2018年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率、随机变量及其分布第61讲离散型随机变量及其分

1、2018 年高考数学一轮复习 第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第 61 讲 离散型随机变量及其分布列实战演练理板块獨/者题集萃宾战演练1. (2016 全国卷I)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器 有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零 件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内

2、共需更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.(1) 求X的分布列；(2) 若要求P(Xwn) 0.5，确定n的最小值；(3) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n= 19 与n= 20 之中选其一，应选用哪个？解析：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11的概率分别为 0.2,0.4 , 0.2 , 0.2.从而RX=16)=0.2X0.2=0.04;F(X=17)=2X0.2X0.4=0.16;F(X=18)=2X0.2X0.2+0.4X0.4=0.24;F(X=19)=2X0.2X0.2+2X0.4X0.

3、2=0.24;F(X=20)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2;F(X=21)=2X0.2X0.2=0.08;F(X=22)=0.2X0.2=0.04.所以X的分布列为X161718192021220.040.160.240.240.20.080.04由(1)知F(X 18) = 0.44 ,F(X 19) = 0.68，故n的最小值为 19.2(3)记Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).3当n= 19 时，E(Y= 19X200X0.68+(19X200+500)X0.2+(19X200+2X500)X0.08+(19X200+3X500)X0.04=4 04

4、0.当n= 20 时，EY)=20X200X0.88+(20X200+500)X0.08+(20X200+2X500)X0.04=4 080.可知当n= 19 时所需费用的期望值小于n= 20 时所需费用的期望值，故应选n= 19.2. (2015 四川卷)某市A B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了 3 名男生、2 名女生，B中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训 后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队.(1)求A中学至少有 1 名学生入选代表队的概率;求X的分布列和数学期望.解析：(1)由题意，知参加集训

5、的男、女生各有6 名.199因此，A中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1-而=而.(2)根据题意，X的可能取值为 1,2,3.毗=1) = CO3= 5P(X= 2)=害=3 3,所以X的分布列为Y123P131555因此，X的数学期望为131巳X)=1XRX=1)+2XRX=2)+3XRX=3)=1X匚+ 2X；+3X匚=2.5553. (2015 陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：T分钟25303540频数/次20304010解析：(1)由统计结果可得T的频率分布为(2)某场比赛前，从代表队的 6

6、 名队员中随机抽取4 人参赛，设X表示参赛的男生人数,参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为do!1C6C1 23=100dd 1P( (X=3)3)= 7T=7T=5.4T/分钟25303540频率0.20.30.40.I以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.I从而 巳T) = 25X0.2 + 30X0.3 + 35X0.4 + 40X0.1 =32(分钟).(2)设Ti,T2分别表示往、返所需时间，T,T2的取值相互独立，且与T的分布列相同.设 事件A表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”，由于讲座时间为 50 分钟，所以事件

7、A对 应于“刘教授在路途中的时间不超过70 分钟”.F(A)=P(Ti+T270)=P(Ti=25,Ta45)+F(Ti=30,T2W40)+P(Ti=35,T235)+F(Ti=40,T2w30)=0.2Xi+0.3Xi+0.4X0.9+0.iX0.5=0.9i.4. (20i5 天津卷改编)为推动乒乓球运动的发展， 某乒乓球比赛允许不同协会的运动 员组队参加.现有来自甲协会的运动员3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛.(1) 设A为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”， 求事件A发生的概率；(2) 设X为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.，八亠C2C3+ C3C36解析：(I)由已知，有 RA) =C = 35.所以，事件A发生的概率为 35.随机变量X的所有可能取值为 i,2,3,4.曲_kRX=k) = -Cp(k= i,2,3,4) 所以，随机变量X的