2018届高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第五节合情推理与演绎推理学案文

1、第五节合情推理与演绎推理1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发 现中的作用.2 .了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推 理.3 .了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.主干曲说整合07_课前拍身橙固棍基知识点一合情推理i.归纳推理：(1) 定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的 _都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理.(2) 特点：是由 _ 到_，由_ 到_ 的推理.2 .类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有_的推理.

2、特点：类比推理是由到的推理答案1. (1)全部对象部分整体个别一般2. (1)这些特征特殊特殊对点快练1.判断正误(1) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()(2) 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(3) 一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是an=n(n N*).()答案：V(2)X(3)X-2 -2.(选修 1 1P32 练习第 1 题改编)已知数列an中，a1= 1,n2时，an=an1+ 2n- 1,-3 -依次计算a2,a3,a4后，猜想an的表达式是（）A.an= 3n 1B.an= 4n 32n1C

3、. an=nD. an= 3解析：ai= 1,a2= 4,a3= 9,a4= 16,猜想an=n.答案：C3.（选修1 1P32 练习第 3 题改编）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1 2，则它们的面积比为 1 4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1 2，则它们的体积比为_.解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 12,则它们的底面积之比为14,对应高之比为 12,所以体积比为 18.答案：18知识点二演绎推理1.模式：三段论（1）_大前提已知的;（2）_ 小前提一一所研究的;（3）_结论根据一般原理，对做出的判断.2 .特点：演绎推

4、理是由 _ 到_ 的推理.答案1 . （1） 一般原理（2）特殊情况（3）特殊情况2 .一般特殊对点快练4.“因为指数函数y=ax是增函数（大前提），而y= 3x是增函数（结论），上面推理的错误在于（2 丿A.大前提错误导致结论错B.小前提错误导致结论错C.推理形式错误导致结论错D.大前提和小前提错误导致结论错解析：当a1 时，y=ax为增函数；当 0a1 时，3x是指数函数（小前提），所以函数y=ax为减函数.故大前提错误.-4 -答案：A-5 -热点一归纳推理考向 i 与数、式有关的归纳推理【例 1】(2016 山东卷)观察下列等式:照此规律,2nn2(sin - )=2n+ 1-【解析】

5、 分析各等式的形式特点:4第 1 个等式右边为：3X1x2；4第 2 个等式右边为：3X2X3;4第 3 个等式右边为：3X444依次类推第n个等式的右边为nx(n+ 1)即n(n+1).【答案】 为耐 1)考向 2 与图形有关的归纳推理【例 2】 如图所示，用全等的小正方体木块叠放立体图形，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第 7 个叠放的立体图形中小正方体木块数应是()酬点命题冥破02(sinn2n93n94n245-)+(sin5)+(sin5)2=X2X3;3(sin2+ (sin2n2n+1)2+ (sin3n2n+1)2+ (sin2n)-2=4X1X2；n-2(sin )+(

6、sin一2+ (sin(sin 7)-2+ (sin-6 -7 -(2)(2017 湖南桃江检测)地震后需搭建简易帐篷，搭建如图的单顶帐篷需要17 根钢A. 25C. 91UzB. 66D. 120【解析】图中前三个立体图形中，用到的小正方体木块数依次为1,2+1X4,3+(1+2)X4,按照前三个立体图形所反映出来的规律，归纳推理可知，第7 个叠放的立体图形中用到的小正方体木块数应是7+ (1 + 2+ 3 + 6)X4= 91.【答案】 C【总结反思】(1) 归纳是依据特殊现象推断出一般现象的推理，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.(2) 归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于

7、观察、经验或试验的基础之上的.(3) 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用(1)(2017 广州模拟)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算 法一书中的“杨辉三角形”.12345 20132 014 20152 0164 0274 0294 0318 12 168 0568 06020 2816 116该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()C. 2 016X22 015D.2 016X22 014旨)-8 -管，这样的帐篷按图、图的方式串起来搭建，则串7 顶这样的帐篷

8、需要 _ 根钢管.-9 -解析： 当第一行为 2 个数时，最后一行仅一个数，为3 = 3X1 = 3X2;当第一行为 3 个数时，最后一行仅一个数，为8 = 4X2 = 4X21;2当第一行为 4 个数时，最后一行仅一个数，为20= 5X4= 5X2;当第一行为 5 个数时，最后一行仅一个数，为48 = 6X8=6X2.归纳推理得，当第一行为 2 016 个数时，最后一行仅一个数，为2 017X 22 014，故选 B.(2)由题意可知，图的单顶帐篷要 (17 + 0X11)根钢管，图的帐篷要 (17 + 1X11)根钢 管，图的帐篷要(17 + 2X11)根钢管，所以串 7 顶这样的帐篷需要

9、 17 + 6X11= 83(根) 钢管.答案：(1)B(2)83热点二类比推理【例 3】已知点A(x1,axj,B(x2,ax?)是函数y=ax的图象上任意不同的两点，依据图ax1亠ax2X1亠X2象可知，线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方，因此有: a成立运用类比思想方法可知，若点A(X1, sin X ,E(X2, sinX2)是函数y= sinx(x (0 ,n)图象上任意不同的两点，则类似地有 _成立.【解析】 由题意知，点A,B是函数y=ax的图象上任意不同的两点，该函数是一个变成立；而函数y= sinx(x (0 ,n)，其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A B两点之间

10、函【总结反思】类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：找出两类事物之间的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).图图图化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方,因此有ax1+ax2X1+X2数图象的下方，故可类比得到结论sinX1+ sinX22 sinX1+X22【答sinX1+ sinX22sinX1+X222-10 -平面几何中有如下结论：如图(1)，设0是等腰直角ABC底边BC的中点，AB=1,过点-11 -11Q, R则有时AR=2.类比此结论，将其拓展到空间，如图（2），设0是正三棱锥A BCD底面BCD的中心

11、，AB AC AD两两垂直，AB=1，过点0的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为111AQAP* AR又TV三棱锥R-AQP=V三棱锥CAQ+V三棱锥O-ARP+V三棱锥CAQF=AQP*d+厅S ARP d+云SAAQR d333=1(AQ- AP+ AR- AP+ AQ- ARd,AQ AP- AF=*AQAP+ AR- AP+ AQ- ARd,即A+AR11 1 1+AP=d，而V三棱锥ABDC=产BDC，A0=3X，41 1 1_ 耐AFAP=3. 1 1 1 答案：AQ+AF+AP=3热点三演绎推理an+1=n+-2Si(n N).证明:n(2) Si+1= 4an.n+

12、2an+1= nS，二(n+ 2)S=n(S+1S)，即nS+1= 2(n+1)sn,故n+=2-?,(小前提)是以 2 为公比，1 为首项的等比数列.（结论）（大前提是等比数列的定义，这里省略了）Sn+1S-1（2）由（1）可知刁 =4 n（n2）,O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为解析：设0到各个侧面的距离为d,而V1111三棱锥RAQF=-SAQPAR=二二AQ AP AR=；Q R P,则有-3x2-3=436111.V三棱锥CABD=：V三棱锥ABD=，即二31831-ABD d=-31 1d=押d= 3,【例 4】数列an的前n项和记为S,已知31= 1 ,（1）数列弓是等比数

13、列;【证明】(1)Tan+1=S+1S,-12 -n十 1n1Si-1n 1 + 2S+1= 4（n+1） n1 = 4 -n1 Si1= 4an（n2）.（小前提）又Ta2= 3S1= 3,S2=a1+a2= 1 + 3 = 4 = 4a1,（小前提）对于任意正整数n,都有S+1= 4an.（结论）【总结反思】演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略（1）有 6 名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或 5 号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名； 观众丙猜测：1,2,6 号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1 人猜对比赛结果，此人是（）A.甲 B .乙C.丙 D .丁（2）已知在ABC中，/A= 30，/B= 60，求证：ab.证明：/A= 30，/B= 60，./A/BaACD+VABD S BCDAE+DFBGCHVA-BCD=嬴=