级计算与数论部分

1、第一讲 速算与巧算凑整法：当要计算的数接近一个容易计算的数时，先用后者计算，再去除之间的差。积（商）不变：凑5×210，25×4100，125×81000，625×1610000等易算数，如：160÷5（160×2）÷（5×2）320÷1032144000÷125144000÷1000×8144×811521.76×7.5（0.88×2）×（15÷2）0.88×150.44×3013.2提取公因式法：两个式

2、子相加减，先找出两者的公因式（共同的乘数），再利用乘法的结合律提取公因式。（当需要改变运算顺序时，注意要带符号“搬家”）整体代换法：当某几个数（或者式子）在复杂的计算时多次出现，可先将这几个数（或者式子）看成一个整体（用某个字母代替），最后再计算。公式法：常用公式有（a±b）2a2±2ab+b2， a2-b2 (a+b)(a-b)， 尾数法:本质上是分析某数除以10的余数。在选择题中，当各选项尾数不同时，应考虑使用。两个数的尾数之和（差、积）等于和（差、积）的尾数。一般不适合除法。弃九法：本质上是分析某数除以9的余数。把一个数的各位数字反复相加，直到和是一个1位数（08，如

3、果是9，就减9），这个数就是原数的弃九数。在选择题中，是尾数法的补充。两个数的弃九数之和（差、积）等于和（差、积）的弃九数。同样不适合除法。例1. 计算1999991999919991991922225例2. 计算（1351989）（2461988）995例3计算 3893873833853843863882702例4计算（494249434938493949414943）÷64941.例5计算5499×99459900.例6计算 9999×22223333×333433330000.例71999999×9991000000.例8比较A与B的大

4、小：A987654321×123456789，B987654322×123456788. AB.例9不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249、242×248、243×247、244×246、245×245. 245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差越小，乘积越大。例10. 求 1966、1976、1986、1996 2006五个数的总和。 1986×59930.例11. 2、4、6、8、10、12是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它

5、们中最小的一个. 中间数为 320÷564，依次为60、62、64、66、68，最小的是60.中数：三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x2、x1、x、x1、x2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n1个连续自然数可以表示为：xn，xn1，xn2， x1， x， x1，xn1，xn，其中 x是这2n1个自然数的平均值.1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23

6、 24 25 26 27 28 995 996 997 998 999 1000 1001例12将11001各数按右图格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：1986，2529，1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.中数是九个数的平均值，框中的九个数之和应是9的倍数。不能被9整除，281÷740×71，这说明281在题中数表的最左一列，不能做中数；只有1989能办到。例13. 选择题：（1.1）2+（1.2）2+（1.3）2+（1.4）2的值是（D）。A. 4.98 B. 5.49 C. 6.06 D. 6.30例14. 11338×25583

7、的值是（ A ）。A. 290060054 B. 290060154 C. 290060254 D. 290060354例15. 计算（1）。（将分子、分母同时乘以1×2×3××15，分子、分母均为15×16×17××29）例16. 计算：（1+）×（）（1+）×（）（令A，B，原式（1+A）×B(1+B)×ABA）例17. 计算 （裂项，）第2讲 数列与图形规律等差数列：相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示（d

8、可以为0）。通项公式：ana1+(n1)d例1. 已知等差数列2，5，8，11，14，问47是其中第几项？（16）等差数列的变形多级等差数列：相邻两项的差成等差数列（或成多级等差数列）如：20, 20, 33, 59, 89，（150） 3, 12, 33, 72, 135，（228）等比数列：从数列的第2项起，每项都是前一项的同一个非零倍数，这个倍数成为公比，一般用字母q表示。通项公式为：ana1×q(n1)如：6, 18, 54，162， 6×3n-1，和数列：通过对数字求和得到的后项的数列。例2: 2， 3， 5， 8， 13， 21， （34）例3： 1， 3， 5

9、 ，9， 17， 31， 57，（105）其中：91+3+5， 173+5+9，其它数列：根据某种特有的规律形成的数列。如：8， 9， 10, 11, 12，1， （2） 钟表数列1， 4， 9， 16， 25， （36） 平方数列1， 2， 3， 5， 7， 11， 13，(17) 非合数数列 4， 6， 8， 9， 10， 12， 14， （15） 合数数列等等。多级数列：将基本数列进行多级组合形成的数列。组合数列：奇数项、偶数项（或者分组）分别满足某种规律。例4. 33， 32， 34， 31， 35， 30， 36， 29， （37） 其中，奇数项是等差数列，偶数项也是等差数列（前项比

10、后项大1）。例5根据下列各串数的规律，在括号内填上适当的数： 15， 20， 12， 25， 9， 30，（ 6 ），35， 3，（40），奇数项、偶数项分别求。 1， 2， 2， 8， 3， 18， （4）， 32， 5，（50），偶数项为相邻奇数项的平方乘2 0， 2， 6， 12， 20， 30，（42）， 第n项为n（n1） 1, 5, 10，2， 10， 20， 3， 15， 30， （4），（20），（40）， 1，2，6，24，120，（720 ），5040 例6. 找出下列各组与众不同的数 3， 5， 7， 11， 15， 19， 23， 6， 12， 3， 27， 21， 1

11、0， 15， 30， 2， 5， 10， 16， 22， 28， 32， 38， 24， 2， 3， 5， 8， 12， 16， 23， 30 42， 126， 168， 63，882例7按右图分割三角形，即：把三角形等分为四个相同的小三角形（如图（b）；把中的小三角形（尖朝下的除外）都等分为四个更小的三角形（如图（C）继续下去，将会得到一系列的图。依次记录这些图中不重叠的三角形个数，成为一个数列：1，4，13，40请你从中找出规律，并得出数列的第10项。显然，数列的第10项为：1+3+32+33+34+35+36+37+38+3929524解：数列的规律如下：第1项1第2项41+3第3项13

12、4+3×3第4项4013+3×3×3第5项12140+3×3×3×32 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 2432 30 28 26 例8. 数字排列如右图所示，问2012在第几行，第几列?解：偶数的个数为2012÷21006（个）把每8个看成一组，1006÷8125（组）.6前125组有250行，第6个数是每组的第2行。因此，2012在第252行，第3列。12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 例9. 右图中2012在第几行，第几个数?解：观察每行最右边数是行数

13、的平方，估计一下：4421936，4522025，显然在第45行；第45行共有45×2189个数（或20251036），2012193676，即：2012是第45行，第76个数。1位数有9个，占9位2位数有90个，占90×2180位3位数有900个，占900×32700位例10. 把自然数依次写下来得到一个数：1 2 3 4 5，问这个数从左边第一位起第2000个数字是几? 第20000个数字呢?解：（2000189）÷31811÷3603.2603+99+1703, 703的第2位数字即第2000个数字是0。（200002889）÷

14、442773， 4227+999+15227, 第3位即是第20000个数字是2。例11. 从左至右依次写上12012这2012个自然数，然后从左至右每隔三位点一个逗号：123，456, 789, 101, 112，那么第100个逗号前的那个数字是多少?解：同上，即求第300个数字。（300189）÷337, 73+99+1173，是172的“2”。练习1一.用简便方法计算下列各式：（123456234561345612456123561234612345）÷62013×20122012-2011×20132013（125×99125）

15、5;16+72000÷1253×99.90.39.9×80.82×0.91.2（10+876+312）×（876+312+918）（10+876+312+918）×（876+312）（提示：令t876+312，w876+312+918）(1+0.23+0.34)×(0.23+0.34+0.65)（1+0.23+0.34+0.65）×（0.23+0.34）99999×77778+33333×66666（44332-443.32）÷（88664-886.64）二、分别比较下面两组数的大小

16、98765×98769， 98766 × 98768 1992×19991999， 1993×19981998，1994×19971997， 1995×19961996三、19个连续奇数的和是361，求其中最大和最小的数.1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 28 97 9899 100四、145是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.五、把从1到100的自然数如下表那样排列。在这个数表里，把长的方面3个数，

17、宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？六、已知12+22+32+n2，那么，112+122+132+212 。七、2012减去它的，再减去剩下的，再减去剩下的，最后减去剩下的，问最后剩下的数是多少?八、用1，5，5，5和7，7, 3, 3两组数字及运算符号分别写成一个数学算式，结果等于24。练习21. 在1997后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数，问这串数字从1开始往右数，第2012个数字是几?2. 有一列数字：2.3.6.8.8.从第3个数起，每个数

18、都是前两个数乘积的个位数字，那么第80个数是多少?3. 有一列数：1， 1989， 1988， 1， 1987， 从第三个数起，每个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么第1989个数是多少?4. 求333333333（共2012个3）除以7的余数。5. 2012个47的乘积的个位数字是几?填全右表。并根据表中的规律计算下式结果的个位数字：20015+20025+ 20035+20045+ 20055+20065+20075+20085+20095 an6. an的尾数表012345678910123456789201496569413456789 7. 紧接着1989后面写一串数字，写下的

19、每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数。得到一串数19892868.，那么这串数字从1开始往右数，第2012个数字是多少?8. 10÷71.428571438571是一个循环小数。问： 小数点后第2012位数是几? 若商的某一位数字之前的各位上的数之和是302，这个数字是几?在小数点后第几位?9. 把2013个2013相乘，所得的结果的个位数字是多少?10. 除以13所得的余数是多少?智巧题选做 池塘中的睡莲，每天长大一倍，10天就把池塘遮住。问要遮住半个池塘需要多少天? 枯井井深10米，一蜗牛从井底往上爬，白天上爬3米，晚上下滑2米。几天爬出井? 3个空汽水瓶可以换一瓶汽水喝，

20、小明有10个空汽水瓶。共可以喝到多少瓶汽水? 红、蓝墨水各一瓶，一样多，用一根滴管从红瓶中吸一滴给蓝瓶，搅拌后，再反过来从蓝瓶中吸一滴给红瓶。问：此时红瓶中的蓝墨水多，还是蓝瓶中的红墨水多? 有6根短链子，每根4个环，打开一个环要5分钟，封闭一个环要7分钟，要把6根短链子连接成一条长链子，至少要用多少时间?第3讲 数列求和一、等差数列求和若a1 小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3an可以写为a1,a1+d,a1+d×2，a1+d×（n-1）.所以，容易知道：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=an-1+a2=an+a1.设 Sn=a1+a

21、2+a3+an，也可以写成 Sn=an+an-1+an-2+a1两式相加可得：2×Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+(an+a1)即：2×Sn=n×（a1+an）,所以，Sn=n×（a1+an）÷2注意：与梯形面积公式比较二、其它数列求和裂项求和： ,n（n+1）裂项法、公式法、分组求和法1+2+3+.+n= ，a2-b2 (a+b)(a-b)，*共多少项?*每项的特点?*通项公式将有规律的最高项用字母n代替，n是项数，写成一个通用算式。通项公式：n×（n+1）例1、通项公式：（1×2×3）+（2×

22、;3×4-1×2×3）+（3×4×5-2×3×4）+（100×101×102-99×100×101）343400例2、 通项公式：4×n2 例3、22+42+62+82+10024×（12+22+32+.+502）通项公式：n（40n）或：（20+n）（20n）4×2×100×101×671353400例4、19×21+18×22+17×23+1×39（20+1）（201）+（20+2）

23、（202）+（20+3）（203）+（20+19）×（2019）19×202（12+22+32+192）19×20219×20219×10×1319×10×（4013）190×275130练习题1、 1×2 + 2×4 + 3×6 + 4×8 + 100×2002、 1×3 + 2×4 + 3×5 + 4×6 + 10×123、 1×3 + 3×5 + 5×7 + 7×

24、;9 + 17×194、 +5、 +6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 数的整除1、能被2、3、5、9整除的数的特征 2、能被4或25整除的数的特征3、能被8或125整除的数的特征4、能被11整除的数的特征 5、能被7，11，13整除的数的特征（7×11×131001）6、能被一个合数整除的数的特征例1.已知：45|，求所有满足条件的六位数。解：455×9， 5|，9| y可取0或5. x0当y0时，1+9+9+3+022，所以x5，当y5时，1+9+9+3+527，能被9整除，所以x9。例2.

25、已知整数能被11整除，求所有满足这个条件的整数。解： 11| 根据能被11整除的特征可知：1+2+3+4+5与5a之差是11的倍数，即：11|（15-5a）15-5a5（3-a），因此：11|（3-a），a3符合题意的整数只有1223334353例3.把三位数接连重复地写下去，共写1993个，所得的数恰是91的倍数，求。解： 917×13，且（7,13）1 7|，13|根据能被7或13整除的特征可知：当且仅当：-能被7和13整除时成立。（7,10）1，（13,10）1， 7|，13|即：7|，13|反复进行996次，最后化成：当且仅当能被7和13整除。91×4364，364

26、 64例4.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽量小。解：设这个六位数是 4|，5| c0， b只能取0、2、4、6、8之一又3|， 且8+6+519， 19÷361a+b除以3余2为了满足数值尽量小，取a0，b2 这个六位数是865020例5.求能被26整除的六位数。解： 262×13，能分别被2和13整除y只能取0、2、4、6、8， 13能整除与的差当y0时，120÷1393 即13|（120-3）-3100x+17（7×13+9）x+177×13x+13+9x+4 有13|9x+4经试验：只

27、有当x1时成立。所以120120是其中一个解。当y2时，122÷1395-5100x+15（7×13+9）x+257×13x+13+9x+2 有13|9x+2经试验：只有当x7时成立。所以720122是其中一个解。当y4时，124÷1397-7100x+13（7×13+9）x+137×13x+13+9x 有13|9x经试验：无解。当y6时，120÷1399-9100x+11（7×13+9）x+117×13x+9x+11 有13|9x+11，相当于13|9x-2,经试验：无解。,当y8时，120÷

28、13911-11100x+31（7×13+9）x+97×13x+9x+9 有13|9x+9经试验：无解。综上，满足要求的解为：120120、720122两个。例6. 用1到9这9个不同的数字可以组成很多没有重复数字的九位数，其中能被11整除的九位数有31680个，求出其中最大的和最小的九位数。解：先不看能否被11整除，最大的和最小的分别是987654321和123456789，根据被11整除的特性，奇数位和为25，偶数位和为20，奇数位比偶数位大5.当任意互换其中不同奇偶的两个数字时，奇偶位的总和与更换前相差为偶数，如更换6和3，其奇偶位的和差6。因此，奇数位比偶数位大5，

29、可描述为奇数位比偶数位小6（偶数）。只要在九位数的后面几位，通过更换奇偶位数字，使得奇数位比偶数位增加6即可，最大：（4+2）（3+1）2，而（4+3）（1+2）4 偶位 奇位 2， 奇位 偶位 4， 最大是：987652413最小：因为（9+7）（8+6）2，奇数位的和比偶数位的和大2，无法满足。需要增加一位变换的位置。 （9+7+5）（8+6）7，而（9+8+7）（6+5）13 奇位 偶位 7， 奇位 偶位 13， 最小是：123475869练习题1、如果41位数55555（20个5）9999999（20个9）能被7整除，那么中间方格内的数字是几？2、判断1059282是否是7的倍数？3、

30、在内填上合适的数字，使六位数1988能被35整除。4、学校买了28支价格一样的钢笔，共付了人民币9.2元。已知数字相同，请问每支钢笔的价格是多少？5、一个三位数，能同时被2、5、7整除，这样的三位数按照由小到大的顺序排成一列，中间的一个数是几？6、求一个四位的完全平方数，其前两位数字相同，后两位数字也相同。7、用0到9这十个不同的数字可以组成许多的十位数，在这些数字中能被11整除的最大的十位数是多少？（每个数字只能用一次）8、商场里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中5箱，其中一个顾客买的总重量是另一个顾客的2倍。问：商店还剩下哪箱货物?9、用6、7、8

31、、9四个数字组成的，各个数字互不相同的四位数中，能被11整除的有多少个？10、在内填上合适的数字，使六位数1991能被66整除。11、在28的前面连续写上若干个1993，得到199319931993199328。如果这个数字能被11整除，那么它最小是几位数？12、 判断3456725能否被13整除。13、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中选出5个不同的数，组成一个5位数，使它可以被3、5、7、13整除，这个数字最大是多少？14、求能被65整除的六位数x2012y。15、甲乙两个人约定一个整数N，然后由甲开始，轮流地用数字组成一个六位数的一位，数字可以重复。如果这个六位数能被

32、N整除，就算是乙胜，如果这个六位数不能被N整除，就算是甲胜。设N小于15，那么当N取哪个几个数时，乙才能取胜？16、把三位数5ab接连重复地写下去，共有2011个5ab，所得的这个多位数恰好是91的倍数。求ab等于多少？17、一家水果店进了六筐水果，分别装着香蕉和桔子，重量分别是8、9、16、20、22和27千克。当天只卖出一筐桔子，在剩下的五筐中香蕉的重量是桔子重量的2倍。问水果店进了多少千克的香蕉?18、任一个三位数连续写两次得到一个六位数.试证：这个六位数能同时被7、11、13整除。19、求最小的四个自然数，使得任意两个的和都是2的倍数，任意三个的和都是3的倍数。20、某个七位数2000

33、能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？21、173是一个四位数数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，11，6整除”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少?22、 如果六位数1992能被105整除，那么它的最后两位数是多少?23、某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?24、证明以下命题：A任意两个连续奇数的和一定是4的倍数；B任意两个连续偶数的乘积是8的倍数；C任意三个连续偶数的和一定是6的倍数；D任意三个连续自然数的乘积一定是6的倍数；E如果不大于四位数的自然数

34、能被99整除，则它各个数位的数字之和能被18整除。25、在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?26、用1-9这九个数码各一次，组成三个分别能被7、9、11整除的三位数，并要求这三个数的和尽可能大。（提示：9、8、7这三个数应放在百位，4、5、6这三个数尽可能放在十位。答案：756、831、924。）27、四名学生做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数字（不等于0）拿到这个数最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，他们的得数分别为372535，568741，620708，845267，其中只有一名同学做对了。问：正

35、确答案是几？（原数可设为：A×10B ，新数为：B×100000A。和A×10BB×100000AA×11B×100001A×11B×9091×11)分解质因数、约数与倍数、最大公约数与最小公倍数质数与合数质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么这个质数是这个数的质因数互质数：两个数的最大公约数是1.最大公约数×最小公倍数这两个数的积。短除法和辗转相除法（1127/1518，22848/42483,9889/35061，12642/15738，4811/1981）例1.三个连续自然数的

36、乘积是210，求这三个数。解：2102×3×5×7，可知这三个数是5、6、7例2.两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值。解：4017+2311+193+37乘积的最大值是17×23391 例3.连续9个自然数中至多有几个质数?为什么?解：如果这9个数在1-20之间，显然最多有4个质数（如：2、3、5、7）。如果连续9个自然数最小的一个是不为2的质数（奇数），连续9个自然数至少有4个是偶数，另有一个个位数为5的数，显然也是合数，最多也是4个质数。综上，连续9个自然数中至多有4个质数.例4.有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，并

37、且三个数的乘积是42560.求这三个数。解：30×30×3027000，远小于42560 40×40×4064000，远大于42560这三个数在30-40之间而 4256026×5×7×1925×（5×7）×（19×2）32×35×38,符合题目要求。要求的三个自然数分别是32、35、38.例5.把下列完全平方数分解质因数：9,36,144,1600,275625。解：932 3622×32 14424×32 160026×52 275

38、62532×54×72（注意：一个完全平方数分解的每个质因数的指数均为偶数，反之也成立。）例6.一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。解：108023×33×5，每个质因数的指数均为奇数a与1080的乘积是一个完全平方数,分解质因数后，每个质因数的指数一定是偶数a必然含有质因数2、3、5，故a的最小值为2×3×5301080×a32400例7.问360共有多少个约数?解：36023×32×55显然只有2个约数1和5，32有1、3、9共3个约数，将2个约数与三个约数分别相乘，

39、可知：32×5共有2×36个约数， 23有4个约数，360共有2×3×424个约数（一个数的约数个数，等于它的每个质因数的个数加1的连乘的积） 练习题1、如果AB70，A×B1161，那么A与B的差是多少？2、A、B、C为三个不同的质数，已知3A+2B+C20，求：A、B、C.3、把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲乙丙三人，每人3张，甲说：我的三张卡片上的数乘积是48；乙说：我的三张卡片上数的和是16，丙说：我的三张卡片上的数乘积是63。问甲乙丙各拿了哪几张卡片？4、长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米。这个长方形

40、的周长是多少米?5、一个两位数除310余37，这个数可以是（   ）或者（   ）。（提示：考虑31037）6、237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合这个条件的所有两位数。7、5100除以一个三位数，余数是95，这个三位数最大是多少？8、某班同学在老师的带领下去植树，学生恰好分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了1147棵，那么，平均每人种了多少棵？9、将下列分数约分：、10、小明用21.6元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他就可以多买3张，问小明买了多少张？11、自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b

41、的平方。求a最小是多少？12、小明买了铅笔、橡皮和本三种文具，已知它们的数目是各不相同的质数，且满足：铅笔数×（橡皮数+本数）=110+本数，求小明买了多少个本?13、要使下面乘积的最后四位数都是0，在括号内最小应填什么数? 475×195×516×( )14、中学生李明比赛后说：“我的名次、分数和我的年龄乘起来是4074”。他是第几名?15、三个数的乘积是90720，三个数成公差为3的等差数列，求这三个数。16、分母是1989的所有最简真分数的和是多少？ 17、求一个四位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的三位数的3倍与234之差。18、求一个四位数，

42、它等于抹去它的首位与末尾数字之后剩下的两位数的75倍。19、组成325和523两个数的数码完全相同，次序正好相反，这样性质的两个数称为一对“反序数”。若一对反序数的乘积等于30492，试求出这两个反序数。20、有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1，这个自然数是多少？21、求小于1000的、只有15个约数的最大自然数。22、某商店把几十个单价原为0.2元的卷笔刀降价后全部售出，共卖得2.53元，问降价后的单价是多少?23、a、b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a和b。24、一盒围棋子，4颗4颗的数多3颗，6颗6颗的数多5颗，15颗15颗的数多14颗，这盒棋

43、子在150至200颗之间。这盒棋子共有多少颗？25、分别将木棍平均分成10等分用红色做标记、12等分用黄色做标记和15等分用蓝色做标记。如果沿这三种标记把木棍锯断。木棍总共被锯成多少段？26、父子二人在雪地散步，父在前，子在后。起点同步，如果可能的话，儿子将踩在父亲的脚印里，父亲每步80厘米，儿子每步60厘米。在120米内一共留下了多少个脚印？27、修改31743中的某个数字，可以得到823的倍数。问修改后的五位数是几?28、一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？29、求2167

44、2和11352的最小公倍数。30、一支队伍不超过八千人，列队时按4人、5人、6人、7人和8人一排，最后一排都缺3人，改为11人一排时，最后一排只有3人。问共有多少人?31、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗?32、10个连续的三位数最大的不超过130，这10个数的和是77的倍数，求这10个数。33、把数码5写在某自然数右端，该数增加了A1111，A表示一个看不清的数码，求A。34、一个三位数与组成它的三个数码之和的比最大是多少?奇偶性1. 已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-

45、1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。2. 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数。试证明新数与原数之和不能等于999。3. 用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：a×b×c×d-a=1991a×b×c×d-b=1993a×b×c×d-c=1995a×b×c×d-d=1997问：符合条件的整数a、b、c、d是否存在?4. 在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”，按中国象棋的走法，当棋盘上没有其他棋子时，这只“马”跳了若干步后回到原处，问：“马”所跳的

46、步数是奇数还是偶数？5. 有100个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多.问：这些数中至多有多少个偶数？6. 求证：四个连续奇数的和一定是8的倍数。7. 一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。8. 有8只盒子,每只盒内放有同一种笔.8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支.在这些笔中,圆珠笔的支数是钢笔的支数的2倍,钢笔支数是铅笔支数的,只有一只盒里放的水彩笔.这盒水彩笔共有_支。余数与同余及其应用a÷bqr，0rb （b0） 余数r0，a能被b整除,写作：a0（m

47、od b）r0，a不能被b整除，写作：ar（mod b）如果A、B两个整数，除以自然数M所得的余数相同，则称：A、B模M（关于除数M）同余。记为AB （mod M） 如：2722557（mod 5） 3139843 (mod 4)性质：如果 ab(mod n), 则 ba(mod n); ambm(mod n) 如果 ab(mod n),bc(mod n) 则 ac(mod n)如果 ab(mod n),cd(mod n) 则 a+cb+d(mod n) a-cb-d(mod n) a×cb×d(mod n)中国剩余定理：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除

48、百零五便得知。”例1. 求将一批货物共328千克装入纸箱中，每箱13千克，最后余多少千克?例2. 求14389除以7的余数。例3求自然数210031014102的个位数字。例4. 三个连续的自然数,分别是17、19、21的倍数,试写出满足条件的最小的数。解：15，17和19的最小公倍数是15×17×194845,4845+154860能被15整除，4845+174862能被17整除，4845+194864能被19整除，所以4860，4862，4864分别能被15，17，19整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到2430，2431，2432，它们也一定能分别被15，17，19整除。练习题A1、一个数被3除余1，被5除余2，这个数被15除余几？2、一个三位数除以5余3，除以6余2，除以7余1，求最小数是多少?3、一个数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个数最小是几？4、学校图书馆买来一批数学参考书，总数在2500本至3000本之间。若每包24本，最后一包缺2本，若每包28本，最后一包还是缺2本，若每包32本，最后一包还是缺2本，这批参考书一共有多少本？5、有三个连续的自然数，第一个数是3的倍数，第二个数是5的