2学之道贵在“疑中悟”（教研室王健）

1、学之道贵在“疑中悟” 高中数学学习方法的思考东莞市教研室 王健【摘要】 随着课程改革的深入，数学在培养学生自主学习、独立思考能力方面的地位和作用越发突出，学好数学有助于学生综合素养的提高.在高中数学学习中，要让学生在推敲数学描述、深入追问、对解题过程的不断反思和数学背景的实际探究中，养成思考问题、质疑问题的良好习惯，从中领悟数学本质、领悟数学思想方法.【关键词】 学习方法 质疑 领悟1 问题的提出 众所周知，数学是思维的科学，它在发展学生的智力、培养学生的逻辑思维能力等方面有着其它学科难于替代的地位，数学素养是21世纪每一位合格公民的基本素养.在实际教学中，有一大部分学生学习刻苦，做很多题目，

2、上课听讲也明白，但是数学成绩就是不好，甚至对数学产生厌恶情绪，却毫无对策.古人云“学起于思，思源于疑”，这里的疑指的是问题，现代心理学认为，一切思维都是从问题开始的，问题在学习的过程中有举足轻重的作用，有了问题，思维才有方向；有了问题，思维才有动力；有了问题，思维才有创新1.因此，学好数学，并不仅仅是靠掌握一些结论、公式，模式化地解一些题目，更需要在学习过程中学会质疑、推敲、反思，即善于思考、发现、提出问题，然后以求实的精神去分析，才能更好地领悟数学，解决问题.2 怎样让学生在数学学习中生成“疑”2.1 从对数学描述的分析推敲中生“疑”数学语言是数学思维的载体，是数学思想和数学交流的工具，其特

3、点是科学、精炼、抽象、严谨.学生之所以害怕数学，一方面在于数学语言难懂难学，另一方面是教师对数学语言的教学不够重视，缺少训练，以致不能准确、熟练地驾驭数学语言.前苏联数学教育家斯托利亚尔说：“数学教学就是数学语言的教学.”因此，要加强学生学习方法的指导，先要重视数学语言的理解；认真分析其数学描述，就会产生诸多疑问，比如描述的对象是什么、关键词是什么、怎么理解关键词的确切意义、关键词之间存在怎样的制约或逻辑关系等等，然后对这些疑问进行深入推敲、思考，才能更好地把握本质.例如，必修2中“异面直线”的概念：“不同在任何一个平面内的两条直线”.在分析概念关键词的时候，有学生就提出疑问：为什么不是不在同

4、一平面内的两直线就是异面直线？学生通过其文字描述、符号、图形三个角度反复推敲“不在同一平面内”与“不同在任何一平面内”的区别，加深了对概念的理解. 又如，在“命题的否定”教学中，学生对“都是”的否定，搞不清是“都不是”还是“不都是”，若仔细琢磨“都不是”与“不都是”所指对象的区别，并分别用集合表示出来，对问题本质的理解会更加深刻.再如沈恒老师在文2中提到一个值得关注的问题：“曲线上过点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是多少”.由于点在曲线上，容易让人以为切点求切线的方程导致不全面，如果仔细分析，会发现本题中“过”的表述，致使这条切线可能以点为切点也可能不以它为切点，致使有两解，说明分析问题时

5、要善于推敲数学描述，剖析疑点，才能准确把握问题的本质.2.2 从对数学问题的深入追问中生“疑”追问，顾名思义就是追根究底地问，是指在每一问题或内容解决之后，有一次、二次甚至多次提问，它是是对事物深刻挖掘，逼近事物本质的探究.善于学习的学生一定善于追问，只有对数学问题不懈地追根究底地发问，才有可能更加深刻地理解数学本质.例如，在文2中提到，曲线上过点的切线与两坐标轴围成三角形的面积有两解的问题，学生就要思考为什么是两解？有没有可能出现更多解的情形？这样就提出了另外一个更加深刻的问题：过三次函数图像上任一点可以作多少条切线？如此追问下去，过平面内任意一点呢？如此，学生在曲线的切线问题中，不但对“过

6、”与“在处”的语言描述有更加深刻的理解，而且对三次函数的切线问题会有更加全面的了解.又如：“过点的直线交正半轴分别于两点，则的面积为4的直线有几条？”解：设直线的方程为，根据题意有解得，故满足条件的直线有且只有一条.这时就应该思考：为什么只有一条？从画图来看好像有两条.事实上，要使直线交坐标轴于正半轴，则，的面积，由得，故，当且仅当时的面积有最小值为4，并且我们可以看到当时，递减，；时，递增，；故面积为4的直线有且只有一条，面积小于4的直线不存在，面积大于4的直线有两条，而且可以引导学生进一步追问，如果条件改为直线交轴分别于两点，结论会有变化吗？甚至一般化，若直线过平面上一定点（异于原点）交轴

7、分别于两点，有没有类似的结论？这样的追问，对学生思维的发展、认清问题的本质非常有帮助.2.3 从对解题过程的不断反思中生“疑”为什么许多同学花很多时间，做大量的题目，但就是不得解题要领呢？缺少对解题过程的反思是一个非常重要的原因. 反思是对解题过程深层次的思考，是进一步深化、整理和提高的过程，是进一步开发解题的智力价值的过程，也是一种再发现和再创造的过程，因此必须重视解题过程的反思3.罗增儒老师在文4中提出反思数学解题过程，包括：(1)解法正确吗？需要对解题过程和答案进行有效的检验，不仅能提高解题的正确性，而且还有助于学生活跃思维，增强思维的批判性；(2)对条件和结论作适当讨论没有？(3)探索

8、题目背景、解题方法，对结论特殊化、一般化等.例如，在必修4复习过程有这样一道题：“求函数的最小正周期”.解：.解完题目之后，反思解题过程，先利用二倍角公式将函数的解析式进行了化简，并用了正切型函数求周期的公式，自然要想一想，这种变形是等价的吗？公式及其使用正确吗？ 结合二倍角公式的使用条件，就会发现原函数的定义域为，而函数的定义域为，两个函数的定义域不同，变形后定义域范围扩大了，如时，但时没有意义，因此，函数的最小正周期为是错误的，结合定义域，函数的最小正周期应为，通过这样的反思，有助于培养学生严谨的数学思维.又如，必修5中“基本不等式”部分有这样一道题：“把36写成两个正数的积，当这两个正数

9、取什么值时，它们的和最小？把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？”不妨设这两个正数为，在实际教学中，有学生提出：为什么不考虑的最大值和的最小值？对这样的反思和质疑，学生通过分析，能发现两个正数积为定值，其中一个可以任意大，因而它们的和最大值就不存在，同样道理如果两个数的和为定值，其中一个可以任意小，另一个是有限数，因而它们的积最小值就不存在，这样既能体会函数思想、极限思想和辩证唯物主义观点，又能促使学生的思维纵深发展，有助于提高学生学习数学的热情，养成独立思考、善于质疑和反思的并纠错的良好习惯.2.4 从对数学背景的实际探究中生“疑”数学课程标准指出：作为学生数学学习的

10、重要资源，教科书应当承担向学生传递数学文化的重要职责.由此可见，数学教学承载着学生德育和人文教育的重要职责，课堂教学不但要考虑知识结构的逻辑性和连贯性，还应该要帮助学生理解数学知识产生和应用的实际背景，在对数学背景的实际探究中思考问题、研究问题，激发学生学习兴趣，体会数学在推动人类社会发展中的价值和作用.例如，在定积分的概念教学中，要让学生了解其产生的实际背景，古埃及通过解决丈量土地面积的需要，研究出了关于矩形、三角形、梯形和圆面积的计算方法，随着天文学、物理学等自然科学的发展，又提出了如何计算曲边梯形面积的新问题；同时，通过分析我国数学家刘徽的割圆术思想，让学生去思考问题，提炼出“分割、近似

11、代替、求和、取极限”的方法.又如，在向量的概念教学中，从对实际生活中的速度、位移、力等与数量的对比分析中，研究它们之间的联系与区别，从而引出向量的概念，同时也为学生理解向量的运算及其应用打好基础.3 数学教学中怎样引导学生从“疑”到“悟”3.1 为学生的思维发展提供合适的“着力点”课程标准提出，高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力；数学教育家G·波利亚说：“学生想什么比教师讲什么重要千百倍”；构建主义认为，知识不能简单地由教师或他人传授给学生，只能由每个学生依据自身已有知识和基本活动经验主动地加以构建5.因此，在教学中，教师不能仅凭自己的经验或教学内容来设计教学，还要去了解学生已

12、经具备了怎样的能力，设计什么样的问题才是合适的“着力点”，才能帮助学生的思维有更大的发展.例如，在学习“函数的单调性”和“函数的奇偶性”概念时，我们就应该要知道，学生已经掌握了哪些函数的图像性质，会研究函数图像的哪些变化规律.在函数的奇偶性教学中，就有老师给出的图像，让学生去观察，这是很不合适的，因为初中并没有学过的图像性质，学生可能还停留在“的图像为什么是这样的”问题中，无疑会冲淡主题，造成学习效果不好.因此，我们在教学中必须充分分析学生的知识、能力和经验的“生成点”，设置合适的“着力点”，让学生“跳一跳，摘到果子”.又如，在“直线与圆的位置关系”教学中，许多老师都会选用课本上的引例：轮船返

13、港是否会有触礁危险的问题.其实，这个背景未必对所有学生都熟悉，而且背景的建模过程本来就不简单，需要建立坐标系转化为代数来处理，而很多学生是从平面几何中解三角形的角度去分析，没能按老师想要的角度去考虑问题.这节课的引入，不如直接在几何画板上画个圆和一条直线(如图)，让学生研究、讨论他们是相离、相切还是相交，开始，许多学生可能会认为是“相切”，但又不知怎么“讲道理”，引出主题，既符合本节课的主旨内容，又对学生认知造成冲突：看起来相切，但实际上不一定，还需要严格的证明.激发学生学习兴趣，体会“数形结合”的思想方法，感悟数学的严谨精神.3.2 为学生的学习过程提供科学的思维方式现在课堂上经常见到概念教

14、学就是“定义+例题”，解题教学就是“方法+题型”，教定理公式就是“记忆+使用训练”的教学模式，它“给与”学生的是“数学结果”，是最容易教的部分，然而却丢掉了概念的发生和形成过程，丢掉了由学生猜想、选择和变通，从而寻求解题方法的创造性思维活动的过程，丢掉了定理和公式的概括、总结的过程，对于学生数学思想方法的形成无疑带来更多的困难6.法国哲学家卡尔曾说：“最有价值的知识是关于方法的知识”，曹才翰先生曾指出：“如果学生认知结构具有较高抽象、概括水平的观念，则对学习是有利的”、“只有概括的、巩固和清晰的知识才能实现迁移”，由此可见数学思想方法作为数学学科的“科学思维方式”，在学生的学习中是至关重要的.

15、数学思想是对数学知识的本质的认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认知活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中.比如说学生普遍感到困难的“抽象函数”，如：已知偶函数满足，且在上单调递减，若，试比较的大小.学生的困难不在于不理解偶函数和函数递减的意义，而是思考问题缺乏“函数思想”和“抽象问题具体化”科学思维方式.渗透数学思想方法不应只是一句口号，针对学生的“难处”，在学习过程中可以不断从以下几个层次把“函数思想”内化为学生的显性思维，一是让学生理解函数思想就是利用函数的概念、性质去研究分析问题、解决问题的一种意识；二是函数问

16、题关键就是要研究函数的性质；三是研究函数性质要从代数和几何两个角度去理解(代数角度：先研究自变量取值的关系，在看对应函数值的关系；几何角度：反映在图像上是怎样的特征).有了这样的指导，对条件的理解就不难了，从代数角度，自变量的取值“和”为4，函数值相等；从几何角度，在数轴上对应的点关于对应的点对称，且点同时在函数图像上，则函数的图像关于直线对称，抽象函数也就不抽象了，问题的解决也就不难了.3.3 为学生的学习提供具有一定挑战性的实际问题背景当前，世界各国课程改革的一个共同趋势就是“生活化”的回归，教育重返生活世界，把学生置于实际生存的世界中去体验.领悟数学本质，不应该把数学知识看成是“无源之水

17、”，数学源于生活，用于生活，数学学习的思维与思考实际生活问题的方式是相通的，许多实际问题的思维含金量也非常高，领悟数学问题，也需要在教学实践中适当提出具有一定挑战性的实际问题背景；课程标准提出开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野，提高实践能力.例如，在学习“导数及其应用”之后，有一节“生活中的优化问题举例”，我们不能把这一节仅仅当做应用题的教学，要理解教材编写的意图：让学生利用所学知识，结合生活经验去分析问题、解决问题，激发兴趣，了解导数在解决优化问题中的作用.因此，要切实让学生经历将问题用函数表示，根据问题的目标，转化为求函数的最值问题等过程.从考试层面说，像排列组合、概率统计等许多贴近现实生活背景的问题中，许多学生审题都不过关，究其原因就是学生对实际问题体验的缺失、生活经验的缺乏造成的.4 结束语要实现“教是为了不教”的目标，学生的学习习惯和方法的培养是关键，要鼓励学生在学习过程中不断地思考，不断生“疑”，加强学