【解析】【错解分析】对题意的理解有误，题设条件并没有给出A、B C三点不能共线，因此它们可以共线。当A、B、C共线时， ABC不

7、存在，错选 D【正解】因为向量减法满足三角形法则，作出， ，。(1 )当厶ABC存在，即A、BC三点不共线时，；(2)当与同向共线时，；当与反向共线时，。,故选Co4. C【解析】【错解分析】a/bx1 y2X2%0X1V1，此式是否成立，未考虑，选AoX2 y【正解】右则x1y2X210, *F Fa/b，若a/b，有可能x?或y?为0,故选CoX2 y5. B【解析】【错解分析】 共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章 中正确应用向量知识解决有关问题的前提， 在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如果认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律就会产生

8、一些错误的结论。r r r 2【正解】正确。根据向量模的计算a?a a判断。错误，向量的数量积的运算不满足交换律，这是因为根据数量积和数乘的定义（；C） b表rr r rrrr示和向量b共线的向量，同理（a b） c表示和向量c共线的向量，显然向量 b和向量c不一定是共线向量，故（；b） C （； C） b不一定成立。错误。应为rrab 错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。 错误。应加条件“非零向量a ” 错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量b和向量b在向量c方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。 错误。注意平面向量的基本定理的前提有向

9、量e ,e2是不共线的向量即一组基底。正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等,即四边形为矩形。故a七=0。错误。 综上真命题个数为 2,故选B【点评】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。已知a,丨（入a） （分配律）6. （ 35【解析】只需两向量垂直即可。b,c和实数入，则向量的数量积满足下列运算律：a-b = b-a'b = （ab）=a（入b）（数乘结合律）（a + b ）-定要明确概念或定理成立的前提 一般地 （交换律） c=a- c+b° c【错解分析】5)因为的模等于5,

10、所以与平行的单位向量就是1【正解】因为的模等于 5,所以与平行的单位向量是-535【点评】平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和：的单位向量”，结果也应该是两个。7.【解析】【错解分析】本题常见错误五花八门，错误原因是没有理解向量的模的不等式的性质。 【正解】分别表示与、同向的单位向量，即（-4)5354、十/ 34、555=(3, - 4)垂直【解析】【错解分析】只由 a,b的夹角为钝角得到 a b0,而忽视了 a b 0不是a,b夹角为钝角的充要条件,因为a,b的夹角为180时也有a b0,从而扩大X的范围，导致错误.【正解】a， b的夹角为钝角a b x 3x 2x

11、23x2 4x 04解得X 0或x(1)31又由a,b共线且反向可得x(2)31 1由(1),(2) 得X的范围是，,0339. . 3【解析】【错解分析】uurBA不清楚uuuBC-uur-ttitfr-BABC与/ ABC的角平分线有关，从而不能迅速找到解题的突破口，不能正确求解。【正解】由题知四边形ABCD是菱形，其边长为2，且对角线BD等于边长的,3倍，所以cos ABD12，故 Sin ABD基S2， SABCD10. 锐角三角形【解析】【错解分析/ B为钝角， ABC为钝角三角形。错将与的夹角看成是 ABC的内角B,向量与的夹角应为。【正解】； ? ? ?、B C均为锐角。 ABC

12、为锐角三角形。11. 60o【解析】【错解分析】由题意，得 (a + 3b)g(7a b) 0，(a b)g7a b) 0，将、展开并相减，得 46ago二 b2，1 b ，故 a = b，2将代入，得a2 b2,则a b ,设a与b夹角为，则cosadpagb-b2b2 0o < < 180o , 60o.【正解】设向量ab的夹角为，由题意，得(a + 3b)g(7a b) 0，(ab)g(7ab) 0，将、展开并相减，得 46ago二b2，有2ag)= b2，代入式、式均可得a2 b2，贝U a bcosagoagb又 0o <<0 ,60o.所以即使【点评】错解中

13、解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由得到，错把 数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上.由于向量的数量积不满足消去律，b，也不能随便约去.112.2【解析】注意在用【错解分析】 此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来， 已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。正2a (2cos ,2 s in cos)2 2 22cos(cos,s in )2 2 22b (2s in,2s incol)2 2 22sin (sin,cos ?) Q(0,),(,2 ),2(°,?2(9),故有| a | 2cos | b | 2sin2

14、 2cos2cos2 2|a| |c|2cos 2cos ,2b ccos 2 -rr-1sin6 2重视知识的交汇性，向量是新课程成为联系|b| |c|，从而sin 6 2【点评】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，新增内容，具有代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体， 结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查 学生综合运用知识解决问题的能力。13. 7<t< -且 t 工一一142 2【解析】【错解分析】 2te 1+ 7e2与ei+

15、te?的夹角为钝角, (2te 1+ 7e2) (e 1+ te 2)<0 ,2 1 2t 2+ 15t + 7<0，解之得：-7<t< 21 t的范围为(一乙一一).2【正解】 2te 1+ 7e2与e+ te 2的夹角为钝角, (2te 1+ 7e2) (e 1+ te 2)<0 且 2te 1 + 7e2 入(e 1 + te 2)(入 <0).2/ (2te 1+ 7e2) (e 1+ te 2)<0 得 2t + 15t + 7<0,若 2te 1 + 7e2 =入(e 1 + te 2)(入 <0),-(2t 入)e 1 + (

16、7 t 入)e 2 = 0.2t7 t一1J14 t的取值范围为：一7<t< 丄且t丰.2 2【点评】本题错误的关键是没有把握准向量夹角与向量数量积的等价关系 一般地，向量a,b为非零向量，a与b的夹角为B ,则B为锐角 a -b>0且a, b不同向；B为直角 a -b=0;B为钝角 a b<0且a b不反向.2te 1+ 7e2与 e1 + te 2 的夹角为钝角 ? (2te 1 + 7e2) (e 1+ te 2)<0.14. 四边形ABCD是矩形【解析】【错解分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角 量，易忽视如下两点：(

17、1)在四边形中，AB , BC , CD , DA是顺次首尾相接向量，则 其和向量是零向量， 即a + b + c + d= 0,应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生由a + b + c +d =0得a + b= (c+ d)，即(a +即 |a|+2ab+|b| 2 =| c2|2+2cd+ |2|a|+|b|2=|c| 2+|d |2同理有|a|2：+|d|，=|c|2 +1 b |2由可得|a| =| c|，且 |b|=|d |数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。 【正解】四边形 ABCD是矩形，这是因为一方面：即四边形ABCD两组对边分别相等四边形

18、ABCD是平行四边形另一方面，由ab = bc，有b(a c) =2b ) =(c + d)d| 2由于ab = cd,0,而由平行四边形AB丄 BG代入上式得b(2 a ) = 0即ab = 0,.a丄b也即 综上所述，四边形 ABCD是矩形。【点评】向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。UULT UUT15 .当 0时，BC CQ最大，值为0.【解析】【错解分析】本题易错点有uuu UULT2uult uuuuuua2及AC

19、 AB 0这两个关系式，即没有把BP表示为uuu umr uuu uur AP AB , CQ表示为AQAC.致使该题在运算上发生错误。(1)不会利用AP AQ(2)在运用坐标运算过程中，未知数多，如B(b,0), C(0, c), P(x, y),Q( x, y)而忽视了222222bX CV这些量内在的联系 b c a ,x V a ,还有cos的表示式cos2，这些关a系不能充分利用，导致运算错误。【正解】解法uuu：Q ABULur uuu uuurAC, AB AC0.UUUUULT UUUuuuuuu uuuruuuruuurQ APAQ, BPAPAB,CQ AQACuuuuuu

20、uuuuuuuuuruuurBPCQ(APAB)(AQ AC)APAQAPACAB AQ AB AC2 aAPACABAPa2 AP (AB AC)2 1a2 PQ BC2a2 丄 PQ BC22 2a a cos .ULUT UUUUULT ULUT故当cos1,即0 ( PQ与BC方向相同)时，BC CQ最大，其最大值为 0.解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐 标系设 |AB| c|AC| b,则 A(0,0), B(c,0), C(0, b),且 | PQ| 2a,| BC | a.设点P的坐标为(x,y),则0( x, y).UUTUUIT

21、BP (x c, y),CQ ( x, y b),UUUTUUUT【点评】本小题主要考查向量的概念,F(丄卩2 2BC ( c,b),PQ ( 2x, 2y).UUU UUITBP CQ (xc)( x)y( y b)2 2(x y ) cx byUUTLUUPQBCcxbyQ cos-UUT -UUU-.|PQ|BC|acxby2 a cos .UUUUUIT2 2BPCQa a cos .故当cosUULT UUU1,即0 ( PQ与BC方向相同)时，UULT UULTBC CQ最大，其最大值为0平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能2 a121厂,c 1 , I 21、a 2)和

22、 E(计，a 2)，F(0,2 (2)【解析】【错解分析】 此题综合程度较高，易错点一方面表现在学生对题意的理解如对方向向量的概 念的理解有误，另一面是在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局而出错。【正解】根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值 i= (1, 0), c= (0, a),c+ 入 i=(入，a), i 2 入 c= (1, 2 入 a)因此，直线 OP和AP的方程分别为y ax和ya 2 ax.消去参数入，得点 P(x, y)的坐标满足方程y(y a) 2a2x2.整理得丄1.“ a 2因

23、为a0,所以得:(i )当a 土时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；2(ii )当° a 2时，方程表示椭圆，焦点2意的两个定点；(iii )当a 丄时，方程也表示椭圆，焦点2合乎题意的两个定点【点评】本小题主要考查平面向量的概念和计算1E(0,*(aa2,|)为合乎题a21)和 F(°£(a a2；)为,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用在咼考中在解题过程中一方面要注意在给出的向量方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，问题情景中转化出来，另一方面也要注意应用向量的坐标运算

24、来解决解析几何问题。女口：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问 题的意识。1217.(,5【解析】【错解分析】5)或谭,-5)本题易错点常表现在不能正确把握单位向量的概念,从而无法解答,同时解答过程中如果不能正确转换平行条件，也是无法解答此题的。【正解】方法一设向量a的终点坐标是(x,y),则 a=(x-3,y+1)，则题意可知4(x3)3( y 1)0(x-3)2 (y + 1)2 1解得方法二 与向量b= (-3,4)125或15185，故填(9512平行的单位向量是土1 (-3,4)，534故可得a =± (-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a-(3,-1),5 5【点评】向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分 共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念。便可得结果。a与a平行的单位向量e=±-|a|18.( 19,8)或(13, 4)3 3【解析】【错解分析】由|P1P|=2|PP21得，点P分P1P2所成的比为 2,代入定比分点坐标公式得P19 8【正解】当点P为Pi, P2的内分点时，P分P1P2所成的比为2,此时解得P ()；3 3当点P为Pi, P2的外分点时，P分P1P2所成的比为-2，此时解得P (13, 4)。19 8则所求点P的