(完整版)2017.04.27平面向量的数量积练习题(含答案)

1、、选择题21.已知|b|= 3, a 在 b 方向上的投影是 3，则 a b 为（）1A3答案:a, b 满足 |a+ b|= . 10, |a-b|= .6，则 a b =(D. 5所以 ab= 1.答案：Ab 满足|a| = 2, |b|= 1, a b= 1,则向量 a 与 a-b 的夹角为（）|a- b|= p ( a- b)2=、Ja2+ b2- 2a b = 3,设向量 a 与 a-b 的夹角为0,则n又00, n,所以0=6答案：AD . (a+ b) (a- b) = a2- b2解析：根据 a b = |a|b|cos0,又 cos0 - - - - - 1 - - - -A

2、O BC=(AD+DO)B C=ADBC+DOBC=ADB C=?(AB+AC) (ACAB)1 1=-(AC2 AB2) = 2 汕 52 32) = 8，选 D .8. (2015 福建卷)设 a= (1, 2), b = (1, 1), c= a+ kb.若 bc,则实数 k 的值等于()C.f解析：c= a+ k b = (1 + k, 2+ k),又 b 丄 c,3所以 1 心 + k) + 1 4 cos A = 8,所以 cos A = 2，所以/ A =；,13如图所示,umv ABC 中/C = 90。且 AC= BC= 4，点 M 满足 BMuuv3MA ,uuuvCMuu

3、vCB =f解析：CMfCB=-ff -f1-f f1-ff f1CA+4ABCB=；AB CB=；(CBCA) CB=；CB2=4.f-214.如图所A(1，1)，单位圆上半部分上的点uuv uuvB 满足 OA OB = 0,则向量uuvOB 的坐标为解析：设 B(x,y)，yo.x2+ y2= 1,x+ y= 0,x2 ,y= 2 ,所以 OB= 22,2215. 在ABC 中,uuvBC = a,uuvCA = b,uuvAB = c,且满足：|a|= 1, |b|= 2, |c|= .3 则 a b + b + ca 的值为所以ABC 是正三角形.答案：正三角形三、解答题17.已知向

4、量 a= (2, 0), b = (1 , 4).求|a+ b|的值；(2)若向量 k a+ b 与 a+ 2b 平行，求 k 的值；若向量 ka+ b 与 a + 2b 的夹角为锐角，求 k 的取值范围.解：因为 a= (2, 0), b= (1, 4),所以 a + b= (3, 4),则 |a+ b|= 5.(2) 因为 a = (2, 0), b= (1, 4),所以 ka+ b= (2k+ 1 , 4) , a+ 2b = (4 , 8);因为向量 ka + b 与 a+ 2b 平行，1所以 8(2k+ 1)= 16 ,贝 U k =2(3) 因为 a = (2 , 0) , b=

5、(1, 4),所以 ka+ b= (2k+ 1 , 4) , a+ 2b = (4 , 8);因为向量 ka + b 与 a+ 2b 的夹角为锐角，4 (2k+ 1)+ 320,所以1违，91解得 k - 2 或选.18. 如图所示,ABCD 是正方形，M 是 BC 的中点，将正方形折起使点A 与 M 重合，设折痕为 EF ,若正方形面积为 64 ,求厶 AEM 的面积.解：如图所示，建立直角坐标系，显然 EF 是 AM 的中垂线,设 AM 与 EF 交于点 N ,贝 U N 是 AM 的中点， 又正方形边长为 8 ,所以 M(8, 4) , N(4 , 2).设点 E(e , 0),则 AM

6、 = (8 , 4) , AN =ff(4 , 2) , AE= (e , 0) , EN = (4 - e , 2),f f f f由 AM 丄 EN 得 AM EN = 0 ,即(8, 4)(4-e, 2) = 0,解得 e= 5,即 |AE|= 5.所以SSEM=；|AE|BM|= 25 用=10.19.设向量 a, b 满足|a|=|b| = 1, |3a - b|=. 5.(1)求|a + 3b|的值；(2)求 3a - b 与 a + 3b 夹角的正弦值. 解：(1)由 |3a- b|=5，得(3a-b)2= 5,所以 9a2- 6a b + b2= 5.因为 a2= |a|2=

7、1, b2= |b2|= 1,所以 9-6ab+ 1= 5.5所以 a b=P.6所以(a + 3b)2= a2+ 6a b + 9b2=T T若四边形 ABCD 是平行四边形，且 AP BP= 6，求 AB 与 AD 夹角的余弦值.T T解：(1)因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AD DC = 0.TTT1T T2T2T由 CP= 2PD，得 DP =3DC , CP=3CD =-3DC.T TT T T T所以 AP BP = (AD + DP) (BC + CP)=51+66 +9XI = 15.所以 |a+ 3b|=15.设 3a- b 与 a+ 3b 的夹角为a因为(3a-b)3

8、X1+8X?-3X =20.63所以203(3a-b) - (a+3b)34 3COS9=|3a-b|a+3b|=5X15=9.因为所以sin0=/1-cos29=Aj 1-493丄33所以3a- b 与 a+ 3b 夹角的正弦值为 亡养.20.在四边形 ABCD 中，已知 AB = 9, BC= 6,CP =2PD.(1f f f ff ff1 1AP=AD+DP=AD+3DC=AD+3AB,-f -f -f -f 2 f f 2 fBP=BC+CP=BC+3CD=AD3AB,f f f1f f3f所以 AP BP = AD +3AB -AD 3AB；ABAD 沁=36 3ABAD 18 =

9、 18；AB AD.f f1f f又 AP BP = 6,所以 18 3AB AD = 6,所以 AB AD = 36.又 AB AD=|AB| |AD |cos0=9 X5 tos0=54cos0,3所以 54cos=36,即 cos0=Q.31. (3015 济宁模拟)已知向量 a= (cos0,si n0),00,n,向量 b= 3, 1). (1)若 a 丄 b,求0的值；(3 )若 |3ab|m 恒成立，求实数 m 的取值范围.解析(1)Ta 丄 b, 3cos0-sin0=0,得 tan0=3,又00, n ,二0=3.(3) / 3ab=(3cos0寸 3,3sin0+1), |

10、3abj (3cos 0- 3)3+(3s in0+1)313n=8+8qsin03 cos0)=8+8sin(03),n厂n3又00, n, 0-萨3 亍./An工 3-sin(03)3,1,- |3a b|3的最大值为 16. |3a b|的最大值为 4.所以 AB与 AD夹角的余弦值为33.AD+丘A；ADDC $丄 36右 18.由题意,fAD3AD又|2a b|4.22.(本题满分 12 分)(2015 厦门模拟)已知向量 a = (cos a, sina), b = (cosx, sinx), c = (sinx + 2sina,cosx+ 2cosa), 其中0axn.n(1)

11、若a=4,求函数 f(X)= b c 的最小值及相应的 x 的值；n(2) 若 a 与 b 的夹角为 3,且 a 丄 c,求 tan2a的值.解析/ b= (cosx, sinx), c = (sinx+2sina,cosx+ 2cosa),a=4. f(x)= b c=cosxsinx+2cosxsina+sinxcosx+2sinxcosa=2sin xcosx+2(s inx+cosx).令 t=sinx+cosx(4xn)则 t(1,寸 2),且 2sinxcosx= t2 1.- y= t2+ 2t 1 =(t+乎)2|, t ( 1，勺 2).32,ymin= 2，此时 sinx+ cosx= 2 .2.n12,sin(x+4)=2,n4xnn n5n2x+44.311所以函数 f(x)的最小值为一2,相应的 x 的值为12n.n/ a 与 b 的夹角为3,na bcos3=.=cosacosx+sinasin