2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2节 一元二次不等式及其解法 教案

1、1第二节第二节一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法最新考纲1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、 一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图1一元二次不等式把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式 ，称为一元二次不等式，其一般形式为 ax2bxc0 或 ax2bxc0(a0)2一元二次不等式的解法步骤(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式 ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a0)(2)求出相应的一元二次方程的根(3)利用二次函数的图象

2、与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根 x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1rax2bxc0)的解集x|x1x0的 解 集 是，则不等式 x2bxa0 的解集是()ax|2x3bx|x2 或 x3c. x|13x12d.x|x12(2)解关于 x 的不等式x2ax10(ar)；ax2(a1)x10.(1)b不等式 ax2bx10 的解集是，5ax2bx10 的解是 x112和 x213，且 a0，1213ba，12 13 1a，解得a6，b5.则

3、不等式 x2bxa0 即为 x25x60，解得 x2 或 x3.(2)解a24.a当a240，即2a2 时，原不等式无解b当a240，即 a2 或 a2 时，方程 x2ax10 的两根为 x1a a242，x2a a242，则原不等式的解集为x|a a242xa a242.综上所述，当2a2 时，原不等式无解当 a2 或 a2 时，原不等式的解集为x|a a242xa a242.若 a0，原不等式等价于x10，解得 x1.若 a0，原不等式等价于x1a (x1)0，解得 x1a或 x1.若 a0，原不等式等价于x1a (x1)0.a当 a1 时，1a1，x1a (x1)0 无解；b当 a1 时

4、，1a1，解x1a (x1)0，得1ax1；6c当 0a1 时，1a1，解x1a (x1)0，得 1x1a.综上所述，当 a0 时，解集为 x|x1a或 x1；当 a0 时，解集为x|x1；当 0a1 时，解集为 x|1x1a；当 a1 时，解集为；当 a1 时，解集为 x|1ax1.当判别式能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集1.若不等式 ax2bx20 的解集为x|x12或 x13， 则aba的值为()a.56b.16c16d56a由题意知方程 ax2bx20 的两根为12和13，ba121316，则aba1ba11656.2解关于 x 的不等式

5、12x2axa2(ar)解原不等式可化为 12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得 x1a4，x2a3.当 a0 时，不等式的解集为，a4 a3，；当 a0 时，不等式的 解 集 为 ( ， 0)(0 ， ) ； 当 a 0 时 ， 不 等 式 的 解 集 为，a3 a4，.考点 3一元二次不等式恒成立问题(多维探究)7一元二次不等式恒成立问题的解法1函数法设 f(x)ax2bxc(a0)(1)f(x)0 在 xr 上恒成立a0 且0；(2)f(x)0 在 xr 上恒成立a0 且0；(3) 当 a 0 时 ， f(x) 0 在 x ， 上 恒 成 立 b2a

6、，f0或b2a，0或b2a，f0；f(x)0 在 x，上恒成立f0，f0；(4)当 a0 时，f(x)0 在 x，上恒成立f0，f0；f(x)0 在 x，上恒成立b2a，f0或b2a，0或b2a，f0.2最值法对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.在 r 上的恒成立问题若不等式(a2)x22(a2)x40 对一切 xr 恒成立，则实数 a的取值范围是()a(，2b2,2c(2,2d(，2)c当 a20，即 a2 时，不等式为40，对一切 xr 恒成立当 a2 时，则a20，4a2

7、216a20，8即a20，a24，解得2a2.所以实数 a 的取值范围是(2,2解答本题易忽视二次项系数等于零的情况，导致错误答案教师备选例题已知函数 f(x) ax22ax1的定义域为 r.(1)求 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)的最小值为22，解关于 x 的不等式 x2xa2a0.解(1)因为函数 f(x) ax22ax1的定义域为 r，所以 ax22ax10恒成立，当 a0 时，10 恒成立当 a0 时，则有a0，2a24a0，解得 0a1，综上可知，a 的取值范围是0,1(2)因为 f(x) ax22ax1 ax121a，因为 a0，所以当 x1 时，f(x)min 1a，由题

8、意得， 1a22，所以 a12，所以不等式 x2xa2a0 可化为 x2x340.解得12x32，所以不等式的解集为12，32 .在给定区间上的恒成立问题(1)一题多解若对任意的 x1,2， 都有 x22xa0(a 为常数)，则 a 的取值范围是()a(，3b(，0c1，)d(，19(2)已知函数 f(x)x22ax1 对任意 x(0,2恒有 f(x)0 成立，则实数 a 的取值范围是()a.1，54b1,1c(，1d.，54(1)a(2)c(1)法一(函数法)：令 f(x)x22xa，则由题意，得f11221a0，f22222a0，解得 a3，故选 a.法二(最值法)：当 x1,2时，不等式

9、 x22xa0 恒成立等价于 ax22x 恒成立，则由题意，得 a(x22x)min(x1,2)而x22x(x1)21，则当 x1 时，(x22x)min3，所以 a3，故选 a.(2)f(x)x22ax1 对任意 x(0,2恒有 f(x)0 成立， 即 2ax1x在 x(0,2上恒成立因为 x1x2，当且仅当 x1 时取最小值 2，所以 2a2，即 a1.故选 c.本例 t(2)若用函数法求解有三种情况，较复杂1.若不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为()a(3,0)b3,0)c3,0d(3,0d当 k0 时，显然成立；当 k0 时，即一元二次不等式 2k

10、x2kx380 对一切实数 x 都成立则k0，k242k38 0，解得3k0.综上， 满足不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立的 k 的取值范围是(103,0故选 d.2若不等式 x2mx10 对于任意 xm，m1都成立，则实数 m 的取值范围是22，0由题意得，函数 f(x)x2mx1 在m，m1上的最大值小于0，又抛物线 f(x)x2mx1 开口向上，所以只需fmm2m210，fm1m12mm110，即2m210，2m23m0，解得22m0.考点 4一元二次不等式的应用求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，将

11、文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型；(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义；(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是 1005x13x元(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围；(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润解(1)根据题意，得 2005x13x 3 000，整理得 5x143x0，即 5x214x30，又 1x10，可解得 3x10.即要

12、使生产该产品2 小时获得的利润不低于 3 000元， x的取值范围是3,10(2)设利润为 y 元，则11y900 x1005x13x 910451x3x2910431x1626112，故当 x6 时，ymax457 500 元即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为 457 500 元解答本题第(2)问时，把 y 看作1x的二次函数是解题的关键汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速为 40 km/h 的弯道上， 甲、 乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速 x(km/h)之间分别有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2，问：甲、乙两车有无超速现象？解由题意知，对于甲车，有 0