高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解

1、高考总复习高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解一、选择题1(2010·山东东营质检)在下列各函数中，最小值等于2的函数是()AyxBycosxCyDyex2答案D解析x<0时，yx2，故A错；0<x<，0<cosx<1，ycosx2中等号不成立，故B错；，y2中等号也取不到，故C错，选D.2(文)(2010·山东潍坊质检)已知x>0，y>0，且1，若x2y>m22m恒成立，则实数m的取值范围是()Am4或m2 Bm2或m4C2<m<4 D4<m<2答案D解析x>0，y>0

2、，且1，x2y(x2y)()4428，当且仅当，即x2y时取等号，又1，x4，y2，(x2y)min8，要使x2y>m22m恒成立，只需(x2y)min>m22m，即8>m22m，解得4<m<2.(理)(2010·东北师大附中)已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A.B.C.D不存在答案A解析由已知an>0，a7a62a5，设an的公比为q，则a6qa6，q2q20，q>0，q2，4a1，a12·qmn216a12，mn24，mn6，(mn)，等号在，即n2m4时成立3(2010

3、·茂名市模考)“a”是“对任意的正数x，均有x1”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件答案A解析a，x>0时，x21，等号在x时成立，又a4时，xx24也满足x1，故选A.4(2010·广西柳州市模考)设a，bR，则“ab1”是“4ab1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件答案A解析a，b中有一个不是正数时，若ab1，显然有4ab1成立，a，b都是正数时，由1ab2得4ab1成立，故ab14ab1，但当4ab1成立时，未必有ab1，如a5，b1满足4ab1，但511，故选A.5若a>0

4、，b>0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值为()A2 B3 C4 D5答案D解析为a、b的等差中项，ab×21.ab111，ab.原式14.的最小值为5.故选D.6(文)若直线2axby20(a>0，b>0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值是()A1 B2 C3 D4答案D解析圆(x1)2(y2)24，弦长为4，故为直径，即直线过圆心(1,2)，ab1.(ab)24.当且仅当ab时取等号(理)半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则ABC、ACD、ADB面积之和SABCSACDSADB的最大值为()A8 B16

5、 C32 D64答案C解析根据题意可知，设ABa，ACb，ADc，则可知AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角故a2b2c264，而SABCSACDSADB(abacbc)32.等号在abc时成立7(文)已知c是椭圆1(a>b>0)的半焦距，则的取值范围是()A(1，) B(，)C(1，) D(1，答案D解析由题设条件知，a<bc，>1，a2b2c2，2，.故选D.(理)已知F1、F2分别为双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2C(1， D(1,3答案D解析

6、|PF2|4a4a4a8a，当且仅当|PF2|，即|PF2|2a时取等号这时|PF1|4a.由|PF1|PF2|F1F2|得6a2c，即e3，e(1,38(2010·南昌市模拟)已知a，bR，ab1，M2a2b，则M的整数部分是()A1 B2 C3 D4答案B解析a，bR，ab1，0<a<1，设t2a，则t(1,2)，M2a2b2a21at2，等号在t时成立，又t1或2时，M3，2M<3，故选B.9(2010·河南新乡调研)已知全集R，集合Ex|b<x<，Fx|<x<a，Mx|b<x，若a>b>0，则集合M等于()

7、AEF BEFCE(RF) D(RE)F答案C解析a>b>0，a>>>b，如图可见集合M在E中，不在F中，故MERF.10(文)(2010·衡水市模考)已知ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若(>0)，(>0)，则的最小值是()A9 B. C5 D.答案D解析()()，.与共线，且与不共线，2，()，等号在，时成立(理)(2010·广东省高考调研)如图在等腰直角ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的最大值为()A. B1 C2 D

8、3答案B解析以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，m，n，M、N，直线MN的方程为1，直线MN过点P(1,1)，1，mn2，mn2，mn1，当且仅当mn1时取等号，mn的最大值为1.二、填空题11(2010·山东聊城、山东邹平一中模考)已知b>0，直线b2xy10与ax(b24)y20互相垂直，则ab的最小值为_答案4解析两直线垂直，ab2(b24)0，a，b>0，abb4，等号在b，即b2时成立12(文)(2010·重庆文，12)已知t>0，则函数y的最小值为_答案2解析yt

9、4因为t>0，yt4242.等号在t，即t1时成立(理)(2010·安徽合肥六中质检)已知三个函数y2x，yx2，y的图象都过点A，且点A在直线1(m>0，n>0)上，则log2mlog2n的最小值为_答案4解析由题易得，点A的坐标为(2,4)，因为点A在直线1(m>0，n>0)上，所以12，mn16，所以log2mlog2nlog2(mn)4，故log2mlog2n的最小值为4.13(文)(2010·南充市)已知正数a，b，c满足：a2bc1则的最小值为_答案64解析4222464，等号在，同时成立时成立即acb1时等号成立(理)(2010&

10、#183;北京延庆县)已知x>0，y>0，lg2xlg8ylg2，则xy的最大值是_答案解析lg2xlg8ylg2，2x·8y2，即2x3y2，x3y1，xyx·(3y)·2，等号在x3y，即x，y时成立14(文)(2010·重庆一中)设M是ABC内一点，且·2，BAC30°，定义f(M)(m，n，p)，其中m，n，p分别是MBC，MCA，MAB的面积若f(M)，则的最小值是_答案18解析·|·|cos30°|AB|·|AC|2，|AB|·|AC|4，由f(M)的定义知，S

11、ABCxy，又SABC|AB|·|AC|·sin30°1，xy(x>0，y>0)2(xy)22(52)18，等号在，即y2x时成立，min18.(理)(2010·江苏无锡市调研)设圆x2y21的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为_答案2解析由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为1，则1，a2b2a2b22ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，ab2，则AB|AB|2.三、解答题15已知、都是锐角，且sinsincos()(1)当，求tan的值；(2)当tan取最

12、大值时，求tan()的值解析(1)由条件知，sinsin，整理得sincos0，为锐角，tan.(2)由已知得sinsincoscossin2sin，tansincossin2tan，tan.当且仅当2tan时，取“”号，tan时，tan取得最大值，此时，tan().16(文)(2010·江苏盐城调研)如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB30米，AD20米记三角形花园APQ的面积为S.(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值(2)要使S不小于1600平方

13、米，则DQ的长应在什么范围内？解析(1)设DQx米(x>0)，则AQx20，AP，则S×AP×AQ15(x40)1200，当且仅当x20时取等号(2)S1600，3x2200x12000，0<x或x60答：(1)当DQ的长度是20米时，S最小，且S的最小值为1200平方米；(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是0<DQ或DQ60.(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均

14、每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？解析(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q3)万元，每万件销售价为×150%×50%，年销售收入为(×150%×50%)·Q(32Q3)x，年利润W(32Q3)x(32Q3)x(32Q3x)(x0)(2)令x1t(t1)，则W50.t1，28，即W42，当且仅当，即t8时，W有最大值42，此时x7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元17(文

15、)(2010·广州市调研)已知点F(0,1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且··.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|l1，|DB|l2，求的最大值解析(1)设P(x，y)，则Q(x，1)，··，(0，y1)·(x,2)(x，y1)·(x，2)即2(y1)x22(y1)，即x24y，所以动点P的轨迹C的方程为x24y.(2)设圆M的圆心坐标为(a，b)，则a24b圆M的半径为|MD|.圆M的方程为(xa

16、)2(yb)2a2(b2)2.令y0，则(xa)2b2a2(b2)2，整理得，x22ax4b40将代入得x22axa240，解得xa±2，不妨设A(a2,0)，B(a2,0)，l1，l2.22当a0时，222.当且仅当a±2时，等号成立当a0时，由得，2.故当a±2时，的最大值为2.(理)已知椭圆C：1(a>b>0)以双曲线y21的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；若直线MA、MB与直线x4分别交于点P、Q，

17、求线段PQ长度的最小值分析由两曲线关系可求得椭圆方程中的系数a、b，即可写出椭圆方程，进而可求得点A，B坐标，设出M点坐标，可列出kMA·kMB的表达式，利用M在椭圆上可消元，通过计算验证结果为常数，再根据点A、M、P三点共线和M、B、Q三点共线就可以找到点P、Q的纵坐标之间的关系，即可求出线段PQ长度的最小值解析(1)易知双曲线y21的焦点为(2,0)，(2,0)，离心率为，故在椭圆C中a2，e，c，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)设M(x0，y0)，(x0±2)，由题易知A(2,0)，B(2,0)，则kMA，kMB，故kMA·kMB·，点M在椭圆C上，则y021，即y021(x024)，故