几何在高考数学中的解题研究

1、曲靖师范学院本科生毕业论文论文题目:解析几何在高考数学中的解题方法与技巧研究 作者、学号：徐智勇 2012111325学院、年级：数学与统计学院 2012级学科、专业：数学 数学与应用数学指 导 教 师：张勇 完 成 日 期：2016年5月25日曲靖师范学院教务处解析几何在高考数学中的解题方法与技巧研究摘 要解析几何的内容贯穿了整个高中数学，是高考数学的一个重点。由于解析几何涉及到广泛的知识面，综合的解题方法和发散的解题思维，因此很多高中学生面对“解析几何类型”题目感到迷茫困惑，甚至束手无策。为了帮助高中生克服“解析几何题型”中所遇到的困难，笔者查阅了大量的资料，解读了国内外一些关于解析几何在

2、高考数学中的解题方法和技巧的书籍，应用分析法、归纳法和综合法，反复研究了“解析几何”题目的解题思路，解题方法与解题技巧。经过分类总结，归纳出了“数学思想”、“公式法”、“待定系数法”、“点差法”、“等量代换法”等六类解题技巧和八种常规题型。这些解题思路和方法源于解析几何中的通常方法，但高于“数学思想”，对解决高中数学中“解析几何类型”的题目行之有效，或许对高中学生顺利渡过高考解析几何中的难题有所帮助。关键词：解析几何 高考数学 公式法 点差法 常规题型 解题技巧Research on the methods and skills of solving the problem of Analyt

3、ic geometry in the college entrance examinationAbstract: The analytic geometry content throughout the entire high school mathematics, is a focus of the college entrance examination mathematics. The analytic geometry involves a wide range of knowledge, problem-solving methods and divergent comprehens

4、ive problem-solving thinking, so many high school students face the "analytic geometry type" title confused, even at a loss what to do. In order to help students overcome "encounter difficulties in analytic geometry questions", I consulted a lot of information at home and abroad,

5、 reading some books about the methods and techniques for solving analytic geometry in the college entrance examination in mathematics, using the analytical method, inductive method and comprehensive method, repeated research "thoughts of solving analytic geometry problem, problem-solving method

6、s and problem-solving skills. After classified, summarized the" mathematical thinking "," formula "," undetermined coefficient method "," poor law "," equal replacement method "six categories and eight kinds of common problem solving skills Complianc

7、e questions. These problem-solving ideas and methods of source to the ordinary method of analytic geometry, but higher mathematics thought, effective to solve the problems of high school mathematics in the analytic geometry type, perhaps for high school students smoothly through the geometrical prob

8、lems help.Key words: Analytic geometry College entrance examination Formula method Difference method Conventional questions Problem solving skills目 录1引言12 文献综述12.1 国内外研究现状12.1.1解析几何的发展历史12.1.2解析几何的思想方法22.1.3国内外高考解析几何研究42.2国内外研究现状的评价42.3 提出问题53高考数学中解析几何问题的解题方法与技巧53.1高考应试建议53.2 高考核心考点63.3 常规题型方面63.3.1

9、中点弦问题63.3.2焦点三角形问题73.3.3直线与圆锥曲线问题73.3.4轨迹问题93.3.5两线段垂直问题103.3.6存在两点关于直线对称问题113.3.7圆锥曲线的有关最值（范围）问题113.3.8圆锥曲线几何性质的问题123.4解题技巧方面133.4.1充分利用韦达定理及“设而不求”的策略133.4.2用公式法和待定系数法求直线的方程类问题143.4.3用代数法解决直线间的距离、平行、垂直类问题143.4.4直线交点及直线系问题153.4.5运用共交点的曲线系方程153.4.6进行某些适当的代换164 向量在解析几何问题中的应用165 解析几何思想在立体几何问题中的应用186 结论

10、2061 主要发现206.2 启示206.3 局限性206.4 努力方向21参考文献:221引言解析几何内容是中学数学中的重要课题，也是高考一个难点，更是解决其它问题的基础，圆锥曲线类问题：综合性很强，难度大，这对高中生来说，是一道难题。因此，对解析几何在高考数学中的解题方法与技巧的研究就显得格外重要。但仅仅依靠教材介绍的几种基本方法无法应对形式多变的圆锥曲线类问题。求圆锥曲线的轨迹方程中常用的方法与技巧很多，通常是利用待定系数法，定义法，相关点法，相近或相关的知识等的综合应用。把所需求解的问题加以转换，通过转换，可以简化问题。在此基础上还要注意从不同角度去分析圆锥曲线的几何性质和结构特征，应

11、用联系、变化、对立统一的观点恰当地将问题转化，从而促使圆锥曲线类问题化难为易。文章就圆锥曲线类问题和直线类问题中的一些不常见的方法和技巧作了研究，并研究了如何使解析几何类问题化繁为简。解析几何主要是用代数法解决几何问题，中心思想由代数与几何组成。提高学生的解题能力，是当前中学数学教学的一项重要任务。文章还介绍了解析几何的起源和解析几何的主要的思想和历史以及解析几何的发展与完善，强调了笛卡尔和他的几何学在数学史上的举足轻重的地位，着重的说了解析几何在高考数学中的解题方法与技巧研究和解析几何在高考数学中常见的问题与解决方法和解题技巧，注意事项，以及向量在解析几何中的作用，同时探索了解析几何在立体几

12、何中的应用。2文献综述2.1国内外研究现状2.1.1解析几何的发展历史1633年笛卡尔写了一部更好地指导推理和寻求科学真理的方法论，这部书中有一部分叫几何学，在他的几何学中第一次出现变量与函数思想的方法论，并将几何与代数结合起来，笛卡尔所谓的变量，是指连续经过坐标轴上所有点的数字变量，还指具有变化长度而不变方向的线段，正是变量的这两种形式笛卡尔试图创造一种代数和几何互相渗透的科学。在几何学中，笛卡尔的功绩是把数学中两个研究对象“形”与“数”统一起来，并在数学中引入“变量”，完成了数学史一项巨大的时代变革。他指出：几何曲线上的所有点必定跟直线上的所有点具有一种确定的关系，并且这种关系必须用单个的

13、方程来表示3，即用坐标的方法把曲线用带有两个未知变量的代数方程表示，这样就可以用代数的方法来研究几何问题，几何学的出版标志着解析几何的建立，而同时代的法国业余数学家费尔马早在几何学之前，就写了关于解析几何思想的文章，只是没有发表，他也是解析几何的创始者之一。解析几何的创建从根本上改变了从古希腊开始的代数和几何分离的趋势，进而推动了数学发展的进程4。解析几何一经建立，就得到了膨胀式的迅速发展，且广泛渗透到数学与物理学等多个学科中去。1692年，莱布尼茨首先使用“坐标”一词，两年后，莱布尼茨正式提出“纵坐标”的术语，到18世纪，德国数学家沃尔夫引入“横坐标”这一术语，“解析几何”的名称则是18世纪

14、末由法国数学家拉克鲁瓦正式引入的。1665年英国数学家沃利斯在其著作论圆锥曲线中第一次将圆锥曲线定义为x,y的二次方程的曲线，且证明了其等同性，又用x,y的二次方程来推导出圆锥曲线的性质。1748年，欧拉在无穷分析引论中从一般二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0出发系统研究了圆锥曲线的各种情形，并在圆锥曲线的研究当中引入参数方程和极坐标。在无穷分析引论中，欧拉还研究了3个变量x,y,z的二次方程ax2+by2+cz2+2fyz+2gzx+2hxy+2ux+2uy+2wz+d=0 (3.2)其中系数皆为实数，二次项系数不全为0，得到6种二次曲面：锥面、柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面

15、、双曲抛物面和抛物柱面，且按系数对方程（3.2）进行了分类。1802年，法国数学家蒙日证明每个二次曲面与平面的截线皆为二次曲线，且平行线截口是相似的二次曲线。1832年，瑞士数学家施泰纳建立了直纹面二次曲面的理论。到19世纪，解析几何已日趋完善。2.1.2解析几何的思想方法1.数形结合思想数形结合思想的基本观点：把数量关系的精确刻画与空间形式的形象直观密切的结合，调用代数与几何的双面工具，揭露问题的深层结构，达到解题的目的，这种解题观点叫数形结合思想。三种解题策略：（1）“以数解形”，即：几何问题代数化；（2）“以形解数”，即：代数问题几何化；（3）数形互解。注1：数形结合策略的关键之点是：构

16、建数与形的对应关系，发明数形结合的工具。注2：“数形结合”在“问题解决” 中有三个鲜明作用：猜想解题思路；简化解法和直观发现；验证和评价。例1 如果x,y满足等式(x-y)2+y2=3,则yx的最大值是（ ）（A）12 (B) 23 (C)32 (D) 3AOPx y分析：待解问题是：yx=0-y0-x，具有直线l斜率的形式，可把它看成是(0,0)到动点P(x,y)的直线l的斜率，又因为点P(x,y)在圆(x-y)2+y2=3上，所以点P是直线l与圆的交点。借助几何图形知当直线l图1与圆相切时，其倾斜角最大，这时斜率也最大。解：设P(x,y)是圆上一点，直线OP为l，则当直线l与圆相切时，斜率

17、最大：k1=yx最大，在RtOAP中：PA=3, OA=2, OP=4-3=1,所以k1=yxtanPOA=PA OA=3，选D。此题显示了数形结合的优点，若直接计算是很困难的。2.坐标法思想坐标法是通过选择适当的坐标系，建立数与形的对应关系，进行数与形的互相转化，从而实现问题解决的解题方法。下面研究坐标法的一些具体方法和模式。例2 设a,b,cR+，且a+b+c=1，证明：1a+b+c3分析：若在不等式中含有：x1x2+y1y2+z1z2这样的式子时可考虑向量的数量积。本题是否可以考虑向量的数量积呢？关键看是否可以把所证不等式中的式子a+b+c转化成：x1x2+y1y2+z1z2的形式？（因

18、为：a+b+c=1a+1b+1c），以可以。证明：因为a+b+c=1a+1b+1c具有向量的数量积形式。QP1yxz令OP=(a,b,c)，OQ=(1,1,1)，则OPOQ=a+b+c=OPOQcos=3a+b+ccos=3cos。（关键是确定的范围，把P(a,b,c)点看成是动点，显然0，又因为点Q(1,1,1)在第一图2象限，所以OP与OQ都是第一象限的向量，所以OP与OQ的夹角不超过OQ与x轴的夹角。）又因为不超过向量OQ与x轴的夹角1，所以0<1，所以cos1coscos0=1，cos1=(1,0,0)(1,1,1)13=13。所以：133a+b+c3，所以：1a+b+c32.1

19、.3国内外高考解析几何研究国内外，对高考解析几何的研究，大多都集中在研究用解析几何知识来解答解析几何问题，向量方面的知识很少涉及，其中向量在解析几何中的研究有文献13，14，分别讲解了向量在中学数学教学中的应用和空间向量在立体几何中的应用，在一些国外中学数学竞赛研究中，运用向量相关知识解决解析几何问题的也很多，而国内对于高考解析几何问题研究的比较彻底，比如文献1-2给出了解析几何问题的一些解题技巧和方法，文献7-10给出了解决解析几何问题的一些策略，但分类不够详细，查阅困难，更不方便使用，并且大多数教材及著作对高考解析几何的研究只涉及到方法技巧而不注重思想，比如文献13-16。2.2国内外研究

20、现状的评价目前，国内外对解析几何类问题的研究呈现出下面一些特点：（1）在文献1,7,13,14,中对解析几何的各种解题方法和技巧解决的比较彻底；（2）在文献2,8,9,中对数学思想这方面渗透还略有不足；（3）在11,12，15中没有详细的分类，多数只针对方法或只针对技巧，没有把数学思想及解题方法融合在一起形成一个融会贯通的知识系统。2.3提出问题基于“解析几何类题目”的研究现状，给高中学生学习解析几何带来极大的困难，使他们学到的知识缺乏有机的联系，那么，如何让高中学生系统完整的掌握解析几何的思想方法，使之在应用中游刃有余，笔者通过大量的文献解读研究、整理和归纳对这一问题进行研究。3高考数学中解

21、析几何问题的解题方法与技巧3.1高考应试建议纵观2015年全国各省市18套文、理高考试卷，普遍有一个规律：占分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占分值一半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何的计算量相对偏大；（2）解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一；（3）在大家的“拿可拿之分”的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题和22题（有时20题

22、）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。根据解析几何的特点，建议在复习中做好以下几个方面：由于高考中解析几何内容弹性很大。有简单题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解答题较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几分算几分。明确题意、找到题目的突破口是顺利完成解题过程的首要条件。全面审题需要做好审条件、审图形、审结论这三个条件，同时还需要注意题目中所包含的隐含

23、条件。在实际的解题过程中，需将题干中的条件进行逐一的转化，向结论的方向进行装换，在此过程中也将结论做相应的转换，若在转化过程中出现“对接”的现象，则可以轻松的找到问题的突破口。3.2高考核心考点1、理解基本概念（如直线的斜率、倾斜角、距离、截距等）。2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）。3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）。4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算。5、熟悉圆锥曲线中基本量的计算。6、掌握与圆锥曲线有关的

24、轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）。7、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题。3.3常规题型方面3.3.1中点弦问题二次曲线上任意两点间的线段称做弦，用二次曲线的不垂直于x轴的弦的中点坐标可以表示该弦的斜率，像这种具有斜率的弦中点问题，通常采用设而不求的方法（点差法），设曲线上两点为(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。例3 给定双曲线x2-y22=1，过A(2,1)的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1、P2的中点P的轨

25、迹方程。解：把P1(x1,y1)，P2(x2,y2)代入方程得x12-y122=1 , x22-y222=1。两式相减得：x1+x2x1-x2-12y1+y2y1-y2=0又设中点P(x,y)，将x1+x2=2x，y1+y2=2y代入， 当x1x2时得：2x-2y2y1-y2x1-x2=0又k=y1-y2x1-x2=y-1x-2代入得 2x2-y2-4x+y=0当弦P1P2斜率不存在时，中点P(2,0)的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是2x2-y2-4x+y=0注意：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。3.3.2焦点三角形问题已知椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、

26、F2构成的三角形问题，经常用正弦、余弦定理搭桥。 例4 设P(x,y)为椭圆x2a2+y2b2=1上任一点，F1(-c,0)，F2(c,0)为焦点，PF1F2=，PF2F1=。（1）求证离心率e=sin(+)sin+sin；（2）求|PF1|3+|PF2|3的最值。解:（1）设PF1=r1，PF2=r2，由正弦定理得：r1sin=r2sin=2csin(+) 即得：r1+r2sin+sin=2csin(+)即证：e=ca=sin(+)sin+sin （2）又(a+ex)3+(a-ex)3=2a36ae2x2当x=0时，最小值是2a3；当x=±a 时，最大值是2a3+6e2a3。3.3

27、.3直线与圆锥曲线问题直线与圆锥曲线问题主要涉及的是：1直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，同时求参数取值范围，大部分是求直线斜率k的取值范围，而实际上这类问题是研究直线与圆锥曲线方程组成的方程组，联立解得的一元二次方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法。2当直线与圆锥曲线相交的弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；而涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。3在解决直线与圆锥曲线问题时，

28、不要忽略圆锥曲线的几何性质，很多问题可以通过代数与几何相结合可以直接解答。例5已知双曲线C：2x2-y2=2过点P(1,2)(1)求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别一个点，两个交点，没有交点。(2)若P(1,1)，试判断以Q为中点的弦是否存在。分析：涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化本题涉及二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式。解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点。当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程，并整理得： 2-k2x2+2

29、k2-2kx-k2+4k-6=0 (1)()当2-k2=0,即k=±2时，方程(1)有一个根，l与C有一个交点()当2-k20,即k±2时,=2(k2-2k)2-42-k2-k2+4k-6=16(3-2k)当=0,即3-2k=0,k=32时，方程(1)有一个实根，l与C有一个交点。当>0,即k<32,又k±2,故当k<-2或-2<k<2或2<k<32时，方程(1)有两个不相等的实数根，l与C有两个交点。<0当，即k>32时，方程(1)无解，l与C无交点。综上所述：当k±2,或k=32，或k不存在时，l

30、与C只有一个交点；当2<k<32,或-2<k<2,或k<-2时，l与C有两个交点；当k>32时，l与C没有交点。(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),), B(x2,y2)，2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减得：2x1-x2x1+x2=(y1-y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22x1-x2=y1-y2即kab=y1-y2x1-x2=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在。3.3.4轨迹问题求动点的轨迹是圆锥曲线问题中的基本问题：1.动点问题

31、是通过对圆锥曲线定义的理解，我们可以确定曲线是椭圆、双曲线还是抛物线，那么我们可以通过上面所说的待定系数法、定义法来解决问题， 2.不确定曲线形状，我们可以用相关点法，即根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程，或者参数法，即设动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量t的变化而变化，我们可以以这个变量t为参数，建立轨迹的参数方程，现举一些相关点法的例子。例6 已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，满足APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。分析：对较复杂的轨迹方程类问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，然后再以此点作为主动点，

32、以所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程，对于本题可以先建立线段AB中点的轨迹方程。解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在直角ABP中，AR=|PR|。又因为R是弦AB的中点，根据垂径定理：在直角OAR中， |AR|2=|AO|2-OR2=36-(x2+y2) 又|AR|=|PR|=(x-4)2+y2有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),图3即x2+y2-4x-10=0 因此点R在一个圆上，所以当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动。设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=x+42,y1=y+02代入方程x2+y2-4x-10=0,整理得：x2+y2=

33、56,这就是所求的轨迹方程。例7 已知ABC中，三边依次构成等差数列，a>c>b,AB=2，求顶点C的轨迹方程。分析：对于这类题中没有明确的信息告诉我们是什么曲线，我们可以通过对圆锥曲线的定义的深刻理解，了解圆锥曲线定义的本质，使问题获得简捷的解法，回到定义，理解定义，对于本题我们要恰当的建立坐标系，通过对定义的理解，可知顶点C的轨迹为椭圆的一部分。CByxOA解：如右图，以直线AB为轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系。由题意得：a,b,c构成等差数列，图42c=a+b 即CA+CB=2,AB=4，又CB>|CA|， C的轨迹为椭圆的左半部分。在此椭圆中，a'=2

34、,c'=1,b'=3，故的轨迹方程为x24+y23=1(x<0,x-2)注意：定义是对数学对象的本质属性的概括，只有深刻地理解概念的本质，才能灵活运用它来简化解题过程。如能回到定义，则常常能使问题获得简捷的解法，波利亚就曾提倡“回到定义”。3.3.5两线段垂直问题圆锥曲线的两条焦半径互相垂直问题，常用k1k2=y1y2x1x2=-1来处理或用向量的坐标运算来处理。例8 已知直线的斜率为，且过点P(-2,0),抛物线C:y2=4(x+1)，直线与抛物线C有两个不同的交点。（1）求k的取值范围；（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与物线C的焦点连线互相垂直。解：（1）直线y=k

35、(x+4)代入抛物线方程得:k2x2+4k2-4x+4k2-4=0，由>0，得-1<k<1(k0)。（2）由上面方程得x1x2=4k2-4k2， y1y2=k2x1+2x2+2=4，焦点为O(0,0)。由kOAkOB=y1y2x1x2=k2k2-1=-1，得：tan=±22, =arctan22或=-arctan22图53.3.6存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（也可以利用韦达定理结合判别式来解决）。例9 已知椭圆C的方程x24+y23=1 ，试确定m的取值

36、范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆C上有不同两点关于直线对称。解：椭圆上两点x1,y1,(x2,y2),代入方程，相减得:3x1+x2x1-x2+4y1+y2y1-y2=0又x=x1+x22,y=y1+y22,k=y1-y2x1-x2=-14,代入得：y=3x。又由y=3xy=4x+m解得交点(-m,3m)。又交点在椭圆内，则有(-m)24+(-3m)23<1,得-21313<m<21313。3.3.7圆锥曲线的有关最值（范围）问题求最值是解析几何的一类重要题型，它涉及到代数、三角、几何等方面的知识，综合性强，方法灵活，圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解

37、决。(1)若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。(2)若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用三角函数，二次函数，均值不等式）求最值。例10 已知抛物线y2=2px(p>0)，过M(a,0)且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p。（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）

38、首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即“最值问题，函数思想”。解：(1)直线l的方程为：y=x-a,将 y=x-a代入抛物线方程y2=2px得：设直线l与抛物线两交点的坐标分别为Ax1,y1,B(x2,y2)，则4a+p-4a2>0x1+x2=2a+px1x2=a2,又y1=x1-a,y2=x2-aAB=x1-x22+y1-y22=2(x1+x2)2-4x1x2=8pp+2a 0<AB2p,8pp+2a>0,0<8pp+2a2p,解得:-p2<a-p4 。(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为(x3,y3)，则由中点坐标公式得：

39、x3=x1+x22=a+p,y3=y1+y22=x1-a+(x2-a)2=p所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2,又MNQ为等腰直角三角形，所以QM=QN=2P，所以SNAB=12ABQN=22pAB22p2p=2p2,即NAB面积的最大值为2p2。3.3.8圆锥曲线几何性质的问题圆锥曲线都有特定的几何性质，我们可以通过曲线的方程来讨论曲线的几何性质，通过代数方法来了解曲线的几何性质，同时如果能很好的利用圆锥曲线的几何性质，那么对于求参数和离心率的取值范围有很大帮助。例11 设F1、F2为椭圆x29+y24=1 的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的

40、三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求|PF1|PF2| 的值。解析：分析椭圆的几何性质可知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可。解法1：由已知，|PF1|>|PF2|，PF1+PF2=6,F1F2=25，若PF1F2为直角，则|PF1|2=|PF2|2+F1F22 (2.1)可解得：PF1=143，PF2=43，这时PF1PF2=72若F2PF1为直角，则|PF1|2+|PF2|2=F1F22 (2.2)可解得：PF1=4，PF2=2，这时PF1PF2=2解法2：由椭圆的对称性，不妨设Px,y其中x>0,y>0, F1-5,0,F25

41、,0。若PF2F1为直角，则P(5,43),这时PF1=143，PF2=43，这时PF1PF2=72。若PF2F1为直角，则由x29+y24=1yx+5yx-5=-1 (2.3)解得：P(355，455)于是PF1=4，PF2=2，这时PF1PF2=2注意：由椭圆的方程，我们应熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功，同时应注意对圆锥曲线的对称性的应用。3.4解题技巧方面3.4.1充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们通过设出弦的端点坐标而不求它，并结合韦达定理来求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中经常用到。例12 已知中心在原点O

42、，焦点在y轴上的椭圆与直线 y=x+1相交于P、Q两点,且OPOQ ,PQ=102,求椭圆的方程。解：设椭圆方程为ax2+by2=1(a>b>0),直线y=x+1与椭圆相交于Px1,y1、Q(x2,y2)两点。由方程组y=x+1ax2+by2=1 消去y后得a+bx2+2bx+b-1=0x1+x2=-2ba+b,x1x2=b-1a+b 由kOPkOQ=-1,得y1y2=-x1x2 (1)又P、Q在直线y=x+1上，所以有y1=x1+1 y2=x2+1 y1y2=x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1 (2)把(1)代入（2），得2x1x2+x1+x2+1=0,即2(b-1)a+

43、b-2ba+b+1=0化简后，得：a+b=2 （3）由PQ=102,得：(x1-x2)2+(y1-y2)2=52(x1-x2)2=54,(x1+x2)2-4x1x2=54,(2ba+b)2-4b-1a+b=54 (4)把(3)代入（4），得4b2-8b+3=0,解得b=12或b=32 (5)把(5)代入(3)后,解得a=32或a=12由a>b>0,得a=32,b=12所求椭圆方程为3x22+y22=1注意：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。3.4.2用公式法和待定系数法求直线的方程类问题已知直线上的两点或一点和直线的倾斜角都可以确定一条直线，若给定直线的斜率为

44、k，且经过直线上任意一点P(x0,y0),则直线的点斜式方程为y-y0=k(x-x0),若给定直线上两点P1x1,y1,P2x2,y2,则直线的两点式方程为 y-y1y2-y1=x-x1x2-x1(x1x2,y1y2)，若给定直线的斜率为k,且与y轴交点为（0，b），则直线截距式方程为y=kx+b,对于给定了确定条件的问题，我们可以直接把已知带入公式求出方程，当然我们也可以用待定系数法求解,即将两点代入方程y=kx+b,一般直线要写成直线的一般式方程为Ax+By+C=0。例13 已知直线经过A(1,2)，B(3,4)两点，求直线方程？解法1：将A、B两点带入直线方程y-y1y2-y1=x-x1

45、x2-x1 ，得到直线上的两点式方程y-22=x-12 ，化简可得直线的一般式方程x-y+1=0。解法2：将A、B两点带入方程y=kx+b，组成方程组，解得直线方程为x-y+1=0。3.4.3用代数法解决直线间的距离、平行、垂直类问题直线间的距离、平行、垂直问题，通常我们要求出直线方程，利用直线方程求解几何关系。例14 经过点A(-1,2),B(1,2),经过点M(-2,-1)，N(2,-1)，求l1l2的位置关系？分析：两直线的斜率为k1、k2，若k1k2=-1,则两直线垂直,若k1=k2，则两直线平行，本题要先利用两点式求出两直线方程，然后通过两直线斜率的关系确定直线的位置关系，将几何问题

46、代数化，是解析几何的重要应用。解：由题意得，l1方程为y-2x-1=2-(-2)1-(-1),即y=2x+1,l2的方程为y-1x-2=-1-(-1)2-(-2),即y=-12x-1所以k1k2=-1,即两直线垂直。注意：几何的距离问题应用解析几何转化为代数求解，思路简单，计算方便。3.4.4直线交点及直线系问题对于直线交点的求法，一般是将两直线方程组成方程组，求出交点坐标，因为交点是同时满足两个直线方程的，而直线系是指过满足条件的一族直线，如平行直线系：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程式为：Ax+By+C1=0 (C1为参数且C1C)，垂直直线系：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系

47、方程式为: Bx-Ay+C2=0（C2为参数）。例15 求过点P(2,3)且与2x+y-5=0平行的直线方程解：设所求直线方程为2x+y+C=0,且过P点,所以直线方程为2x+y-7=0。注意：本题若用常规方法需要求出斜率，应用点斜式，求方程，较繁复，如果利用直线系则较为简单。3.4.5运用共交点的曲线系方程解析几何中，有大量的过两曲线的交点的第三曲线的问题，这些问题如果运用共交点的曲线系方程，就可以得到简捷的解题方法，从而可以避免求曲线的交点，减少计算量。例16 求经过两圆C1:x2+y2+6x-4=0和C2:x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。解：设

48、经过两圆交点的曲线系方程为：x2+y2+6x-4+x2+y2+6y-28=0 即1+x2+1+y2+6x+6y-28+4=0 则所求圆的圆心为(-31+,-31+) 圆心在直线x-y-4=0上 -31+31+-4=0,=-7故所求圆的方程为-6x2-6y2+6x-42y+192=0即x2+y2-x+7y-32=0注意：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。3.4.6进行某些适当的代换如果我们能充分挖掘题设条件的特点，得出和欲求量相关的代数式，进行代换，往往可达到不求交点而直接求出结果的目的。例17 证明：椭圆x225+y29=1和双曲线x2-15y2=15在交点处的切线互相垂直

49、。证明;设椭圆和双曲线的交点为(x0,y0),则过此交点的两条曲线的切线方程分别为: l1:9x0x+25y0y=225, l2:x0x-15y0y=15所以椭圆和双曲线在点(x0,y0)处的切线的斜率k1、k2分别等 k1=-9x025y0,k2=-x015y0 k1k2=-925×15x02y02 (1)交点(x0,y0)同时在两条曲线上，9x02+25y02=225 x02-15y02=15 消去这两个方程中的常数项，得x02y02=1253 (2)把(2)代入(1),得k1k2=-925×151253=-1 l1l2,即两条曲线交点处的两条切线互相垂直。4向量在解析

50、几何问题中的应用向量是沟通代数、几何的一种工具，将代数运算引进到了几何中，我们首先在空间引入向量及其线性运算用有向线段作为向量的几何表示，并通过向量来建立坐标系9，在空间坐标系中，我们给出向量和点的坐标表示，而且向量运算可以归结为数字的运算，这样，使得几何中的平行、夹角、垂直、全等、相似、共线、轨迹等问题坐标化符号化、数量化，也就是通过向量和方程来研究几何图形的性质，这种方法叫做向量法，10向量与解析几何相互联系，紧密结合。例18 已知动圆过定点P(1,0)，且与定直线l:x=-1 相切，点C在l上。（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；（2）设过点P,且斜率为-3的直线与曲线M相交于A，B两点。(

51、i)问ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标；若不能,说明理由；(ii)当ABC为钝角三角形时,求点C的纵坐标的取值范围。解：（1）依据题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线M的方程为y2=4x。（2）(i)由题意得,直线AB的方程为y=-3(x-1)，由y=-3(x-1)y2=4x 消去y得3x2-10x+3=0,解得：x1=13x2=3所以A为 (13,233),B为 (3,-23)，设C(-1,y),则AB=(83,-833),AC=(-43,y-233),CB=(4,-y-23)，假设存在点C(-1,y),使ABC为正三角形，则由AB=|BC|且AB与CB的夹角为

52、60°，得： (83)2×4=42+(-y-23)212=83×4+833(y+23)163×163 此方程组无解，故不存在点C使ABC为正三角形。(ii)解法1：若ABC为钝角，则ABCB<0,易求得y<-1033；图6若BAC为钝角，则ABAC<0,即83×-43-833y-233<0,易求得y>239；若ACB为钝角，则ACCB>0,有y2+433y+43<0无解，又当y=23时，A、B、C三点共线，故当ABC是钝角三角形时，点C的纵坐标的取值范围是y<-1033或y>239且y23。

53、解法2： AB=x1+x2+2=163 设C(-1,y)使ABC成钝角三角形，由y=-3x-1x=-1解得y=23即当点C的坐标为(-1,23)时，A，B，C三点共线，故y23又|AC|2=(-1-13)2+(y-233)2=289-43y3+y2，|BC|2=(3+1)2+(y+23)2=28+43y+y2，|AB|2=(163)2=2569当|BC|2>|AC|2+|AB|2，即28+43y+y2>289-43y3+y2+2569，即y>293时CAB为钝角。 当|AC|2>|BC|2+|AB|2，即289-43y3+y2>28+43y+y2+2569，即y&

54、lt;-1033时CBA为钝角。又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即2569>289-43y3+y2+28+43y+y2，即y2+433y+43<0,(y+23)2<0。该不等式无解，所以ACB不可能为钝角。因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y<-1033或y>239且y235 解析几何思想在立体几何问题中的应用立体几何是抽象的，需要很强的空间想象能力，主要包括位置关系类问题如：线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；度量问题：包括点到线、点到面的距离，线与线、线与面所成角，面面所成角等，通过坐标系将向量坐标化，我们将解析几何中的坐

55、标法应用于立体几何，可以将这些抽象的几何问题转化为具体的代数运算，解决立体几何中的垂直、平行、角的大小、距离等问题。用坐标法解决立体几何问题，首先需要建立空间直角坐标系，建立坐标系时，要注意当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系，应遵循让尽量多的几何点在坐标轴上，以便于写出点的坐标，然后用坐标表示向量，很多涉及到平面的问题还需要求平面的法向量，最后利用向量运算解决几何问题。例19 如图，四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,平面PAB平面ABCD,PA=PB,M为PC上的点,MB平面PAC。（1）平面ABC与平面PAC夹角的正弦值； （2）求点D到平面PAC的距离。图7 分析：本题首先应建立平面直角坐标系，图形中没有明显交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系，写出点的坐标，将向量用坐标表示，求出两平面的法向量，然后利用向量运算求出夹角正弦值和距离。解：平面PAB平面ABCD,作POAB,则PO平面ABCD，以O为坐标原点建立如图6所示的空间坐标系：设PO=t,PM=PC,则P0,0,t,A0,-1,0,B0,1,0,