第5讲,平面向量概念和线性运算学生

1、第5讲,平面向量概念和线性运算学生 第五讲 平面向量的概念和线性运算 玩前必备 1向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模 (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的 (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量 (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量平行 (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 2向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：abba； 结合律： (ab)ca(bc) 减法 求 a 与 b 的相反向量b

2、的和的运算 aba(b) 数乘 求实数 与向量 a 的积的运算 | a|a|，当 0 时，a与 a 的方向相同；当 0时，a 与 a 的方向相反；当 0 时，a0 ( a)()a；()aaa； (ab)ab 3.向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 ba. 4向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作oaa，obb，则aob 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是0， 5平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为 ，则数量|a|b|cos 叫做 a 与b 的数量积，记作 ab 投影 |a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的

3、投影，|b|cos 叫做向量 b 在a 方向上的投影 几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 6.向量数量积的运算律 (1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc. 7向量数量积的性质 设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量 (1)aeea|a|cosa，b；(2)abab0 且 ab0ab； (3)aa|a| 2 或|a| a 2 ；(4)cosa，bab|a|b| ；(5)|ab|a|b|. 玩转典例 题型一 向量概念的理解 例 1 判断下列命题是否正确，并说明理由 若 ab，则 a 一定

4、不与 b 共线； 若ab dc ，则 a、b、c、d 四点是平行四边形的四个顶点； 在平行四边形 abcd 中，一定有ab dc ； 若向量 a 与任一向量 b 平行，则 a0； 若 ab，bc，则 ac； 若 ab，bc，则 ac. 例 2 如图所示，abc 的三边均不相等，e、f、d 分别是 ac、ab、bc 的中点 (1)写出与ef 共线的向量； (2)写出与ef 的模大小相等的向量； (3)写出与ef 相等的向量 题型练透 1.判断下列命题是否正确，并说明理由 若向量 a 与 b 同向，且|a|b|，则 ab； 若向量|a|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； 对于任意|

5、a|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 ab； 向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反 2.下列说法正确的是( ) a向量 ab 与 cd 是共线向量，则 a，b，c，d 必在同一直线上 b向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反 c向量 ab 与向量 ba 是两平行向量 d单位向量都相等 3.给出下列四个命题：若|a|0，则 a0；若|a|b|，则 ab 或 ab；若 ab，则|a|b|；若 ab，bc，则 ac.其中，正确的命题有( ) a0 个 b1 个 c2 个 d3 个 4.如图，abc 和abc是在各边的 13 处相交的两个全等的等边三角形

6、，设abc 的边长为 a，图中列出了长度均为 a3 的若干个向量，则 (1)与向量 gh 相等的向量有_； (2)与向量 gh 共线，且模相等的向量有_； (3)与向量 ea 共线，且模相等的向量有_ 题型二 向量的加减法运算 例 3 如图，在abc 中，o 为重心，d、e、f 分别是 bc、 ac、ab 的中点，化简下列三式： (1) bc ce ea ； (2) oe ab ea ； (3) ab fe dc . 例 4 化简：(1)( ab cd )( ac bd )； (2)( ac bo oa )( dc do ob ) 题型练透 1.如图，在平行四边形 abcd 中， (1) ab

7、 ad _； (2) ac cd do _； (3) ab ad cd _； (4) ac ba da _. 2化简以下各式： (1) ab bc ca ； (2) ab ac bd cd ； (3) oa od ad ； (4) nq qp mn mp . 结果为零向量的式子个数是( ) a1 b2 c3 d4 题型三 向量加减法的几何意义 例 5 设点 m 是线段 bc 的中点，点 a 在线段 bc 外，| bc | 2 16，| ab ac | ab ac |，则| am |( ) a8 b4 c2 d1 题型练透 1. (2021全国)设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则( )

8、aab b|a|b| cab d|a|b| 题型四 向量的数乘及线性运算 例 6 (1)在平行四边形 abcd 中，点 e 为 cd 的中点，be 与 ac 的交点为 f，设ab a，ad b，则向量bf等于( ) a. 13 a23 b b 13 a23 b c 13 a23 b d. 13 a23 b (2)(2021全国)在abc 中，ad 为 bc 边上的中线，e 为 ad 的中点，则eb 等于( ) a. 34 ab 14 ac b. 14 ab 34 ac c. 34 ab 14 ac d. 14 ab 34 ac 题型练透 1.在abc 中，点 d，e 分别在边 bc，ac 上，

9、且bd2dc，ce 3ea ，若ab a，ac b，则de 等于( ) a. 13 a512 b b. 13 a1312 b c 13 a512 b d 13 a1312 b 2.(2021威海模拟)在平行四边形 abcd 中，e，f 分别为边 bc，cd 的中点，若ab xae yaf (x，yr)，则 xy_. 题型五 共线向量定理的应用 例 7 (1)已知 e 1 ，e 2 是两个不共线的向量，若 ab 2e 1 8e 2 ， cb e 1 3e 2 ， cd 2e 1 e 2 ，求证：a，b，d 三点共线 (2)已知 a，b，p 三点共线，o 为直线外任意一点，若 op x oa y

10、ob ，求 xy 的值 题型练透 1.如图所示，已知 d，e 分别为abc 的边 ab，ac 的中点，延长 cd 到 m 使 dmcd，延长 be 至 n 使been，求证：m，a，n 三点共线 2.已知向量 a，b 是两个不共线的向量，且向量 ma3b 与 a(2m)b 共线，则实数 m 的值为_ 3.（2021湖南高三期末（理）如图所示，已知点 g 是 abc d 的重心，过点 g 作直线分别交 , ab ac 两边于 , m n 两点，且 amxab =uuur uuur， anyac =uuur uuur，则 3x y + 的最小值为_ 题型六 共线向量定理的应用 例 8 （2021湖

11、南高二期末）已知 , a b 是单位向量，且满足 (2 ) 0 b a b × + = ，则 a 与 b 的夹角为（ ） a.6p b.3p c.56p d.23p 例 9 （2021江西高一期末）已知 1 a = ， 2 b = ，且 ( ) a a b + ，则 a 在 b 方向上的投影为( ) a. 1 - b. 1 c.12- d.12 （2）（2021山西省静乐县第一中学）在 abc d 中 | | | ab ac ab ac + = -uuur uuur uuur uuur, 3, 4, ab ac = = 则 bc 在 ca 方向上的投影为（ ） a4 b3 c-4 d5 题型练透 1.已知平面向量 a 与 b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，