求数列的通项公式方法总结

1、数 列 求 通 项 公 式 的 典 型 方 法数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前 n项和公式都可以看作项数n的函数, 是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究， 而数列的前n项和Sn可视为数列 Sn的通项求数列通项公式方法较多，归纳起来常用的方法主要有一下几种：归纳法、公式法、累 加法、累乘法、构造法、取倒数法、取对数法、不动点法等等1 归纳法【例1】已知数列3-,5-,7丄,9丄,试写出其一个通项公式：4816322 2 2 2练习1.已知数列2,4 3,5 4,小，试写出下列数列的一个通项公式：2n+ 1 n2 + 2n1357579人练习

2、2.数列1，-一8， 15，- 24，的一个通项公式是()n+1 2n 1n-1 2n+ 1/n+1 2n 1A. an = ( 1)n2+ nB . an ( 1)°2 qn + 3nC. an ( 1)°2 °n + 2nD. an=(-1)n-12. 公式法S1， n= 1，利用an= 'Gc或利用等差、等比通项公式$n Sn-1，nA2.【例2】已知下面各数列%的前n项和为Sn的公式，求a.的通项公式.(2)Sn = 3n 2.2(1)Sn= 2n - 3n；练习1.已知下面各数列an的前n项和S的公式，求数列an的通项公式.2(1) Sn n +

3、 n；(2) Sn ；n2 + ；n+ 1.【例3】已知数列an的前n项和Sn = 2an+ 1,求an通项公式.练习1.设数列an的前n项和为Sn，已知a= 1，an+1=门；2&(n= 1,2,3，).求证：数列 是等比数列.3. 累加法累加法主要解决形如an anf (n)形式的递推数列的求通项问题，该数列的f( n)具有典型的特点：可以求和.其解题步骤是：把原递推公式转化为and -a f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解.【例4】已知数列Q .满足印=2，兔1二a.，2n，求a.【例5】已知数列也*满足6 =丄，an 1 = an 21 ，求an.2 n2 + n练习1.已

4、知数列an满足an厂an2n 1,厲=1，求数列务的通项公式 练习2.已知数列 乩？中，a =2满足an1 =an 2n - n,求数列春的通项公式.练习3.已知数列 和中,a"满足兔“兔 1，求数列aj的通项公式.Jn +1 +4. 累乘法累加法主要解决形如anan f( n)形式的递推数列的求通项问题，该数列的f(n)具有典型的特点：可以求积.其解题步骤是：把原递推公式转化为葩=f(n),利用累乘法(逐差相an加乘)求解.【例6】已知数列乩满足ai =1 ,乳二丄，求an .ann + 2练习1 .已知数列'an 满足印=? , an an，求an。3 n +1练习 2.

5、已知 =3 , an 1 3n 一1 an (n _ 1)，求 an .3n +25. 构造等差、等比数列(构造法)构造法主要解决形如an 1 =q(n)an - p(n)( p = 0,q =1)类型的问题，其基本策略是对ani二qan p进行变形，使其可以变为一个新的等比或等差数列，求出新的等差或等比数列 的通项公式，进而求出：n ?的通项公式.类型 1： an 1 =qan p，(p = 0,q =1)基本策略：若数列满足anqan p (q, p为常数)，则可考虑待定系数法设an 1 -X二q an -x (其中x为待定系数，满足qx p，构造新的辅助数列a. -x是首项为-x 公比为

6、q的等比数列，求出an-x再进一步求通项an【例7】已知数列、an 中，C =1， an2an 3，求an.练习1 .已知数列&满足a1 = 1，an 2an 1，求an的通项公式.练习2.已知数列an的前n项和Sn满足Sn an = 2n T(n N ”)，求an的通项公式.类型 2： an 1 二qan f(n)(q =1)【例8】已知数列an满足an3an 2 3n 1, a3，求数列6的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式an*=3an+2Tn+1转化为 攀2+三，进而求3333出亠(an 4 _ an -2 )亠(an -2 (尹一尹(产a232号，即得数列.3的通项公式，最后再求数列an的通项公式.练习1.数列an满足印=2，且az =2a 2n1(n Z )，求数列 佝的通项公式.练习2.已知数列an满足an2an 3 5n, a 6，求数列的通项公式。6取倒数法【例9】已知数列an满足ai = 2, a” 1 = a/；，则数列1是否为等差数列？说明理由. 练习1. an哑