九年级数学切割线定理

1、切 割 线 定 理景东县锦屏镇中学童国贤 已知：线段a，b 求作：线段c，使c2ab 反思：这个作图题是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用请同学们想一想，这到题还有别的作法吗？ ABCDabcAabcODCB 相交弦定理：相交弦定理： 圆内的两条相交弦，圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相被交点分成的两条线段长的积相等等 PAPB = PDPC 推论推论: : 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项是它分直径所成的两条线段的比例中项 ABPCDOABCDPOPC2=PAPB 练习练习 : o的弦的弦

2、CD平分平分AB于于P, 且且AB=12cm,CD=13cm 试求试求: PC 和和 PD 的长的长. ABPCDOPABDCTAABPCDCDPA PA PB = PD PB = PD PC PC(C , D)PT2 =PAPBPAPB=PCPD 吗吗?吗吗?BP 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 中项。 即 PT2 =PAPB已知：如下图，点已知：如下图，点P P是是oo外一点，外一点，PTPT是切线，是切线，T T是切点，是切点， PAPA是割线是割线 , , 点点A A和和B B是它与是它与oo的交点。的交点。求证：求证：PTPT2

3、 2 =PA =PA PBPBTPAB1证明: 1= B P= PPTA PBTPA:PT=PT:PBPT2 =PAPB连结TA，TB问题：如下图，点问题：如下图，点P是是 o外一点，过外一点，过P点向点向圆作两条圆作两条 直线直线 与圆相交得四条线段与圆相交得四条线段 PA与与PB及及PC与与PD 它们有等积关系它们有等积关系 PAPB=PCPD 吗吗? 从圆外一点引圆的两条割线，从这一点到从圆外一点引圆的两条割线，从这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相相等等. 即即 PAPB = PCPD 切割线定理 推 论T=PT2练习一: 如下图如下图, ,

4、圆圆o o的两条弦的两条弦ABAB和和CDCD相交于点相交于点E,ACE,AC和和DBDB 的延长线交于的延长线交于P,P,下列结论成立的是下列结论成立的是( ).( ). (A) PC CA=PB BD (B) CE AE=BE ED (C) CE CD=BE BA (D) PB PD=PC PAPT2 =PAPBPCPD =PAPBPAPB = PDPCD练习二： 1. 过圆O外一点P, 作两条割线PAB和PCD, 已知PA=1, PB=3, PC=0.6。则CD= ? 2。 已知PT切圆O于T，PAB为圆O的割线， PA : AB =1 : 3 , PT=2 , 则PB= ？CD = 4

5、.4PB = 4例3 已知:如图, O的割线PAB交 O于点A和B，PA=6cm，AB=8 cm，PO=10.9cm，求 O的半径。解:设 O的半径为r,PO和它的延长线交 O于C、D，由切割线定理的推论，有：PAPB = PDPCPA=6 PB=6+8=14 PC=10.9-r PD=10.9+r故 (10.9-r ) (10.9+r)=614取正数解,得r=5.9(cm)答: O的半径为5.9cm另解 利用垂径定理法三: 利用切割线定理T练习三：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA的延长线上。过点P作圆O1的割线PMN交圆O1于M .N，作圆O2的切线PC交圆O2于C。求证：P

6、MPN =PC2。 P NBACMo1o2证明:PC切圆切圆O2于于CPAB是圆是圆O2的割线的割线PC2 = PAPBPAB是圆是圆O1的割线的割线PMN是圆是圆O1的割线的割线PAPB = PMPN PMPN =PC2PBAo1o2练习四：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA的延长线上。过点P作圆O1的切线PC切圆O1于C，作圆O2的切线PD切圆O2于D。求证：PC =PD。 C DPBAo1CD练习五：如图，圆o1，圆o2，圆o3都经过点A和 B，点P是BA的延长线上一点。PC，PD，PE 分别与圆o1，圆o2，圆o3 相切于C，D，E ，求证：C，D，E 在同一个圆上。提示

7、：PC = PD = PE Eo3o2练习六 P114 2. 解：解： RtABC中，中，ACBCAC为圆为圆O的直径的直径BC切圆切圆O于于CBDA为圆为圆O的割线的割线BC2=BDBARtABC中中AC=3; BC=4.AB=5BC=4BD=3.2 (cm)ACBD O提 示： 法一：BC是为圆O的切线 法二： 连接CD ,射影定理。提高题：如图，PA切圆O于A，PBC是圆O的割线，D是PA的中点，DC交圆O于E。 求证：1）PD2=DEDC；2） 1= C。PAEBCO 1FG分析：分析： 思考题: 若延长若延长PE交圆交圆O于于F,BF交交CD于于G求证求证: PCBG=PD BCDP1. PD=DA且且DA2=DE DC2. PD:DE=DC:PD PDE= CDP则则: PDE CDP从而从而: