数学三角函数和数列

1、1（2015山东）设f（x）=sinxcosxcos2（x+）（）求f（x）的单调区间；（）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求ABC面积的最大值考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质；解三角形分析：（）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x，由2k2x2k，kZ可解得f（x）的单调递增区间，由2k2x2k，kZ可解得单调递减区间（）由f（）=sinA=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA，从而得解解答：解：（）由题意可知，f（x

2、）=sin2x=sin2x=sin2x由2k2x2k，kZ可解得：kxk，kZ；由2k2x2k，kZ可解得：kxk，kZ；所以f（x）的单调递增区间是k，k，（kZ）；单调递减区间是：k，k，（kZ）；（）由f（）=sinA=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，可得：1+bc=b2+c22bc，即bc，且当b=c时等号成立因此bcsinA，所以ABC面积的最大值为点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查2（2015湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+）（0，|）在某一个

3、周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+02xAsin（x+）0550（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动（0）个单位长度，得到y=g（x）的图象若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求的最小值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据表中已知数据，解得A=5，=2，=从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x）（2）由（）及函数y=Asin（x+）的图象变换规律得g（x）=5sin（

4、2x+2）令2x+2=k，解得x=，kZ令=，解得=，kZ由0可得解解答：解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，=2，=数据补全如下表：x+02xAsin（x+）05050且函数表达式为f（x）=5sin（2x）（2）由（）知f（x）=5sin（2x），得g（x）=5sin（2x+2）因为y=sinx的对称中心为（k，0），kZ令2x+2=k，解得x=，kZ由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得=，kZ由0可知，当K=1时，取得最小值点评：本题主要考查了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查3（2

5、014北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示（）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（）求f（x）在区间，上的最大值和最小值考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：（）由题目所给的解析式和图象可得所求；（）由x，可得2x+，0，由三角函数的性质可得最值解答：解：（）f（x）=3sin（2x+），f（x）的最小正周期T=，可知y0为函数的最大值3，x0=；（）x，2x+，0，当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=时，f（x）取最小值3点评：本题考查三角函数的图象和性质，属基础题4（20

6、14重庆）已知函数f（x）=sin（x+）（0，）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为（）求和的值；（）若f（）=（），求cos（+）的值考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；运用诱导公式化简求值菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：（）由题意可得函数f（x）的最小正周期为 求得=2再根据图象关于直线x=对称，结合可得 的值（）由条件求得sin（）=再根据的范围求得cos（）的值，再根据cos（+）=sin=sin（）+，利用两角和的正弦公式计算求得结果解答：解：（）由题意可得函数f（x）的最小正周期为，=，=2再根据图象关于直线x=对称，可得 2×+=

7、k+，kz结合可得 =（）f（）=（），sin（）=，sin（）=再根据 0，cos（）=，cos（+）=sin=sin（）+=sin（）cos+cos（）sin=+=点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题5（2011北京）已知函数（）求f（x）的最小正周期：（）求f（x）在区间上的最大值和最小值考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：（）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期（）利用x的范围确定

8、2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值解答：解：（），=4cosx（）1=sin2x+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数的最小正周期为；（）x，2x+，当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=时，即x=时，f（x）取得最小值1点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值解题的关键是对函数解析式的化简整理6（2009连云港模拟）在ABC中，B=45°，AC=，cosC=，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度考点：三角形中的几何计算菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）先由cosC

9、求得sinC，进而根据sinA=sin（180°45°C）求得sinA，再由正弦定理知求得BC（2）先由正弦定理知求得AB，进而可得BD，再在ACD中由余弦定理求得CD解答：解：（1）由由正弦定理知（2）由余弦定理知=点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用属基础题7（2007山东）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（）求cosC的值；（）若，且a+b=9，求c的长考点：三角形中的几何计算菁优网版权所有专题：计算题分析：（）利用tanC的值，可求得sinC和cosC的关系式，进而与sin2C+cos2C=1联立求得cosC的值（）利用向量的数量积

10、的计算，根据求得abcisC的值，进而求得ab的值，利用a+b的值求得a2+b2的值，代入余弦定理中求得c解答：解：（），又sin2C+cos2C=1，解得tanC0，C是锐角（），解得ab=20又a+b=9，a2+b2=41c2=a2+b22abcosC=36c=6点评：本题主要考查了余弦定理的应用和同角三角函数的基本关系的应用注意充分利用三角形的边角关系，建立方程求得问题的答案8（2015陕西）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a=，b=2，求ABC的面积考点：余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示菁优网版权

11、所有专题：解三角形分析：（）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解ABC的面积解答：解：（）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB=0，由正弦定理可知：sinAsinBsinBcosA=0，因为sinB0，所以tanA=，可得A=；（）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，可得7=4+c22c，解得c=3，ABC的面积为：=点评：本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力9（2014北京）如图，在ABC中，B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，c

12、osADC=（1）求sinBAD；（2）求BD，AC的长考点：余弦定理的应用菁优网版权所有专题：解三角形分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论解答：解：（1）在ABC中，cosADC=，sinADC=，则sinBAD=sin（ADCB）=sinADCcosBcosADCsinB=×=（2）在ABD中，由正弦定理得BD=，在ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB22ABBCcosB=82+522×8×=49，即AC=7点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大10（2015天津）在ABC中，

13、内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=（）求a和sinC的值；（）求cos（2A+）的值考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用菁优网版权所有专题：解三角形分析：（）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可解答：解：（）在三角形ABC中，由cosA=，可得sinA=，ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又bc=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c22bccosA，可得a=8，解得sinC=；（）cos（2A+）=cos2Acossin2Asin=点评：本

14、题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，咋地了一余弦定理的应用，考查计算能力11（2014湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE=1，EC=，EA=2，ADC=，BEC=（）求sinCED的值；（）求BE的长考点：余弦定理的应用；正弦定理菁优网版权所有专题：解三角形分析：（）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论（）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论解答：解：（）设=CED，在CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED22CDDEcosCDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD6=0，解得CD=2或CD=3，（舍去），在CDE中，由正弦定理

15、得，则sin=，即sinCED=（）由题设知0，由（）知cos=，而AEB=，cosAEB=cos（）=coscos+sinsin=，在RtEAB中，cosAEB=，故BE=点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大12（2010安徽）ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=（）求；（）若cb=1，求a的值考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有专题：计算题分析：根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后

16、根据三角形面积公式得bc的值第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可根据同角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据ABC面积公式得bc=156；直接求数量积由余弦定理a2=b2+c22bccosA，代入已知条件cb=1，及bc=156求a的值解答：解：由cosA=，得sinA=又sinA=30，bc=156（）=bccosA=156×=144（）a2=b2+c22bccosA=（cb）2+2bc（1cosA）=1+2156（1）=25，a=5点评：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力13（2

17、010浙江）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为ABC的面积，满足（）求角C的大小；（）求sinA+sinB的最大值考点：余弦定理的应用菁优网版权所有专题：解三角形分析：（1）根据三角形的面积公式题中所给条件可得=absinC，可求出tanC的值，再由三角形内角的范围可求出角C的值（2）根据三角形内角和为180°将角AB转化为同一个角表示，然后根据两角和的正弦定理可得答案解答：（）解：由题意可知absinC=×2abcosC所以tanC=因为0C，所以C=；（）解：由已知sinA+sinB=sinA+sin（CA）=sinA+sin（A）=sinA+co

18、sA+sinA=sinA+cosA=sin（A+）当ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB的最大值是点评：本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力14（2015巴中模拟）已知等比数列an中，a1=，公比q=（）Sn为an的前n项和，证明：Sn=（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列bn的通项公式考点：等比数列的前n项和菁优网版权所有专题：综合题分析：（I）根据数列an是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式an和前n项和Sn，然后经过运算即可证明（II）根据数列an的通项公式和对数函数运算性质求出数列bn的通项公式解答

19、：证明：（I）数列an为等比数列，a1=，q=an=×=，Sn=又=SnSn=（II）an=bn=log3a1+log3a2+log3an=log33+（2log33）+（nlog33）=（1+2+n）=数列bn的通项公式为：bn=点评：本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质15（2014张掖模拟）数列an对任意nN*，满足an+1=an+1，a3=2（1）求数列an通项公式；（2）若，求bn的通项公式及前n项和考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）由已知得an+1an=1数列an是等差数列，且公

20、差d=1，再由a3=2，求出首项，从而得到an通项公式（2）由（1）得，拆项后分别利用等比数列的前n项和公式以及等差数列的前n项和公式，运算求得结果解答：解：（1）由已知得an+1an=1数列an是等差数列，且公差d=1（2分）又a3=2，得a1=0，所以an=n1（4分）（2）由（1）得，所以=，（6分）故 （12分）点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式，等比数列的前n项和公式及其应用，属于中档题16（2014龙泉驿区模拟）已知各项均为正数的数列an的首项a1=1，且log2an+1=log2an+1，数列bnan是等差数列，首项为1，公差为2，其中nN*（1）求数列an的通项

21、公式；（2）求数列bn的前n项和Sn考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）由题可得：，数列an是等比数列，从而可求通项公式（2）由（1）可求bn，结合数列的特点考虑利用分组求和及等差与等比数列的求和公式可求解答：（本小题满分10分）解：（1）由题可得：，数列an是以1为首项，2为公比的等比数列an=2n1（5分）（2）由题知：bnan=2n1，bn=2n1+2n1，10点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，要注意分组求和的方法的应用17（2013秋九原区校级期末）已知等比数列an中，a2=2，a5=128若bn=log2an，数列b

22、n前n项的和为Sn（）若Sn=35，求n的值；（）求不等式Sn2bn的解集考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（）已知等比数列an中，设出公比为q，根据等比数列通项公式，代入a2=2，a5=128，求出公比，再利用等比数列的前n项和公式，代入Sn=35，求出n值；（）因为bn=log2an，将an代入bn，求出其通项公式，代入不等式Sn2bn求出n的范围；解答：解：（）a2=a1q=2，a5=a1q4=128得q3=64，q=4，a1=an=a1qn1=22n3，bn=log2an=log222n3=2n3bn+1bn=2（n+1）3（2n3

23、）=2bn是以b1=1为首项，2为公差数列；Sn=35，即n22n35=0，可得（n7）（n+5）=0，即n=7；（）Sn2bn=n22n2（2n3）=n26n+603n3+，nN+，n=2，3，4，即所求不等式的解集为2，3，4；点评：此题主要考查了等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，此题计算量比较大，计算时要仔细，此题是一道基础题；18（2014春禅城区期末）等比数列an的公比为q，第8项是第2项与第5项的等差中项（1）求公比q；（2）若an的前n项和为Sn，判断S3，S9，S6是否成等差数列，并说明理由考点：等比数列的前n项和；等差关系的确定；等差数列的性质菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：（1）本题已知等比数列的公比为q，第8项是第2项与第5项的等