计算方法—插值法

1、2021-12-181（ Interpolation）Chapter2插值法2021-12-182Chapter2插值法 表示两个变量x,y内在关系一般由函数式y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多样的,有下面两种情况：（1）由实验观测而得的一组离散数据(函数表)， 显然这种函数关系式y=f(x)存在且连续，但未知。（2）函数解析表达式已知，但计算复杂，不便使用。通常也列函数表，如y=sin(x),y=lg(x)2021-12-183 办法是：根据所给的y=f(x)的函数表，构造一个简单的连续函数P(X)近似替代f(x)。Chapter2插值法 近似代替即逼近的方法有很多种：插值方法、

2、最佳一致逼近、最佳平方逼近、曲线拟合。 由于问题的复杂性,直接研究函数f(x)可能很困难,但为了研究函数的变化规律,有时要求不在表上的函数值，怎么办？ 简单连续函数P(x)指可用四则运算计算的函数: 如有理函数(分式函数) ,多项式或分段多项式。2021-12-184Chapter2插值法插值问题的数学提法： 已知函数y=f(x)在n+1个点x0,x1, ,xn上的函数值yi=f(xi)(i=0,1, ,n)，求一个简单函数y=P(x)，使其满足P(xi)=yi,（i=0,1, ,n）。即要求该简单函数曲线要经过y=f(x)上已知的这n+1个点(x0,y0),(x1,y1), ,(xn,yn)

3、,同时在其它xa,b上要估计误差R(x)=f(x)-P(x)。 2021-12-185Chapter2插值法重要术语重要术语 对于n+1个基点的插值问题，我们称：f(x) 为被插值函数；P(x)为插值函数；x0,x1,xn为插值基点或插值节点；P(xk)=f(xk),k=0,1,n为插值条件；a,b为插值区间。注释：对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已知的，比如对数函数，指数函数，三角函数等，这些问题现在已经不用插值法来计算了；对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道f(x)的具体形式，所对应的函数值可能是由测量仪器或其他物理设备中直接读出来的，f(x)只是一个概念中的函数 。2021-1

4、2-186Chapter2插值法多项式插值多项式插值 对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。 实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数或分段多项式函数。由于次数不超过n的多项式的一般形式为： Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 所以只要确定了n+1个系数a0，a1， ，a2，an，我们便确定了一个插值多项式。 2021-12-187Chapter2插值法yxx0 x1x2xn-1xny0y1y2)(xf)(xP多项式插值的几何意义： 多项式Pn(x) ，其几何曲线过给定的y

5、=f(x)的n+1个点(xi,yi) i=0,1,2,n。ynyn-12021-12-188Chapter2插值法2021-12-189Chapter2插值法2-1 插值多项式的唯一性已知y=f(x)的函数表，且xi(i=0,1,n)两两互异，xi a,b。求次数不超过n的多项式使得Pn(xi)=yi,i=0,1,2,n此问题中Pn(x)是否存在？存在是否唯一？如何求？显然关键是确定多项式Pn(x)的系数a0,a1, ,an。2021-12-1810Chapter2插值法2-1 插值多项式的唯一性定理：在n+1个互异的插值节点x0,x1,xn 上满足插值条件Pn(xi)=yi,i=0,1,2,

6、n的次数不超过n的代数多项式Pn(x)存在且唯一。分析：为求主要考虑插值条件2021-12-1811Chapter2插值法2-1 插值多项式的唯一性证明：由插值条件，有nnnnnnnnnnnnnnyxaxaxaaxPyxaxaxaaxPyxaxaxaaxP2210112121101002020100)()()(其系数矩阵的行列式为0)(),(11110110212110200jiijninnnnnnnnxxxxxVxxxxxxxxx),jixxji（关于未知量a0,a1, ,an的非齐次线性方程组01,na aa方程组的解存在且唯一插值多项式存在且唯一。2021-12-1812Chapter2

7、插值法例 给定f(x)的函数表，求f(x)的次数不超过3的插值多项式。x -1 1 2 5y -7 7 -4 35解：设3322103)(xaxaxaaxP则，3547712525518421111111113210aaaa解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2即P3(x)=10+5x-10 x2+2x3当n=20,在109次/ /秒的计算机上计算需几万年！2021-12-1813Chapter2插值法2-2 线性插值与抛物插值问题的提法：已知函数y=f(x)的函数表求次数不超过1的多项式L1(x)=a0+a1x满足插值条件L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1。x

8、xk xk+1y yk yk+1分析:过两点(xk,yk),(xk+1,yk+1)作直线y=L1(x)线性插值解:由点斜式方程kkkkkkkkkkkkkkkyxxxxyxxxxyxLyxxxxyyyy111111)()(111( )( )1111( )( )kkkkkkkiii kkkklxxklxxxxL xyyl x yxxxx 1111( )( )kkkkkkkkxxxxl xlxxxxx称为线性插值基函数,而L1(x)是它们的线性组合。1111()1()0()0()1( )( )1kkkkkkkkkklxlxlxlxlxlx2021-12-1814Chapter2插值法L1(X)L1(

9、X) lg2.718 L1 (2.718)=0.434282021-12-1815Chapter2插值法2-2 线性插值与抛物插值 利用线性插值法对函数y=f(x)进行逼近时，即用直线y=L1(x)代替曲线y=f(x)。 显然当插值区间较大或曲线x0,x1凸凹变化大时，线性插值的误差很大。 为了减小这种误差，我们用简单的曲线(抛物线)去近似代替复杂曲线y=f(x) 。二次多项式函数的曲线为抛物线，所以我们构造插值函数L2(x) ，即n=2。2021-12-1816Chapter2插值法问题的提法：已知y=f(x)的函数表，x0, x1, x2为互异节点，求一个次数不超过2的多项式L2(x)=a

10、0+a1x+a2x2 ：L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2x x0 x1 x2y y0 y1 y2几何意义:L2(x)为过三点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)的抛物线。方法：基函数法，构造基函数l0(x), l1(x), l2(x) (三个二次式) 使L2(x)= y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)满足插值条件。000102101112202122()1( )0()0()0( )1()0()0( )0()1l xl xl xl xl xl xl xl xl x 1( )(,0,1,2)0ijijl xi jij2021-12-1817C

11、hapter2插值法求二次多项式l0(x)： l0(x0)=1, l0(x1)=0 ,l0(x2)=0 l0(x) =C(x-x1)(x-x2) 只须求C=?由l0(x0)=1 得C(x0-x1)(x0-x2)=1 C=1/(x0-x1)(x0-x2)1200102()()( )()()xxxxlxxxxx同理求得l1(x), l2(x) ,即抛物插值的插值基函数如下:020112012010210122021()()()()()()( ), ( ), ( )()()()()()()xxxxxxxxxxxxl xl xl xxxxxxxxxxxxx抛物插值问题的解:02011220120102

12、10122021()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxL Xyyyxxxxxxxxxxxx2021-12-1818Chapter2插值法2-3 拉格朗日插值多项式已知y=f(x)在两两互异节点x0,x1,xn的函数值y1,y2,yn, 求n n次多项式Ln(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,满足插值条件Ln(xi)=yi. i=0,1,2,3,n。基函数法：求n+1个n次多项式l0(x),l1(x),ln(x) 使 Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)。Ln(x)须满足插值条件 Ln(xi)=yi i=0,1,2,3,n即y0l

13、0(xi)+y1l1(xi)+yili(xi) +ynln(xi) = yi1()0ijijijl xij为此，只需这组基函数满足：2021-12-1819Chapter2插值法 li(x0)=0,li(xi-1)=0,li(xi+1)=0,li(xn)=0即li(x)有n个零点，x0,x1,xk-1,xk+1,xn。011( )()()()()iiinl xc xxxxxxxx011011( )1()()()()11/()()()()iiiiiiiiniiiiiinl xc xxxxxxxxcxxxxxxxx又011011()()()()( )()()()()iiniiiiiiinxxxxx

14、xxxl xxxxxxxxx求插值基函数li(x)与节点有关，而与f无关2021-12-1820Chapter2插值法 于是，满足插值条件Ln(xi)=yi. i=0,1,2,3,n的插值多项式为：0,00( )( )nnnjni iijijiiijxxL xyl xyxx 上式即为拉格朗日（LagrangeLagrange）插值多项式。当n=1， 或n=2时分别就是线形插值与抛物插值公式。01( ), ( )( )nl x l xl x为拉格朗日插值基函数。1011( )( )()()()nnnxxxxxxxxH记( )( )|lim()iixixxiixxxxxxx则( )1( )( )i

15、iixl xxxx基函数的等价形式2021-12-1821Chapter2插值法2-4 插值余项函数y=f(x)与其Lagrange插值多项式Ln(x)：(1) Ln(xi)= f(xi) =yi, i=0,1,2,n；(2) 而对于插值区间a,b内插值节点xi(i=1,2,n)以外的点x, ,一般Ln(x) f(x) ，存在误差。Def:对于一般的n+1个基点的多项式插值问题，设f(x)为被插值函数,Ln(x)为相应的插值多项式,记Rn(x)为f(x)与Ln(x)的差,即 Rn(x)= f(x)-Ln(x) 则Rn(x)就是用Ln(x)近似替代f(x)的误差,我们称它为插值余项。显然，由插值

16、多项式的唯一性可以导出插值余项的唯一性。 2021-12-1822Chapter2插值法利用Lagrange插值公式Ln(x)来计算，结果是否可靠，要看余项Rn(x)是否足够小。R Rn n(x(x)=)=？ 设ax0 x1xnb，且满足条件f cna,b,f (n+1)在a , b内存在,考察插值误差， Rn(x)= f(x)-Ln(x) 。Rn(x) 至少有个n+1根0( )( )()nniiR xK xxx把x看作是（任意）固定的点，作辅助函数 0( )( )( )( )()nniitf tL tK xtx(t)有n+2个不同的根x0 , ,xn ,x根据Rolle定理(1)( )0,(

17、 , )na b注意：此处是对t求导(1)(1)( )( )( )(1)!0nnfLK x n(1)( )0nL(1)( )( )(1)!nfK xn(1)0( )( )()(1)!nnniifR xxxn2021-12-1823Chapter2插值法定理：定理：设ax0 x1xnb，且满足条件f cna,b,f (n+1)在a , b内存在,Ln(x)为相应的插值多项式，Rn(x)为插值余项，则对任意固定的x(a,b)，有(1)11( )( )( )(1)!nnnR xfxn其中(a,b), 依赖于x ，(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)注：通常不能确定，而是估计(1)1|( )|

18、( , )nnfMxa b 将10|()|(1)!nniiMxxn作为误差上限。当f(x) 为任一个次数 n的多项式时,可知 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的。(1)( )0nf( )0nR x 2021-12-1824Chapter2插值法线性插值的截断误差为二次插值的截断误差为:2-4 插值余项1011( )( )()()2R xfxxxx20121( )( )()()()6R xfxxxxxx2021-12-1825Chapter2插值法L2(x)2lg2.718(2.718)0.43428L2021-12-1826例求过点(2,0) (4,3) (6,5) (8,4) (1

19、0,1)的拉格朗日型插值多项式。Chapter2插值法解：用4 次插值多项式对5 个点插值。x0= 2 ， x1 = 4 ， x2 = 6 ， x3= 8 ， x4= 10 ，y0= 0 ， y1 = 3 ， y2 = 5 ， y3 = 4 ， y4 = 1 ;2021-12-1827Chapter2插值法( ),144,169,225f xx若三个节点为。(175)Lagrangef试估计用线性和二次插值做近似值的截断误差。线性插值的余项为设LagrangexR)(1插值的余项为二次 LagrangexR)(2解:xxf21)(2341)( xxf2583)( xxf|)(|max22516

20、92xfMx |)169(| f 41014. 1|)(|max2251443xfMx |)144(| f 61051. 12021-12-1828Chapter2插值法程序设计:00( )( )( )nniinjijijj iL xl x yxxl xxx 公式：程序流程图2021-12-1829Chapter2插值法高度高度(m) 0 100 300 1000 1500 2000压强压强 (kgf/m2) 0.9689 0.9322 0.8969 0.8515 0.7984 0.7485 试用二次插值法求试用二次插值法求1200米处的压强值。米处的压强值。 实际应用：实际应用：已测得某地大

21、气压强随高度变化的一组数据，已测得某地大气压强随高度变化的一组数据， 2021-12-1830解：设x为高度，y为大气压强的值， 选取(1000,0.8515) ,(1500,0.7984), (2000,0.7485)三点构造二次插值多项式 代入已知的数值，得 L2(1200)=0.82980 0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()xxxxxxxxxxxxL xyyyxxxxxxxxxxxxChapter2插值法2021-12-1831Newton插值Chapter2插值法2021-12-1832Chapter2插值法 拉格朗日插值

22、多项式形式对称，计算较方便，但由于Ln(x)依赖于全部节点，若算出所有Ln(x)后精度不满足要求，又需要增加节点，则必须全部重新计算,为了克服这个缺点，我们引进牛顿插值多项式（Newton插值具有承袭性）。不具有承袭性2021-12-1833Chapter2插值法 假设对于具有k+1(k0)个插值节点的多项式插值问题，已经得到了相应的插值多项式 ，如果它不能满足我们的精度要求，则希望通过增加一个插值节点 ，并利用已得到的 来构造新的，具有k+2个插值节点的插值多项式 ，为此,把 表为 与一个修正项 的和的形式是合理的,即 )( xPk)(,(11kkxfx)(xPk)(1xPk)(1xPk)(

23、xPk)(1xHk11( )( )( )kkkPxP xHx从而只要确定了 ， 我们即可写出 。 此时我们称上面的式子是具有承袭性的插值多项式。 )(1xPk )(1xHk承袭性的含义： 2021-12-1834Chapter2插值法 由线性代数的知识可知，任何一个n次多项式都可以表示成0010111,()(),()()()nxxxxxxxxxxxx共n+1个多项式的线性组合。那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？显然，多项式组0010111,()(),()()()nx xx xx xx xx xx x线性无关，因此，可以作为插值基函数。2021-12-1835Chapter2插值

24、法,ix设插值节点为nifi, 1 , 0,函数值为nifxPii, 1 , 0,)(插值条件为)()()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaaxP具有如下形式设插值多项式)(xP2021-12-1836Chapter2插值法nifxPxPii, 1 , 0,)()(应满足插值条件有000)(afxP00af)()(011011xxaafxP01011xxffa)()()(12022021022xxxxaxxaafxP12010102022xxxxffxxffa再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入差商的概念2021-12-1837Chapter2插值法设f(x)是

25、定义在某区间内,取连续变量值或离散变量值的实值函数，且已知f(x)在在n+1个互异的离散点x0,x1,xn处的函数值f(x0)，f(x1)，f(xn),称 ()0,1,kkf xf xkn为f(x)在xk处的零阶差商 。均差(差商) ,jiijjif xf xf x xxx,0,iji jn为f(x)在xi,xj处的一阶差商。 注: (1) 差商的几何意义：BAx0 x1XY0fx0,x1为弦AB的斜率。(2) 显然，fx0,x1=fx1,x0/ *divided difference*/2021-12-1838Chapter2插值法 , , ,ikijijkkjf x xf x xf x x

26、xxxnkjijk,0 ,为f(x)在xi,xj,xk处的二阶差商。 均差(差商)/ *divided difference*/称一般地,如果定义了f(x)的k-1阶差商,则可以定义f(x)的k阶差商为 :02021011,.,kkkkkkkf xxxf xxxf x xxxx这里,k可取值 2,n。2021-12-1839Chapter2插值法差商具有如下性质(请同学们自证)：01-1011( ),(),(),(),kkkf xkf xxxxf xf xf x性质：的 阶差商可由函数值的线性组合表示 且,110kkxxxxfkikiiiiiiixxxxxxxxxf0110)()()()(可用

27、归纳法证明100101100110()()()(),f xf xf xf xf x xxxxxxx例：这个性质也表明均差与节点的排列顺序无关(均差的对称性）01102120, , ,kkkf x xxf x x xxf x xxx即,210 xxxf,120 xxxf,012xxxf2021-12-18400201201001221212010201021202110002121202120211021,()()( )()1,()()()( )()()()()()()()()( )()()()()()()(f x xf x xf xf xf xf xf x x xxxxxxxxxf xf xf

28、 xf xxxxxxxxxf xf xf xf xxxxxxxxxxxxxxx1002120211012211020021202110120102)()()()( )11()()()()()()()()( )()()()()()()xxf xf xf xxxxxxxxxxxxxxxf xf xf xxxxxxxxxxxxxChapter2插值法2021-12-1841Chapter2插值法性质2 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变。12011010 ,kkkkf x xxf x xxf x xxxx依对称性，对调定义公式左端k 阶均差中x0与xk-1的位置，0121112011

29、21120012101210 , , , , , , , ,kkkkkkkkkkkkkkkkkf x xxxxf xxxx xf xxxxf xxxxxxf x xxxf x xxxxx2021-12-1842Chapter2插值法)013( ),kkfxxxx（性质 ： 当在包含节点的区间存在时01,kx xx在之间必存在一点使得n阶差商与n阶导数有关系式,10kxxxf!)()(kfk性质4：若f(x)是x的n次多项式，则一阶均差，fx,x0是x的n-1次多项式，二阶均差fx,x0,x1是x的n-2次多项式； 一般地，函数f(x)的k阶均差fx,x0,xk-1是x的n-k次多项式（kn时，

30、k阶均差为零。2021-12-1843Chapter2插值法)()()()()()(4433221100 xfxxfxxfxxfxxfxxfxkk四阶差商三阶差商二阶差商一阶差商差商的计算方法(表格法):,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,210 xxxf,321xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,410 xxxf规定函数值为零阶差商差商表100110()(),f xf xf x xxx12010,1220 ,f x xf x xf x x xxx2021-12-1844 计算规律：任一个k(1) 阶均差的数值等于一个分式的值，其分子为所求均差左

31、侧的数减去左上侧的数，分母为所求均差同一行最左边的节点值减去由它往上数第k个节点值。 Chapter2插值法xif(xk)1阶阶2阶阶3阶阶 4阶阶x0f(x0) x1f(x1)f(x0,x1 ) x2f(x2)f(x1,x2 )f(x0,x1,x2 ) x3f(x3)f(x2,x3 )f(x1,x2,x3 )f(x0,x1,x2,x3 ) x4f(x4)f(x3,x4 )f(x2,x3,x4 )f(x1,x2,x3,x4 )f(x0,x1,x2,x3,x ) 对角线上的均差是构对角线上的均差是构造牛顿型插值公式的造牛顿型插值公式的重要数据。重要数据。2021-12-1845 例 已知函数y=

32、f(x)的观测数据如表，试构造均差表，并求f2,4,5及f2,4,5,6的值。 x0 2 4 5 6f(x)1 5 9 - 4 13解解 n=4, 构造均差表构造均差表 xif(xi ) 1阶阶2阶阶3阶阶4阶阶0245621159-4132-13170-515-15526)5(15 1756)4(13 20215 22459 134594 10505 1546)13(17 00422 525213 106)1(5 f2,4,5= -5f2,4,5,6=5Chapter2插值法2021-12-1846Chapter2插值法例：计算三阶均差解：2021-12-1847均差表的数据构成一个矩阵F：

33、F00=f(x0)F10=f(x1), F11=fx0,x1F20=f(x2),F21=fx1,x2, F22=fx0,x1,x2F30=f(x3),F31=fx2,x3, F32=fx1,x2,x3, F33=fx0,x1,x2,x3 Fi, j-1=fxi-j+1 ,xi Fi-1, j-1=fxi-j ,xi-1 计算机上计算均差表的公式计算机上计算均差表的公式 njjinjxxFFFnixfFjiijijijiii,.,1,.,.,2 , 1),/()(,.,1 , 0,)(1110一般有 Fi, j=fxi-j , xi-j+1 ,xi-1 ,xi Chapter2插值法2021-1

34、2-1848Chapter2插值法牛顿插值/ /* * Newtons Interpolation Newtons Interpolation * */ /根据线性插值的点斜式1010010()()L ( )()()f xf xxf xxxxx可得牛顿均差型线性插值多项式： 10010N ( )(),()xf xf xxxx21201( )( )()()NxP xaxxxx设2220012022021()()(),()()()f xNxf xf xxxxaxxxx由插值条件2020121012( ,)/(),af x xf x xxxf x x x牛顿均差型二次插值多项式： 200100120

35、1( )(),(),()()Nxf xf xxxxf xx xxxxx2021-12-1849Chapter2插值法牛顿插值公式的构造牛顿插值公式的构造()(),000fxfxfx xxx 因因 为为( )() ,(), ()000f xf xf x xxx0 有有式式,001011f x xf xxf x xxxx 因因为为 , ,() ()001011f x xf xxf x xxxx1 有有，式式 , ,010120122f x xxf xxxf x xxxxx 因因为为 , ,() ()010120122f x xxf xxxf x xxxxx2 有有， 式式 , ,0n 101n01

36、nnf x xxf x xxf x x xxxx 一一般般地地 , ,() ()01n 101n0nnf x x xxf x xxf x xxxxn ， 式式2021-12-1850Chapter2插值法( )(),(),()(),()()() ,()()()00100120101n01n 10n01nf xf xf xxxxf xxxxxxxf xxxxxxxxxf x xxxxxxxx 只要把后一式代入前一式，得:牛顿插值公式的构造牛顿插值公式的构造000001011020101101010( )() ,() , ,() , , ,() , ,()nnnnnnnnfxfxf x xxxf

37、x xf xxf x xxxxf x xxf xxxf x xxxxf x xxf xxxf x xxxx2021-12-1851Chapter2插值法x最后一项中,均差部分含有x, 是余项部分,记为Rn(x);牛顿插值公式的构造牛顿插值公式的构造( )(),(),()(),()()() ,()()()00100120101n01n 10n01nf xf xf xxxxf xxxxxxxf xxxxxxxxxf x xxxxxxxx 前面n+1项中,均差部分都不含有x, 因而前面n+1项是关于x的n次多项式,记作Nn(x) _牛顿插值公式。00100120101011( )( ) , () ,

38、 ,()() , ,()()()nnnN xf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxx)()(,)(1010nnnxxxxxxxxxxfxR ( )( )( )nnf xNxR x 由于Rn(xi)=0 i=0,1,2,n;所以Nn(xi)=f(xi) i=0,1,2, ,n2021-12-1852计算牛顿均差插值多项式的步骤：Chapter2插值法（1）作均差表 （2）根据公式计算牛顿型插值多项式（表中对角线上各均差值就是Nn(x)的各项系数）。 2021-12-1853Chapter2插值法例2:已知xxix( )if x121520f(xi)7421xi求满足以上

39、插值条件的牛顿型插值多项式。()0fx0 ix( )if x-1.25-3.5-112741315412301三阶均差三阶均差二阶均差二阶均差一阶均差一阶均差f(xi)x,01f xx1 ,012f xx x4 ,.0123f xx x x125 则牛顿三次插值多项式为( )()()().()()()3Nx0 x14x1 x3125 x1 x3 x4 2021-12-1854拉格朗日插值与牛顿插值的比较 Chapter2插值法1、Ln(x)与Nn(x)均是n次多项式,且均满足插值条件 ()()(), , ,nknkkLxNxfxk0 1n 由多项式的唯一性, ()()nnLxNx 因而,两个公

40、式的余项是相等的,即()( ) ,( )( )()!n 101nnnff x x xxxxn1 2、当插值多项式从n-1次增加到n次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶均差,然后加上一项即可。2021-12-18552.4 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值 许多实际问题不仅要求插值函数在节点上与原许多实际问题不仅要求插值函数在节点上与原来的函数相等来的函数相等(满足插值条件满足插值条件)，而且还要求在节点，而且还要求在节点上的各阶导数值也相等。满足这些条件的插值，称上的各阶导数值也相等。满足这些条件的插值，称为埃尔米特为埃尔米特(Her

41、mite(Hermite) )插值。本节讨论已知两个节插值。本节讨论已知两个节点点 的函数值的函数值 和一阶导数和一阶导数 的情形。的情形。10 x,x1100yxf ,yxf1100mxf ,mxfChapter2插值法2021-12-18562.4 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值0100110011,( ):xxfxyfxyfxmfxmH x已知函数在两个互异节点上的函数值和一阶导数值求一个三次插值多项式，使其满足11001100m)x(H,m)x(Hy)x(H,y)x(H插插值值多多项项式式。称称为为三三次次这这样样的的Hermite)x(H方方法法，可可设设：采采用用构构造造插插值值

42、基基函函数数的的11001100m)x(Hm)x(Hy)x(hy)x(h)x(HChapter2插值法2021-12-18572.4 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值0101( ),( ),( ),( )h x h x Hx Hx其中都为插值基函数，它们的取值如表基函数基函数函数值函数值一阶导数一阶导数X0X1X0X110000100001000010( )h x1( )h x0( )Hx1( )H xChapter2插值法2021-12-1858多多项项式式，因因此此可可设设：( (x x) )最最多多是是一一个个三三次次，另另外外，h h) )x x( (x x( (x x) )中中必必有

43、有因因子子0 0所所以以h h) )( (x xh h) )( (x x( (x x) )，由由于于h h先先求求h h0 02 21 10 01 1 0 01 10 00 0210100 xxxx)xx(ba ()x(h得得：利利用用求求导导数数，再再，对对，为为确确定定得得利利用用0)x(h)x(hb1a1)x(h0000010 xx2b于于是是得得：21010100)xxxx)(xxxx21 ()x(h2.4 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值Chapter2插值法2021-12-1859同同理理可可得得：2.4 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值2 20 01 10 01 10 01 11

44、 1) )x xx xx xx x) )( (x xx xx xx x2 2( (1 1( (x x) )h h000010120100( )()()0()0( )() ()( )HxHxHxHxHxxxxxHx再求，由于且，故中必有因式，另外，是一个不超过三次的多项式，于是可设：210100)xxxx)(xx(a)x(H，于于是是得得：可可得得求求导导数数，再再利利用用，对对是是常常数数，为为确确定定其其中中，1a1,)(xH(x)Haa000210100)xxxx)(xx()x(HChapter2插值法2021-12-1860同同理理可可得得：2 20 01 10 01 11 1) )x

45、xx xx xx x)()(x x(x(x(x)(x)H H所所示示：形形如如图图这这四四个个插插值值基基函函数数的的图图1 . 4 . 610 x1x)x(h010 x1x)x(h12.4 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值Chapter2插值法2021-12-18611x)x(H00 x1x)x(H10 x11001100m)x(Hm)x(Hy)x(hy)x(h)x(H0101( ),( ),( ),( )h x h x Hx Hx将上述四个基函数代入式( )H x即可求出。2.4 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值Chapter2插值法2021-12-1862Chapter2插值法/*Pie

46、cewise polynomial approximation*/多项式插值对于 y=f(x) a x b 给定插值节点x0,x1,xn ，构造插值多项式Pn(x)，为使Pn(x)更好地逼近f(x)，我们已经知道插值有多种方法：Lagrange 插值、 Newton插值等多种方式。 插值的目的就是数值逼近，而数值逼近，为的是得到一个数学问题的足够精确的数值解。2021-12-1863Chapter2插值法 高次插值使Pn(x)在较多点上与f(x)相等，但在插值节点外，误差如何？ 节点间距较小=节点多(n较大) =插值多项式Pn(x)的次数很高(高次插值) 我们已经知道：f(x)在n+1个节点x

47、i(i=0,1,2,n) 上的n次插值多项式Pn (x) 的余项 (1)0( )( )( )( )()(1)!nnnniifR xf xP xxxn设想当节点数增多时会出现什么情况? 是否插值多项式Pn(x)的次数越高越好?2021-12-1864Chapter2插值法5 , 5,11)(2xxxf设函数例 5,51510(0,1, )iinnxinn 将等份取个节点插值多项式次的作试就Lagrangenxfn)(10, 8 , 6 , 4 ,2并作图比较。 定义在区间-5，5上，这是一个光滑函数，它的任意阶导数都存在。21()1fxx分析：龙格(Runge)现象2021-12-1865Cha

48、pter2插值法211)(iiixxfy解：龙格(Runge)现象插值多项式次作Lagrangen200()1( )1()nninjijjiijxxL xxxx（n=2,4,6,8,10）2021-12-1866%lagrangen.mfunction y=lagrangen(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i);s=0; for k=1:n L=1; for j=1:n if j=k L=L*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=s+L*y0(k); end y(i)=s;endy; Chapter2插

49、值法龙格(Runge)现象2021-12-1867%Chazhibijiao.mx=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.2);plot(x,z,k,x,y,r)axis(-5 5 -1.5 2);pause,hold onfor n=2:2:10 x0=linspace(-5,5,n+1); y0=1./(1+x0.2); x=-5:0.1:5; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1), pauseendy2=1./(1+x0.2);y=interp1(x0,y2,x);plot (x,y,k),hold offgtext(n=2),gtext(n=4

50、),gtext(n=6)gtext(n=8),gtext(n=10)gtext(f(x)=1/(1+x2)Chapter2插值法龙格(Runge)现象2021-12-1868Chapter2插值法-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次数的Lagrange插值多项式的比较图2021-12-1869Chapter2插值法 结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象. 从图中，可见，在靠近-5或5时，余项

51、会随n值增大而增大；在0附近插值效果是好的，即余项较小；另一种现象是插值多项式随节点增多而振动更多。 龙格(Runge)现象2021-12-1870 上述现象和定理，告诉我们用高次插值多项式是不妥当的，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大，从而引起计算失真。因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。 那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一种办法。Chapter2插值法 这个任意阶可导的光滑函数之所以出现这种现象，跟它在复平面上有x=1是奇点有关。2021-12-1871Chapter2插值法 随着插值节点数增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次

52、插值容易带来剧烈振荡，带来数值不稳定。为了既要增加插值节点，减小插值区间，以便更好的逼近被插值函数，又要不增加插值多项式的次数，以减小误差，我们可以采用分段插值的办法。 在区间a,b上取n=1个节点x0=a，x1，xn=b，对应的函数值f(x)=y0，f(x1)=y1，f(xn)=yn，构造函数Ih(x)满足：（1）插值条件：Ih(xk)=yk,(k=0,1, ,n);（2）在每个区间xk,xk+1(k=0,1, ,n-1)上，Ih(x)是低次多项式；（3）在整个区间x0,xn上Ih(x)连续。Ih(x)称为分段低次插值函数。2021-12-1872Chapter2插值法分段线性插值 所谓分段

53、线性插值就是通过插值点，用折线段连接起来逼近函数f(x)。设已知节点a=x0 x1xn=b上的函数值f0, ,fn，记hk=xk+1-xk，h=maxhk,求一折线函数Ih(x)，满足：（1）插值条件：Ih(xk)=yk,(k=0,1, ,n);（2）在每个区间xk,xk+1(k=0,1, ,n-1)上，Ih(x)是线性函数；（3）在整个区间x0,xn上Ih(x)连续。 几何上看， Ih(x)是由点(xi,fi)(i=0,1, ,n)连成的一条折线，在整个区间连续，在节点处1阶导数不连续。2021-12-1873Chapter2插值法由定义可得Ih(x)在每个小区间xk,xk+1上的表达式为:

54、 在每个区间xk,xk+1(k=0,1, ,n-1)上，Ih(x)是线性函数；且I(xk)=fk，I(xk+1)=fk+1。11111( )()(0,1,2,1)kkhkkkkkkkkxxxxIxffxxxxxxxkn2021-12-1874Chapter2插值法010101011021121212211111111111()()( )()()hkkkkkkkkkknnnnnnnnnnxxxxffxxxxxxxxxxxffxxxxxxxI xxxxxffxxxxxxxxxxxffxxxxxxx2021-12-1875Chapter2插值法 为了紧凑，也可通过分段插值基函数li(x)(i=0,1

55、,2, ,n)的线性组合将分段线性插值函数表示为一个表达式。00110( )( )( )( )( )nhiinniIxflxflxflxflx每个插值结点上所对应的插值基函数li(x)应当满足： (1) li(x)是分段线性函数； 1()(2)()0()ijxjl xxj2021-12-1876Chapter2插值法每个插值结点上所对应的插值基函数li(x)应当满足： 101010(,)( )0()xxxx xxxlx在其它点上YX1x0 x1x2xn-1xn(3)111111(,)( )(,)0()iiiiiiiiiiixxxxxxxxxlxxxxxx在 其 他 点 上YX1x0 x1xn-

56、1xnxi+1xixi-1111(,)( )0()nnnnnnxxxxxxxlx在其它点上YX1x0 x1x2xn-1xn2021-12-18770()()nhiiiIxflxChapter2插值法 分段线性插值基函数li(x) 只在xi 附近不为零，在其他地方均为零，这种性质称为局部非零性质。 在区间xk,xk+1上，只有lk(x),lk+1(x)是非零的，其它基函数均为零，即( )( )( )hk kk1 k1xIy lxylx 因此：表达式与表达式11111( )()kkhkkkkkkkkx xx xI xffxxxxxxx 是相同的。2021-12-1878Chapter2插值法)()

57、()(11)(1xlyxlyxLkkkkk11kkkkxxxxykkkkxxxxy111, 1 , 0nk-(1)(1xLnnnxxxxLxxxxLxxxxL1)1(121)1(110)0(1)()()(-(2)显然)(1ixLniyi, 1 , 0,我们称由(1)(2)式构成的插值多项式 为分段线性Lagrange插值多项式)(1xL2021-12-1879Chapter2插值法为插值点设*xx 1*kkxxx若*)(*1xLy 则*)()(1xLk11*kkkkxxxxykkkkxxxxy11*0*xx 若*)(*1xLy 取*)()0(1xL1010*xxxxy0101*xxxxynxx

58、 *若*)(*1xLy 取*)()1(1xLnnnnnxxxxy11*11*nnnnxxxxy内插外插外插2021-12-1880Chapter2插值法例:已知函数 ( )21yf x1x 在区间0,5上取等距插值节点（如下表）， 并利用它求出 的近似值。 ( . )f4 50.038460.058820.10.20.51yi543210 xi解：在每个分段区间 ,k k1 上，上，()., ,. (). (), ,(). (). (), ,. ().(), ,.().hx10 5 xx0 10 5 x20 2 x1x1 2Ix0 2 x30 1 x2x2 30 1 x40 05882 x3x

59、3 40 05882 x50 03 (),846x4x4 5 ()()()()()()hkkk1xk1xkIxyyxk1yxkkk1k1k ( . ).( .).( .).hI 4500588245 500384645 4004864 2021-12-1881Chapter2插值法分段线性插值的误差估计 根据拉格朗日一次插值函数的余项,可以得到分段线性插值函数的插值误差估计。 定理：设f(x)在a,b上有二阶连续导数f(x) ，且| f(x)| M2,记, h = max |xi+1-xi|,就有估计：221|( )( )|( )( , )8hf xIxR xMhxa b证明： n次Lagra

60、nge插值多项式的余项为)()()(xPxfxRnn)()!1()(1)1(xnfnn( )hIx那么分段线性插值的余项为2021-12-1882Chapter2插值法1( )( )( )hR xf xIx分段线性插值的误差估计)()()(1xLxfk)(2)(1 kkxxxxf有关与且xxxxkk,1|)(|1xR|)(|max|)(|max211 kkkbxabxaxxxxxf224121hM 2281hM( ) , f xa b因此，若在上连续22100lim( )0lim( )( )8hhhMR xhIxf x2021-12-1883收敛性证明：Chapter2插值法当x xk ,xk