2020年人教版高考数学(理)一轮复习第七单元听课正文第46讲利用空间向量求角

1、听课正文 第 46 讲 利用空间向量求角课前双基巩i两条异面直线所成角的求法(1) 设两条异面直线a,b的方向向量分别为a,b,其夹角为 Q 则 cos 0=ps 0|=_(其中 0为异面直线a,b所成的角).(2) 两条异面直线所成的角0 的取值范围是 _.2直线和平面所成角的求法(1)如图 7-46-1 所示，设直线I的方向向量为e,平面 a 的法向量为n,直线I与平面 a 所成的角 为 0,向量e与n的夹角为 0,则有 sin 0=|os 0|=.An/J hJ图 7-46-1(2)直线和平面所成的角0 的取值范围是3.求二面角的大小(1)如图 7-46-2所示AB,CD是二面角 a-l

2、-卩的两个半平面内与棱大小为.。知识!I垂直的直线，则二面角的如图所示，m,n2分别是二面角(或 n-).(3)二面角的平面角的取值范围是_题组一常识题1.教材改编若直线I的方向向量与平面 a 的法向量的夹角等于 120则直线l与平面 a 所 成的角等于_.2.教材改编如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(0,2,1),b=(_,: 一),那么这条斜线与平面的夹角是 _3.教材改编如图 7-46-3 所示，在正方体ABCD-AiBiCiDi中,M,N分别为棱AAi和BBi的中点，则 sinv,的值为_.4.教材改编已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)

3、,写出平面ABC的一个法向量是题组二 常错题索引：二面角的取值范围出错；直线和平面所成的角的取值范围出错.5. 已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为_.6.已知向量mn分别是直线l的方向向量和平面 a 的法向量 若 cos=-,则I与 a 所成的角为_.7已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等 ,E是SB的中点，则AE,SD所成角的余 弦值为_.ZZZ.琛皇考点探究. .|- Bffll 18 ?总第騒血丁一0探究点一异面直线所成的角例1 2018 福州5月质检 如图7-46-4所示的多面体ABCD-A1B1C1中,上底面ABC

4、D与 下底面A1B1C1平行，图 7-46-2a-l-卩的两个半平面a,卩的法向图 7-46-3四边形ABCD为平行四边形，且AA1/BB1/CC1,已知AB1=A1B1=2AA1=2AC,ZAA1C1A，且A1C1丄B1C1.(1)求证:平面ACC1A1丄平面A1B1C1;若点M为B1C1的中点，求异面直线C1D与CM所成角的余弦值.总结反思用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,90 ,即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.变

5、式题2018 江苏卷如图 7-46-5 所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分 别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值求直线CC1与平面AQCi所成角的正弦值图 7-46-5O探究点二直线与平面所成的角例 2 2018 全国卷 I 如图 7-46-6 所示，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置，且PF丄BF.(1)证明:平面PEF丄平面ABFD；求DP与平面ABFD所成角的正弦值图 7-46-6总结反思(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：分别求出斜线和它在平面内

6、的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角若直线I与平面 a 的夹角为 B，直线I的方向向量I与平面 a 的法向量n的夹角为 3 则 0=-3 或 0二节，故有 sin 0=0s 3|=变式题2019 四川一诊如图 7-46-7 所示，四棱锥S-ABCD中，SA丄底面ABCD，SA=2,/ABC=90,AB=,BC=1,AD=2_,ZACD=60 为CD的中点.图 7-46-7(1)求证:BC/平面SAE;(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值O探究点三二面角例 3 201

7、8 全国卷 m如图 7-46-8,边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是 上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD丄平面BMC;当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值总结反思(1)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向 量,然后通过求两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：求平面的垂线的方向向量；利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解变式题2018 石家庄二模如图 7-46-9,在