点、线和平面的投影详解

1、【组织教学】清点人数，填写教学日志【复习导入】1、平面图形的尺寸及形状分析的步骤。2、平面图形的画图方法及作图步骤。【讲授新课】§2. 1投影法的基本知识一、投影法物体在日光或灯光线的照射下，就会在墙 面或地面上出现影子，这种现象就称为投影。 人们将这一现象加以科学的抽象和总结而形 成了投影法。投影线通过物体，向选定的面投 射，并在该面上得到图形的方法,称为投影法。 投影所在的平面称为投影面。如左图所示。常用的投影法分中心投影法和平行投影法:1、中心投影法假设投射线从一点出发，将空间形体投射到投影面上的方法称为中 心投影法。如下图所示，光源S称为投射中心，光源S出发的一系列光 线称为

2、投射线。2、平行投影法用相互平行的投射线对物体进行投影的方法称为平行投影法。平行 投影法乂分为正投影法和斜投影法。正投影法是指投射线垂直于投影面 的平行投影法；斜投影法是指投射线倾斜于投影面的平行投影法；如上 图所示。机械图样中的图绝大多数都是用正投影法绘制的。二、正投影的基本特性1、类似性（又称为收缩性）当直线、曲线或平面倾斜于投影面时，直线或曲线的投影仍为直线 或曲线，但小于实长，平面的投影仍为平面，与真实图形类似，但小于 真实图形的大小。2、真实性当直线、曲线或平面平行于投影面时，其投影反映原线段的实长或 平面图形的真实形状。3、积聚性当直线、平面或曲面垂直于投影面时，直线的投影积聚成点

3、，平面 的投影积聚成直线，曲面的投影积聚成曲线。§2. 2三视图一、三视图的形成1、三面投影体系的建立根据物体的一个投影图是不能全面地表达出其空间形状和大小的。因此我们建立一个由三个互相垂直的平面组成的投影体系来表达 物体的形状，这个投影体系称三面投影体系，如下图所示，其中水平放 置的平面称为水平投影面用H表示，简称为H面；正对着观察者的 平面称为正立投影面用V示，简称为V面；在观察者右侧的平面称 为侧立投影面用W表示，简称为W面。三个投影面的交线OX、OY、 OZ称为投影轴，其交点O称为原点，它们一起构成空间坐标系。72、三视图的形成和名称将被投影的物体正置于三面投影体系中，其位置

4、如上图所示。用三 组分别垂直于三个投影面的投射线，对物体进行投影得到三个投影图， 这个三面投影图称为三视图。由前向后投影，在1/面上得到的投影图，称正立面投影图，简称V面投影，又叫主视图；由上向下投影，在H面上得到的投影图，称为 水平投影图，简称H面投影，又叫俯视图；由左向右投影，在"面 上得到的投影圏”称侧立面投影图”简称W面投影，又叫左视图。根据物体的三面投影图，就可以确定物体的空间位置和形状。为了 能在一张图纸上同时反映出这三个投影图，还需要将三个投影面展开。 如下图(a)所示。这样便在同一平面上得到了三面投影图。投影面的大小与投影图无关，画图时投影面的边框一般都不画，投 影轴

5、在工程图样中也可省去。如下图(c)所示，这样所得的三个投影图， 称三视图。(a)1日1y.Yz二日i WfflA WWEEZn(C)3. 三视图的投影关系根据三视图的相对位置及其展开的方法，三视图的位置关系是：以 主视图为准，俯视图放置在主视图的正下方，左视图放置在主视图的正 右方。如下图Q)所示。物体靠近观察者的一面称前面，反之为后面。同理还可以定岀物体其余的左、右、上、下四个面，如下图(b)所示。左左(a)（b）三视图的方位与投影规律(c)形体左右之间（平行于OX轴）的距离称为长度：上下之间（平行于 OZ轴）的距离称为高度；前后之间（平行"轴）的距离称为宽度，如上图 （c）所示，

6、因此俯视图反映形体的长度和宽度，同时也反映形体的前后、 左右位置；主视图反映形体的长度和高度，同时也反映形体的左右、上 下位置；左视图反映形体的宽度和高度，同时也反映形体的前后、上下 位置。如上图（C）所示,三视图的投影规律：物体在主、俯视图上投影（包括任一点）的左右位置完全对正，称为一长对正；物体在主、左视图上投影（包括任一点）的上下位置完全平齐，称为一高平齐；物体在俯、左视图上投影（包括任一点）的前后位置完全相同，称 为一空相等。注意:在画图和读图时，对物体的总体或局部，乃至物体上任何点、 线、面之间都应遵循上述投影规律。【课堂小结】1、正投影的基本性质。2、三视图的形成及投影规律。【布置

7、作业】1、习题集：P21、预习下一章节。【组织教学】清点人数，填写教学日志【复习导入】1、正投影的基本性质有哪些？2、三视图的投影规律及六向方位关系是什么？【讲授新课】§3. 1点的投影一、点的三面投影图及投影规律如下图(a)所示，为了便于区分，通常采用：空间点用大写拉丁字母 表示，如A, B;H面投影用相应的小写字母表示，如“、b;V面 投影用相应的小写字母加一撇表示，如"，戻 ；W面投影用相应的 小写字母加两撇表示，如a ”，b ”。由下图可以得出点的投影规律：1) 点的哂投影和H面投影的连线垂直于龙轴，即aR丄ox;2 )点的UTS投影和W面投影的连线垂直于OZ轴，即

8、訂八丄02；3 )点的”面投影到 期轴的距离等于点的“面投影到OZ轴的距离，可以用45。线(或者用园弧)反映该关系，即aax=a "卑 下图(b)中的斜线和下图(c)中的圆弧线是为保证宽相等而做的辅助线。例31如下图（a）所示，已知点A的投影a； “ 求H面投影心作图步骤：1）、如下图（b）所示，过a'作s' aOX,并延长。2）、如下图（c）所示，过/作宽相等，交点。即为A点的H面投影。(a)>H(C)二、点的直角坐标与三面投影的关系如果把三面投影体系看作空间直角坐标体系，则H、V、W面为坐标 面，OX, OY, OZ为坐标轴，点O为坐标原点。由下图可知，点A

9、的 直角坐标川、）怙、N即为点A到三个投影面的距离，它们与点A的投影 宀"，"的关系如下：Xa0 a?点 A 到 W 面的距离:A au= axo = a9 az = aay = xa 点 A 到 H 面的距离：Au' = cm = a "az = aax = ya 点 A 到 H面的距离:Aa = ao = ar ay = a' ax= Za 由此可知：日由&的X. y两坐标决定；#由旳的* N两坐标决定；扩由A的 N两坐标决定。在特殊情况下，点也可以处于投影面上或投影轴上。如果点的一个 坐标为零，则点在相应的投影面上，如下图所示。如果点

10、的两个坐标为零，则点在投影轴上，如果点的三个坐标为零， 则点与原点重合。如下图所示，点K在X轴上，其投影h /与点K重 合，与原点O重合。例32已知点A的坐标(11, 16, 10),求点A的三面投影。作图步骤：见下图。0Z三、两点的相对位置(a)(b)(c)判断两点间的相对位置，可以通过比较它们的坐标或到投影面的距 离来确定。如下图所示，（a）为投影图，（b）为A、3两在空间的位置，我 们把A、B两点作为长方体的对角线，则A为长方体前面、左面、底面 的交点，B为长方体后面、右面、上面的交点，故A点在3点之前、之 左、之下。（a）（b）故判别两点相对位置的方法是：左右位置判定：空间两点中的&q

11、uot;坐标越大，点的空间位置越靠左。前后位置判定：空间两点中的y坐标趣大”点的空间位置越靠前。上下位置判定：空间两点中的n坐标越大”点的空间位置越靠上。四、重影点及其投影的可见性当空间两点位于某一投影面的同一条投射线上（即其有两对坐标值 分别相等），则此两点在该投影面上的投影重合为一点，此空间两点称为 对该投影面的重影点。如下图所示，A、B两点是V面的重影点。因yAVB自前向后观 察时，点A在前，点B在后，故投影/可见夕为不可见。C、D两点是 对H面的重影点，它们的H面投影c、重合。因3巾，点C在上， 点D在下，自上向下观察时，c可见而d不可见。重影点的投影在投影圏上为对重合投影表明可见性，

12、对不可见点的投影另加括弧表示，如上图中的曲牙口综上所述：当空间两点有两对坐标值分别相等时，则该两点必有重 合投影，其可见性山重影点的一对不等的坐标值来确定，坐标值大者为 可见，小者为不可见。【课堂小结】1、点的投影规律及两点相对位置的判断方法。2、重影点的的概念及可见性的判断方法。【布置作业】1、习题集：P2、预习下一章节。【组织教学】清点人数，填写教学日志【复习导入】1、点的形成及投影规律是什么？2、两点相对位置的判断方法及重影点可见性的判断方法各是什 么？【讲授新课】§ 3. 2直线的投影直线的投影图直线的投影仍是直线。由于两点决定一条直线，因此，求直线的投 影，就是分别求出两端

13、点的投影，如下图(a)所示。首先分别求岀A、B 两点的投影，如下图(b)所示；然后把同一投影面上两点的投影用直线连K直线上点的投影直线与点的位置关系有两种：点在直线上和点不在直线上。点在直线上,则点的各个投影必定在直线的同面投影上;反之,点的 各个投影均在直线的同面投影上Z则点一定在直线上。2、点分线段成定比点分空间线段成一比例z则点的投影分割线段的各个同面投影长度 之比等于其空间线段长度之比。例33如下图(a)所示，已知侧平线A3的两面投影和直线上点S 的正面投影G,求水平投影s。方法一：分析：因佔是侧平线，故不能山s直接求出$,需先求出$”，再由 宽相等求列。作图步骤：如下图(b)所示(a

14、)(c)方法二：分析：因为S点在直线上，因此必定符合点分线段成定比的规 律，即 as:sb = a's':s'b作图步骤：如下图（c）所示（1）过a作任意辅助线，在辅助线上量取aso=a's', Sobo=s'b'（2） 连接bob,并由So点作SoSbob,交"b于s点，s B|J为所求。三、直线与投影面的相对位置及直线的投影特性根据直线与投影面相对位置的不同，直线分为三类：投影面垂直线、 投影面平行线、一般位置直线.投影面的垂直线和平行线统称为特殊位 置直线。直线与投影面的夹角称为该直线对投影面的倾角，直线与投影 面H、V、

15、W的夹角分别用a、B、孑表示。1、投影面平行线水平线：円面ZV面ZW面正平线：面ZH面ZW面 侧平线：¥面ZV面ZH面投影特性：空间线段在它们所平行的投影面上的投影反映线段的真 长，并反映该线段所在直线对另外两个投影面的倾角；线段的另外两个 投影平行于相应的投影轴，且投影长度缩短。判断方法：若三个投影中，有两个投影平行于相应的投影轴，另一 个投影成倾斜位置，则它一定是投影面的平行线。简称：一斜两平线2、投影面垂直线铅垂线：丄H面面¥面分类 J正垂线：丄V面日面¥面侧垂线：丄W面V面日面投影特性：在其饬垂直的投影面上的投影积聚成一点，另外两个投 影反映其真长，并垂直

16、于相应的投影轴。判断方法：若三个投影中，有一个投影积聚为一点，则它一定是该 投影面的垂直线。简称：一点两平线。1、影面倾斜线（一般位置直线）ZH面 ZV面 ZW面 投影特性：1）直线的三个投影都与投影轴倾斜。2）三个投影都小于真长。4）三个投影都不反映直线与投影面的倾角。 判断方法：三个投影都为斜线例1：作出下列各直线的第三面投影，并判别各是什么位置线，在指 定位置填写其名称。例2：已知B点距H面25 mm,求作直线AB的三面投影。例3：已知直线CD的端点C的投影，D点在C点左方20 mm,下方25 mm,前方10 mm,求CD的投影。四、两直线的相对位置空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉

17、三种情况。前两种属于 共面两直线，后一种为异面两直线。1、两直线平行根据投影的基本特性可知：空间两直线平行，其三面投影必定互相平行，因此平行两直线在投 影图上的各组同面投影必定互相平行，反之，如果两直线在三面投影图 上的投影都互相平行，则空间两直线也必定互相平行。1 ）如果两直线均为一般位置直线，其两组同面投影平行，则可判定该两聲平行；2）如果两直线是同一投影面的平行线，只有当它们在三个投影面 上的投影都平行时”才可以判定其空间直线平行。2、两直线相交根据投影的基本特性可知：空间两直线相交，其三面投影必相交，且各投影的交点必符合点的 投影规律；反之，两直线在三面投影图上的投影都相交，且投影的交

18、点 符合点的投影规律，则两直线在空间必定相交。在投影图上判断两直线是否相交的方法是：如果两直线其同面投影相交”且交点符合点的投影规律，则可判定两直线相交。3、两直线交叉交叉两直线是指既不平行又不相交的两直线，又称为两异面直线。 交义两直线的同面投影可能平行，但不可能所有同面投影都平行。 它的同面投影也可能相交，但交点的投影不满足点的投影规律，如下图 所示，两交义直线同面投影的交点是空间两重影点的投影。判断方法：当某两条空间直线的投影既不符合平行两直线的投影特性”又不符合相交两直线的投影特性时”就可判断其为交叉两直线。【课堂小结】直线对投影面的位置及特点。根据直线对投影面的相对位置不同， 直线分

19、为三种位置：投影面平行线；投影面垂直线；投影面倾斜线。投影面平行线有两个投影为直线，并与投影轴平行。另一个投影与 投影轴倾斜，并反映该线段的真长及对另外两个投影面的倾角。投影面垂直线有一个投影积聚为点，另外两个投影垂直于投影轴， 并反映该线段的真长。一般位置直线的三个投影都有与投影轴倾斜，投影不反映真长，也 不反映直线对投影面的倾角。【布置作业】1、习题集：P21、预习下一章节。【组织教学】清点人数，填写教学日志【复习导入】1、直线的在三面投影体系中的投影特性及判断方法是什么？2、一般位置直线的投影特性及判断方法，并提出一般位置直线的 投影.从而引出新课【讲授新课】§ 3. 3 平面

20、的投影一、平面的投影由初等儿何学可知，不在同一直线上的三个点，决定一个平面。平 面图形可以是三角形、四边形、圆、椭圆等。求平面多边形的投影，实 际上就是求各平面多边形顶点的投影，然后按顺序连成平面多边形。如 下图所示。(a)(b)二、平面对投影面的相对位置及其投影特性根据平面相对于投影面的位置不同，平面分为投影面垂直面、投影 面平行面和一般位置平面三种。其中询两种乂称为特殊位置平面。空间平面与三个投影面H、V、W面所形成的夹角，称为该平面对 三投影面的二面角，分别用。、0、/表示。1、投影面垂直面1）定义及分类：垂直于一个投影面而与另外两个投影面都倾斜的平面称为投影面垂直面。正垂面：丄VZHZ

21、WJ侧垂面：丄wZVZW铅垂面：丄HZVZW2）投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与 投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。3）判断方法：如果空间平面的三个投影中有一个投影积聚为直线, 另外两个投影为面，则该直线一定为投影面的垂直线。且垂直于积聚为 线的那个投影面。简称：二面一斜线。例1：已知正垂面ABCD的水平投影和正面投影，试作出其侧面投影。 分析：根据正垂面的投影特性，四边形ABCD的侧面投影应为水平投影的类似形。作图步骤：略例2：已知带梯形缺口的长方形的两面投影，求作其第三面投影。 分析：由图可知，该平面侧面积聚为倾斜的直线

22、，故为侧垂面，所以水平投影应为正面投影图形的类似形。作图步骤：略V V/V0Y<、2.投影面的平行面1）定义及分类：平行于一个投影面，同时垂直于另两个投影面的 平面称为投影面平行面。其中，平行于H面的称为水平面；平行于V面 的称为正平面；平行于W面的称为侧平面。（正平面：V丄H丄WY侧平面：W IV丄W、水平面：H IV 丄W2）投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。3）判断方法：如果空间平面的三个投影中有两个投影积聚为平行于投影轴的线段另一个投影为面，则可以肯定该平面一定期是投影 面的平行面，且平行于投影为面的投影面。简称：一面二平线。例3：已知水平投影线AC的正面投影aC与水平投影as试以AC 为对角线作正方形ABCD平行于水平投影 面，求作其三面投影图。分析：1） AC为水平线，水平投影反 映实长。2）正方