第八章第9讲第2课时最值、范围问题

1、第 2 课时最值、范围问题考点一_最值问题_(2014高考课标全国卷)已知点 A(0，2)，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程解(1)设 F(c，0)，由条件知，2c2 33，得 c 3.又ca32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程为x24y21.(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 ykx2 代入x24y21，得(14k2

2、)x216kx120.当16(4k23)0，即 k234时，x1，28k2 4k234k21.从而|PQ| k21|x1x2|4 k21 4k234k21.又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21，所以OPQ 的面积 SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.设 4k23t，则 t0，SOPQ4tt244t4t.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k72时等号成立，且满足0，所以，当OPQ 的面积最大时 l 的方程为 y72x2 或 y72x2.规律方法圆锥曲线中常见的最值问题及其解法(1)两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元

3、素存在最值时确定与之有关的一些问题(2)两种常见解法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解1.(2015辽宁锦州模拟)已知 P 为抛物线 y12x2上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 M，点 A 的坐标是(6，172)，则|PA|PM|的最小值是()A8.192C10.212解析：选 B.依题意可知焦点 F(0，12)，准线为 y12，延长 PM 交准线于 H 点(图略)则|PF|PH|，|PM|PH|12，|PM|

4、PA|PF|PA|12，即求|PF|PA|的最小值因为|PF|PA|FA|，又|FA|62（17212）210.所以|PM|PA|1012192.故选 B.考点二_范围问题_已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，过其右焦点 F2作与 x 轴垂直的直线 l 与该椭圆交于 A、B 两点，与抛物线 y24x 交于 C、D 两点，且AB22CD.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若过点 M(2， 0)的直线与椭圆 E 相交于 G、 H 两点， 设 P 为椭圆 E 上一点， 且满足OGOHtOP(t0，O 为坐标原点)，当|OGOH|8 113时，求实数 t 的取值范围解(1)直线 l

5、 过右焦点 F2且与 x 轴垂直，|AB|2b2a，|CD|4 c.又椭圆 E 的离心率为22，且AB22CD，ca22b2a 2ca2b2c2，解得a232b216.故椭圆 E 的方程为x232y2161.(2)由题意知直线 GH 的斜率不为零设直线 GH 的方程为：xmy2.联立x232y2161 与 xmy2，消去 x 得：(m22)y24my280.设 P(x，y)、G(x1，y1)、H(x2，y2)，则 y1y24mm22，y1y228m22，x1x2m(y1y2)48m22.OGOHtOP，txx1x28m22tyy1y24mm22，P(8t（m22），4mt（m22）)P 点在椭

6、圆上，将 P 点坐标代入椭圆方程得 t21m22.|OGOH|8 113，|GH|2(1m2)(y1y2)2(1m2)(y1y2)24y1y2(1m2)(4mm22)2428m2232（1m2） （4m27）（m22）264119.整理得 14m411m2250，0m21，t21m22(13，12，t22，33)(33，22实数 t 的取值范围为22，33)(33，22规律方法解决圆锥曲线中的取值范围问题的五方面考虑：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的

7、不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围2.已知椭圆x22y21 的左焦点为 F，O 为坐标原点设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围解：设直线 AB 的方程为 yk(x1)(k0)，代入x22y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.直线 AB 过椭圆的左焦点 F 且不垂直于 x 轴，方程有两个不等实根如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y

8、2)，AB 的中点 N(x0，y0)，则 x1x24k22k21，x012(x1x2)2k22k21，y0k(x01)k2k21，AB 的垂直平分线 NG 的方程为yy01k(xx0)令 y0，得 xGx0ky02k22k21k22k21k22k211214k22，k0，12xG0，点 G 横坐标的取值范围为(12，0)考点三_证明问题_(2014高考四川卷节选)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C于点

9、 P，Q.证明：OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)解(1)由已知可得a2b22b，2c2 a2b24，解得 a26，b22，所以椭圆 C 的标准方程是x26y221.(2)证明：由(1)可得 F 的坐标是(2，0)，设 T 点的坐标为(3，m)，则直线 TF 的斜率 kTFm03（2）m.当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ1m，直线 PQ 的方程是 xmy2.当 m0 时，直线 PQ 的方程是 x2，也符合 xmy2 的形式设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得xmy2，x26y221.消去 x，得(m23)y24my20，其判别

10、式16m28(m23)0，所以 y1y24mm23，y1y22m23，x1x2m(y1y2)412m23.所以 PQ 的中点 M 的坐标为6m23，2mm23 .所以直线 OM 的斜率 kOMm3.又直线 OT 的斜率 kOTm3，所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ.规律方法圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值，点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法3.(2015海淀区调研)已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆 C：x22y24 上两点，点 M 的坐标为(1，0)(1)当 A，B 关于点 M(1，0)对称时，求证：x1x21；(

11、2)当直线 AB 经过点(0，3)时，求证：MAB 不可能为等边三角形证明：(1)因为 A，B 在椭圆上，所以 x212y214，x222y224.因为 A，B 关于点 M(1，0)对称所以 x1x22，y1y20，将 x22x1，y2y1代入得(2x1)22y214，由和消去 y1解得 x11，所以 x1x21.(2)当直线 AB 的斜率不存在时，A(0， 2)，B(0， 2)，可得|AB|2 2，|MA| 3，MAB 不是等边三角形当直线 AB 的斜率存在时，显然斜率不为 0.设直线 AB：ykx3，AB 的中点为 N(x0，y0)，联立x22y24ykx3，消去 y 得(12k2)x21

12、2kx140，144k2414(12k2)32k256.由0，得到 k274，又 x1x212k12k2，x1x21412k2，所以 x06k12k2，y0kx03312k2，所以 N(6k12k2，312k2)假设MAB 为等边三角形，则有 MNAB，又因为 M(1，0)，所以 kMNk1，即312k26k12k21k1，化简得 2k23k10.解得 k1 或 k12，这与式矛盾，所以假设不成立因此对于任意 k，不能使得 MNAB，故MAB 不可能为等边三角形1(2015北京西城期末)若曲线 ax2by21 为焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a，b 满足()Aa2b2B.1a1bC0abD0

13、ba解析：选 C.将方程变为标准方程为x21ay21b1，由已知得，1a1b0，则 0ab，故选C.2(2015四川成都调研)抛物线 yx2到直线 2xy4 距离最近的点的坐标是()A(32，54)B(1，1)C(32，94)D(2，4)解析：选 B.设 P(x，y)为抛物线 yx2上任意一点，则 P 到直线的距离d|2xy4|5|x22x4|5（x1）235，x1 时，d 取最小值3 55，此时 P(1，1)3(2015北京石景山模拟)已知动点 P(x，y)在椭圆 C：x225y2161 上，F 为椭圆 C 的右焦点，若点 M 满足|MF|1，且MPMF0，则|PM|的最小值为()A. 3B

14、3C.125D1解析：选 A.由题意得 F(3，0)，|PM|2|PF|2|MF|2(ac)21(53)213.所以|PM|min 3.4(2015浙江嘉兴市教学测试)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，A，B 为其左、右顶点，点 P 为双曲线 C 在第一象限的任意一点，点 O 为坐标原点，若 PA，PB，PO 的斜率分别为 k1，k2，k3，则 mk1k2k3的取值范围为()A(0，3 3)B(0， 3)C(0，39)D(0，8)解析：选 A.由题意可知 eca2，则 b 3a.设 P(x，y)，则x2a2y2b21.所以 y2b2a2(x2a2)所以 k1k2y

15、xayxay2x2a2b2a23.又双曲线渐近线为 y 3x，所以 0k3 3，故 0m3 3，故选 A.5若椭圆 C1：x2a21y2b211(a1b10)和椭圆 C2：x2a22y2b221(a2b20)的焦点相同且 a1a2.给出如下四个结论：椭圆 C1和椭圆 C2一定没有公共点；a1a2b1b2；a21a22b21b22；a1a2b1b2.其中，所有正确结论的序号是()ABCD解析：选 B.由已知条件得 a21b21a22b22，可得 a21a22b21b22，由 a1a2，可知两椭圆无公共点，即正确；由 a21b21a22b22，可得 a21b22b21a22，则 a1b2，a2b1

16、的大小关系不确定，a1a2b1b2不正确，即不正确；又由 a21b21a22b22，可得 a21a22b21b22，即正确；a1b10，a2b20，a1a2b1b20，又由(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)，可得 a1a2b1b2，即正确综上可得，正确结论的序号为，故应选 B.6若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为23，离心率为 e，则a2e22b的最小值为_解析：由题意，ba 3，b 3a，c2a，e2，a2e22ba242 3aa2 323a2 33(当且仅当 a2 时取等号)，则a2e22b的最小值为2 33.答案：2 337(2014高考湖南卷)

17、平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1，0)的距离和到直线 x1 的距离相等若机器人接触不到过点 P(1，0)且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是_解析：由题意知机器人行进轨迹为以 F(1，0)为焦点，x1 为准线的抛物线，其方程为 y24x.设过点(1，0)且斜率为 k 的直线方程为 yk(x1)代入 y24x，得 k2x2(2k24)xk20.机器人接触不到该直线，(2k24)24k40，k21.k1 或 k1.答案：(，1)(1，)8若 C( 3，0)，D( 3，0)，M 是椭圆x24y21 上的动点，则1|MC|1|MD|的最小值为_解析：由椭圆x24y21 知 c2413，

18、c 3，C，D 是该椭圆的两焦点，令|MC|r1，|MD|r2，则 r1r22a4，1|MC|1|MD|1r11r2r1r2r1r24r1r2，又r1r2（r1r2）241644，1|MC|1|MD|4r1r21.当且仅当 r1r2时，上式等号成立故1|MC|1|MD|的最小值为 1.答案：19(2015长春市第一次调研)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点过 F，B，A 三点的圆的圆心坐标为(p，q)(1)当 pq0 时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点 D(b1，0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时

19、，(MFOD)MO的最小值为72，求椭圆的方程解： (1)设椭圆半焦距为 c.由题意 AF， AB 的中垂线方程分别为 xac2， yb2ab(xa2)，于是圆心坐标为(ac2，b2ac2b)，所以 pqac2b2ac2b0，整理得 abbcb2ac0，即(ab)(bc)0，所以 bc，于是 b2c2，即 a2b2c22c2.所以 e2c2a212，即22e1.(2)当 e22时，a 2b 2c，此时椭圆的方程为x22c2y2c21，设 M(x，y)，则 2cx 2c，所以(MFOD)MO12x2xc212(x1)2c212.当 c22时，上式的最小值为 c212，即 c21272，得 c2；

20、当 0c22时，上式的最小值为12( 2c)2 2cc2，即12( 2c)2 2cc272.解得 c2 304，不合题意，舍去综上所述，椭圆的方程为x28y241.10(2015陕西西安模拟)设 F1，F2分别是椭圆x24y21 的左、右焦点(1)若 P 是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值；(2)设过定点 M(0，2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，且AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点)，求直线 l 的斜率的取值范围解：(1)由已知得，F1( 3，0)，F2( 3，0)，设点 P(x，y)，则x24y21，且2x2.所以PF1PF2( 3x，y)( 3x，y)x2

21、3y2x231x2434x22，当 x0，即 P(0，1)时，(PF1PF2)min2；当 x2，即 P(2，0)时，(PF1PF2)max1.(2)由题意可知，过点 M(0，2)的直线 l 的斜率存在设 l 的方程为 ykx2，由ykx2，x24y21，消去 y，化简整理得(14k2)x216kx120，(16k)248(14k2)0，解得 k234.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x216k14k2，x1x21214k2，又AOB 为锐角，所以OAOB0，即 x1x2y1y20，即 x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)40，所以(1k2)121

22、4k22k16k14k240，解得 k24，所以34k24，即 k(2，32)(32，2)1(2015贵阳市高三适应性考试)已知椭圆 C1：x2a2y21(a1)的长轴、短轴、焦距分别为 A1A2、B1B2、F1F2，且|F1F2|2是|A1A2|2与|B1B2|2的等差中项(1)求椭圆 C1的方程；(2)若曲线 C2的方程为(xt)2y2(t2 3t)2(0t22)， 过椭圆 C1左顶点的直线 l 与曲线 C2相切，求直线 l 被椭圆 C1截得的线段长的最小值解：(1)由题意得|B1B2|2b2，|A1A2|2a，|F1F2|2c，a2b2c2，又 2(2c)2(2a)222，解得 a23，

23、c22，故椭圆 C1的方程为x23y21.(2)由(1)可取椭圆的左顶点坐标为 A1( 3，0)，易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x 3)由直线 l 与曲线 C2相切得|k（t 3）|k21(t 3)t，整理得|k|k21t.又因为 0t22，所以 0|k|k2122，解得 0k21.联立x23y21yk（x 3）消去 y 整理得(3k21)x26 3k2x9k230.直线 l 被椭圆 C1截得的线段一端点为 A1( 3，0)，设另一端点为 B，解方程可得点 B的坐标为(3 3k2 33k21，2 3k3k21)，所以|A1B|（3 3k2 33k21 3）212k2（3

24、k21）22 3k213k21.令 m k21(1m 2)，则|A1B|2 3m3（m21）12 33m2m.由函数 y3m2m的性质知 y3m2m在区间(1， 2上是增函数，所以当 m 2时，y3m2m取得最大值 2 2，从而|A1B|min62.2已知动圆 C 过点 A(1，0)，且与直线 l0：x1 相切(1)求动圆圆心 C 的轨迹 D 的方程；(2)设圆心 C 的轨迹在 x4 的部分为曲线 E，过点 P(0，2)的直线 l 与曲线 E 交于 A，B两个不同的点，且PAPB(1)，试求的取值范围解： (1)设动圆圆心 C 的坐标为(x， y)， 圆心 C 到直线 l0的距离为 d， 由题

25、意可知|CA|d，故由抛物线的定义可知动圆圆心 C 的轨迹 D 的方程为 y24x.(2)易知曲线 E 的方程为 y24x(x4)， 显然当直线 l 的斜率为零或不存在时不符合题意，故可设直线 l 的方程为 ykx2(k0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由PAPB(1)知 x1x2，且 0 x24，0 x14.由y24x，ykx2，消去 y 得 k2x24(k1)x40(*)，则方程(*)在(0，4内有两个不相等的实数根，记 f(x)k2x24(k1)x4，则16（k1）216k20f（0）40f（4）4（4k24k3）0，02（1k）k24从而可得 k32.由根与系数的关系可知 x1x24（1k）k2，x1x24k2.又 x1x2，所以（1）24（1k）2k24(1k1)2，而 k32，所以231k0，故可得 1(1k1)2259，从而可得