刚体的定轴转动2013

1、第五章刚体的定轴转动第五章刚体的定轴转动刚体刚体任意两质元间距离保持不变的物体任意两质元间距离保持不变的物体刚体的运动刚体的运动:复合运动复合运动平动转动平动转动平动平动各质元运动状态相同各质元运动状态相同转动转动各质元绕同一轴作圆周运动各质元绕同一轴作圆周运动(理想模型理想模型)本章本章： 刚体转动的描述刚体转动的描述定轴转动定律定轴转动定律转动中的功和能转动中的功和能定轴转动的角动量守恒定律定轴转动的角动量守恒定律5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述 最简单情况：定轴转动最简单情况：定轴转动 同同Chap.1 “圆周运动圆周运动” vsRotanaRS Rv Rat2 Ran角速度的矢量表

2、示法：角速度的矢量表示法：大小：大小： 方向：方向：/转轴转轴, 符合右手螺旋符合右手螺旋rrv线速度：线速度：rv验证：验证：r大小：大小：方向：方向：Note: r 圆周切向圆周切向 例例5-15-1已知：已知：min/60revkmkjir210)543 (求：求：?v解：解：k)60260()/(2sradkrv210)543 (2kjik210)86(ij)/(188. 0251. 0smji5.2 定轴转动定律定轴转动定律M=J M=Mi =( )Fi ri 合外合外力矩力矩转动转动惯量惯量角加角加速度速度Notes:iriFMi方向与所设转动正方向一致为方向与所设转动正方向一致为

3、正，相正，相反为负反为负. . iF几个力同时作用在一个具有固定转几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体和为零，则此刚体(A)(A)必然不会转动必然不会转动(B)(B)转速必然不变转速必然不变(C)(C)转速必然改变转速必然改变(D)(D)转速可能不变，也可能改变转速可能不变，也可能改变答案：答案： (D)若若矢量和不矢量和不为零，结果？为零，结果？思考思考 例例5-25-2刚体的重力矩刚体的重力矩等于刚体全部质量集中于等于刚体全部质量集中于质心时所产生的重力矩质心时所产生的重力矩.重力矩大小：重力矩大小：cos2Lmge.g

4、.细杆质量细杆质量m, 长长Logm从水平到竖值：从水平到竖值： ，J= miri2 转动惯量转动惯量 mi第第i i质元的质量质元的质量 ri 第第i i质元到转轴的距离质元到转轴的距离e.g.oomm2232mL231232)(2)(LmLmJ对对OO 轴：轴：SISI单位：单位：kg m2L31L32有两个半径相同、质量相等的细圆有两个半径相同、质量相等的细圆环环A和和B，A环的质量分布均匀，环的质量分布均匀，B环环不均匀，它们对通过环心并与环面不均匀，它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为垂直的轴的转动惯量分别为JA和和JB，则则(A)JAJB (B)JAJB(C)JA=JB

5、(D)不能确定不能确定答案：答案： (C)若是两个圆盘呢若是两个圆盘呢？思考思考 例例5-35-3J J的大小依赖于刚体质量的大小依赖于刚体质量相对于转轴相对于转轴的分布的分布.oocc细杆质量细杆质量m, ,长长L对于对于 轴：轴：J=mL2/3oo J J的物理意义的物理意义: : 表征刚体转动惯性的大小表征刚体转动惯性的大小.e.g.cc 对于对于 轴：轴：J=mL2/12 例例5-45-4已知圆盘转动惯量已知圆盘转动惯量J J，初角速度，初角速度 0 0阻力矩阻力矩M=-k ( (k为正的常量为正的常量) )求求: :角速度角速度从从 0 0变为变为 0 0/2/2所需的时间所需的时间

6、解：解： 转动定律：转动定律：2/000ddtJktkJt2ln角速度从任意值角速度从任意值 变为变为 /2所需的时间所需的时间?思考思考dtdJk飞轮转动惯量飞轮转动惯量J J，初角速度，初角速度 0 0，阻力阻力矩的大小与角速度的平方成正比，矩的大小与角速度的平方成正比，比例系数为比例系数为k k(k(k为正的常量为正的常量) )求：求：当当 = = 0 0/3/3时，角加速度时，角加速度 = =？从开从开始制动到始制动到 = = 0 0/3/3时时所所转过的角度转过的角度解：解： 按题意按题意 M=-k 2JMJk20) 3/(Jk920转动定律转动定律：dtdJk2 例例5-55-5k

7、J3ln3/000ddJk思考思考 所经过的时间所经过的时间?ddtdJdk23/20200ddtJkdtdJkt000213kJttJk 例例5-65-6已知已知: :滑轮质量滑轮质量M、半径、半径R、 转动惯量转动惯量J=MR2/2 物体质量物体质量m，v0 0=0=0 忽略绳子质量忽略绳子质量 绳、轮之间无滑动绳、轮之间无滑动求求: :物体下落时的物体下落时的vt t关系关系解：解： 受力图：受力图：gma)(TT TgMNT对物体：对物体：maTmg对滑轮：对滑轮：221MRTRMmmga22.consta atv Note:T T 22 1 例例5-75-7质量为质量为m、半径为、半

8、径为R的圆盘可绕通过的圆盘可绕通过其直径的光滑固定轴转动，转动惯其直径的光滑固定轴转动，转动惯量量J=mR2/4，设圆盘从静止开始在恒，设圆盘从静止开始在恒力矩力矩M作用下转动，则作用下转动，则t秒后圆盘边秒后圆盘边缘上缘上B点的点的at=，an=.BR 例例5-85-8 at=R =4M/mR an=R 2=16M2t2/m2R3解：解：M恒定恒定 恒定恒定 =M/J=4M/mR2 = t=4Mt/mR25.3 5.3 转动中的功和能转动中的功和能1.力矩的功力矩的功对于对于 +d ，有，有rdFdAMdrdFtrdFt(垂直于转轴的截面垂直于转轴的截面) rFtFd rd对于对于 1 2

9、，有，有21MdA力矩的功力矩的功有正负有正负Note:2.转动动能转动动能221iikvmE2221iirm221J3.转动动能定理转动动能定理转动定律：转动定律：dtdJMddtdJMd2121dJMd21212221JJA刚体转动动能的增量刚体转动动能的增量合外力矩的功合外力矩的功(转动动能定理转动动能定理)4.4.刚体的重力势能刚体的重力势能等于刚体全部等于刚体全部质量集中于质心时质量集中于质心时的重力势能的重力势能刚体也是质点系刚体也是质点系, , 可用功能原理、可用功能原理、机械能守恒定律等来处理刚体系的机械能守恒定律等来处理刚体系的功能问题功能问题. .Note:重力势能大小：重

10、力势能大小：sin2)(LmgEp细杆质量细杆质量m, 长长Logm 例例5-95-9 细杆质量细杆质量m、长、长L、对轴的转动惯量对轴的转动惯量J=mL2/3, ,开始时水平开始时水平静止静止. .轴光滑轴光滑. .求求: :杆下摆杆下摆 角时角时, , =?=?解：解：杆地球系统：杆地球系统：Ep+Ek=const.令水平位置令水平位置Ep=0，则有，则有03121sin222mLLmgLg sin3 思考思考 用用转动动能定理转动动能定理 求解求解? ?用用转动定律转动定律求解求解? ?dLmgJcos202102ddJdtdJLmgcos2sin2212LmgJ20021cos2JdJ

11、dLmg5.4 5.4 定轴转动的角动量守恒定轴转动的角动量守恒 1.1.质点质点对固定轴的角动量对固定轴的角动量L L正负取决于转动正方向的选取正负取决于转动正方向的选取. .mvdL定义：定义：v在垂直于转轴的平面内在垂直于转轴的平面内.dvmONotes:2.刚体对固定轴的角动量刚体对固定轴的角动量iivmiriiirvmL2iirm J3.定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理微分形式：微分形式：dtdLM 合外力矩合外力矩角动量变化率角动量变化率该定理适用于单个刚体该定理适用于单个刚体,也适用于也适用于刚体系刚体系.积分形式：积分形式：1221LLMdttt将该定理的微分形式应用于

12、单个刚将该定理的微分形式应用于单个刚体，即得定轴转动定律体，即得定轴转动定律Notes:4.4.定轴转动的角动量守恒定律定轴转动的角动量守恒定律对于刚体系，若对于刚体系，若则则.constL 总0外M 例例5-105-10细杆质量细杆质量M, ,长长L, ,J= ML2/3, ,子弹质量子弹质量m=M/4, ,速度速度 , ,轴光滑轴光滑求：子弹嵌入后求：子弹嵌入后, , = =？最大摆角最大摆角 = =？0v解：解：嵌入过程中嵌入过程中, ,子弹杆系统子弹杆系统 L=const.)(231232320MLLmLmvOL32 Lv830上摆过程中上摆过程中, ,子弹杆地球系统子弹杆地球系统Ep

13、+Ek=const.令令O轴处轴处Ep=0，则有，则有coscos2132LMgLmg2231232212132)()(MLLmLMgLmg)6431arccos(20gLv 思考思考 上式对上式对v0 0值有何限制值有何限制? ?OL32 例例5-115-11圆盘质量圆盘质量M, ,半径半径R, ,J=MR2/2, ,转轴光滑转轴光滑, ,人的质量人的质量m, ,开始时，开始时，两者静止两者静止求：人在盘上沿边缘走过一周求：人在盘上沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度时，盘对地面转过的角度解：解： 在走动过程中在走动过程中, ,人盘系统人盘系统 L=const.设设任意任意时刻，人对盘时刻，人对盘: ；盘对地；盘对地: 则有则有0)(2212MRmRMmm2220022dMmmdMmm24 Mm Chap.5 SUMMARY1.1.刚体转动描述刚体转动描述rvRS Rv Rat2 Ran2.2.定轴转动定律定轴转动定律 M=J (重力矩的计算！重力矩的计算！)3.3.转动中的功和能转动中的功和能力矩的功力矩的功( (有正负有正负 ) )转动动能转动动能221JEk