导数的概念及几何意义_基础

1、导数的概念及几何意义【要点梳理】要点一：导数的概念1 导数的概念设函数 y=f (x) ，当自变量 x从 x0变 x1时，函数值从 f x0 变到 f x1 ，函数值关于 x的平均变化率为y f x1 f x0 f x0 x f x0 ，=，xx1 x0x当 x1趋于 x0，即 x趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f (x)在 x0点的导数，通常用符号 f ' x0 表示，记作f x0 lim yx 0 xlimx0要点诠释：(1) 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间 变化率(2) 对于不同的实

2、际问题，平均变化率富于不同的实际意义如位移运动中，位移S从时间 t1到 t2的平均变化率即为 t1 到 t2 这段时间的平均速度(3) 增量 x可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0 x 0的意义： x与 0之间距离要多近有多近，即| x 0|可以小于给定的任意小的正数( 4) x 0时 ，y 在变 化中都 趋 于 0， 但它 们 的比值 却趋于 一个确 定的常数 即存 在一个 常数与 y f (x0 x) f(x0) 无限接近xx(5)函数 y=f (x)在 x0点的导数还可以用符号 y'|x x0 表示 要点二：导数的几何意义f ' x0 表示曲线 y=f (x)在 x

3、x0处的切线的斜率，即f ' x0 = tan ( 为切线的倾斜角)已知点 P(x0,y0)是曲线 y=f ( x)上一定点，点 Q(x0 x, y0y)是曲线 y=f (x)上的动点，我们知道平均变化率 y表示割线 PQ 的斜率如图所示： x当点 Q 无限接近于点P，PT 叫做曲线在点 P 处的切线也就是：当x 0 时，割线 PQ 斜率的极限，就是切线的斜率即：k lim yx 0 xlim f (x0x0x) f ( x) xf (x0) 要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：曲线在点 P处的切

4、线：点 P 在曲线上，在点 P处作曲线的切线（ P是切点），此时数量唯一如图 1曲线经过点 P 处的切线：点 P 位置不确定（在曲线上或曲线外） ，过点 P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点 P即可），数量不唯一如图 2，无论点 P 在曲线上还是曲线外， 过点 P都可以作两条直线 l1 、 l2与曲线相切(3) 直线与曲线相切 直线和曲线有 1 个公共点；有别于直线和圆，如图，直线 l2与曲线 C有唯一公共点 M ，但我们不能说直线 l 2与曲线 C 相切；而直线 l 1尽 管与曲线 C 相切，却有不止一个公共点这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说 “与曲线只有一个公共点的直线叫

5、做切线 ”的原因在物理学中，如图物体运动的规律是 s=s t ，那么该物体在时刻 t0的瞬时速度 v就是 s=s t 在t=t0 时的导数，即v= s' t0 ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是 v v t ，那么物体在时刻 t0的瞬时加速度 a就是 v v t 在t =t0时的导数，即 a v' t0 要点诠释： f '(x0) 表示函数 f (x)在 x0处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的比如，瞬时 角速度是角度 t 对时间 t 的变化率；瞬时电流是电量 Q t 对时间 t 的变化率；瞬时功率是功 W t 对时间 t 的变化 率；瞬时电动势是

6、磁通量 t 对时间 t 的变化率最常用的是瞬时速度与瞬时加速度【典型例题】 类型一：导数定义的应用例 1 用导数的定义，求函数 y f ( x)1 在 x=1 处的导数思路点拨】三步法求函数在某点处的导数值解析】先求增量： y f (1 x) f (1)1xlim f (x0x) f (x0)x011x11x1x(1x1x) 1(1 1x) 1x再求平均变化率：y1x(1 1x) 1x求极限，得导数：f '(1)lim y1x 0 x2【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法（1）求函数的增量：yf (x0x) f (x0)；（2）求平均变化率：yf (x0x) f(x

7、0)；xx；x求极限，得导数：3），具体步骤如下：f '(x0) lixm0 yx举一反三：变 式 1】 已 知 函 数x的图象上的点 A( 1, 2) 及 临 近 一 点 B( 1x, 2 y) ， 则f'1=解析】( 1 x)2 ( 1x)，(1x)2 ( 1 x)x，=3= f '(1) lixm0 yx lixm0 3变式 2】求函数f （x） 3x2在 x=1 处的导数解析】f (1 x) f (1) 3(1 x)26x3( x)2 ，6 x 3( x)2lim(6 3x) 6，即 f (1) 6 函数 f (x)3x2在x 1 处的导数为 6 变式 3】求函

8、数 f xx在 x 1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数解析】 y f (x0x)f (x0 )( 1 x)2 ( 1 x) 2 3 x ( x)2 ，3 x ( x)2 3x，limxy lim(3 x)0 x x 03例 2 已知函数x2 ，求 f (x)解析】先求增量：(x4x)24 x(2 xx)22x2 (xx)2再求平均变化率：4(2xx2(xx) x)2求极限，得导数：y'lixm0 yxlixm04(2 x x)x2 ( xx)【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导 举一反三：变式 1】求函数1y x 在 (0,）内的导函数解析】 y11x x

9、xxxxx x x x( x x x )( x x x x x ( xxx x x x ( x x x)1x x x ( x x x)1 1 1 32x 0 x x x ( x x x ) x 2 x 2 变式 2】已知 f(x) x 2 ，求 f '(x)， f '(2)解析】yxx 2 x 2，所以yxx 2 x 2xx( x x 2) (x 2)x( x x 2 x 2)1x x 2 x 2f '( x) y当 x 2 时， f '(2)例 3 若 f '(x0) 2，则 lkim0 f (x0 k2)k f (x0)思路点拨】解析】根据导数定义：

10、mlif(x0) (这时增量 x k )，所以 lkim0 f(x0 k2)k f (x0)mli)xf1 lim fx0 ( k) f (x0)2 lkim0k1.思路点拨】1) 有一种错误的解法：根据导数的定义：mlif (x0 ) (这时增量x k )，mlix0(f)x0( fm0lik1)x 选择哪种形式， y 也必须选择与之相对应的形2) 在导数的定义中，增量x 的形式是多种多样的，但不论 式利用函数 f(x)在 x x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题 举一

11、反三：变式 1】函数 f(x)满足 f '(1) 2 ，则当 x无限趋近于 0时，f (1 x) f (1)2x2) f (1 2x) f (1) x答案】( 1)(2)lim f (1x0x) f (1)2x1lim f (1x)xf (1)112 f '(1) 1lim f (1x02x)xf (1)2lim f (1x02x)2xf (1)2f '(1) 4变式 2】若 f '( x0) a1)求 lixm0f x0f x0的值；f ( x0x) f ( x0x)2)求 lim0 0 的值x 0 x答案】x0fmli变式 3】设函数 f (x) 在点 x0

12、 处可导，则)mlix0(fmlifx0 x fx0f ( x0x)f ( x0x)2 limx0xx0xflimx0 xf x0limf ( x0x)f ( x0x)x0xx01x( x)2f ( x0x)f ( x0x)f '(x0 )2 limx02xa2f '(x0)2a1 f '(x0) lim f (x0 h) f (x0)2 0 h 0 h12 f '(x0) f '(x0) f '(x0) 类型二：求曲线的切线方程例 4 求曲线 y x2 1在点 P 1，2 处的切线方程P( 1， 2)处的切线的斜率等于函数 y x2 1在 x

13、1 处的导数值，【思路点拨】利用导数的几何意义，曲线在点 再利用直线的点斜式方程写出切线方程【解析】先求切线的斜率 f ' 122y 1+ x 1 12 1lim lim lim x+2 =2 ， x 0 x x 0 x x 0由条件可知 f 1 =2 ，由点斜式可得，过点 P 的切线方程为：y 2 2(x 1)，即 y 2x【总结升华】求曲线 y f x 在 x x0 处切线的步骤：(1)先求 f ' x0 ，即曲线 y f x 在 P(x0，f ( x0 )处切线的斜率( 2)再求 f x0 ，则切线过点 x0，f x0 ；2)最后由点斜式写出直线方程： y f x0 =f

14、 (x0)(x x0) 特别的，如果 yx 在点 (x0，f (x0) 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，由切线定义知：切线方程为： x x0 举一反三：21【变式】求曲线 y x25 上一点 x 2处的切线方程x【答案】先求 y'|x 2 ：y(2x)212xy4x1x2(2x)ylimx0yxlim(4x再求 y|x 2212x，22+4 xx22(2 x)1115)4=2(2 x)442 1 19 y|x 2=22 2 5= 2 由点斜式得切线方程：9 15y- x-2 ，即 15x 4y 8 0 24高清课堂： 导数的几何意义 385147 例 2】例 5求曲线 f x

15、 x3 经过点 P(1,1)的切线方程思路点拨】本题要分点 P(1,1)是切点和 P(1,1)不是切点两类进行求解解析】第一步：先求导函数lim yx 0 xlim f (xx0x) f (x)xlim (xx033 x )x3 2 2 3 3 x 3x g x +3x g x + x x = limx 0 x22= lim 3 x +3x g x+3 x x0=3x第二步：验证点 P(1,1)是否在曲线上由于 f 1 1，所以 P 在曲线上 第三步：分类讨论若点 P 是切点，则切线的斜率为 f ' 1 3，于是切线方程为 y 1 3(x 1)，即 y 3x 2 ； 若点 P 不是切点

16、，设切点为 x0 , x03 x0 1 2 3 2则切线的斜率为 f ' x0 3x0 2 ，于是切线方程为： y x03 3x02 (x x0) 由于切线经过点 P(1,1)，于是有 1 x03 3x02(1 x0) ，整理得：3 2 3 2 2 3 2 2 22x03x0 +1=2x02x0+x0+1=2x02x0x01 =2x0x0 1x0 +1x012 2 1= x012x02x01 =x012x0 +1 =0 ，解得 x0或 x01(舍去)0 0 0 0 0 21 313 1所以切线方程是 y+1 3(x+1)，即 y 3 x 1 8 424 431综上所述，所求切线方程为

17、y 3x 2或 yx 44思路点拨】求曲线 f x 经过点 P x0， y0 的切线方程的一般步骤：1)求导函数 f ' x ；2)验证点 P 是否在曲线上：计算 f x0 ，观察 f x0 =y0 是否成立；3) 分类讨论：若 f x0 =y0 ，则 P 是切点，切线唯一，方程为 y f x0 =f (x0)(x x0 )：若 f x0 y0 ，则 P 不是切点，求切点：设切点坐标为 a，f a ，则切线方程 y f a =f (a)(x a) ，代入点 P x0， y0 坐标，求出 a 的值(注意a x0 )，可得切线方程举一反三：【变式 1】 已知函数 f (x) x3 3x ，

18、过点 (2, 2)作函数图象的切线 求切线方程 【解析】先求导函数：f ( x) lim y 3x2 3x 0 x再验证：f (2) 23 3 2=2 ，所以点 (2,2)在函数 f (x) 图象上最后讨论：(1)当点 (2, 2)是切点时，切线的斜率为 f (2) 9 ，则切线方程为： 9x y 16 0 (2)当点 (2, 2)不是切点时，设切点坐标为 (x0,x03 3x0) 则切线的斜率为 f(x0)3x023( x02 )，所以切线方程为 y(x033x0)=3x023 (xx0) 代入点 (2, 2)得： 2 (x30 3x0)= 3x02 3 (2 x0)x01，3 2 2 整理

19、得： x03 3x02 4 0 (x0 1)(x0 2) 2 0此时切线方程为 y 2 综上所述，所求的切线方程为 9x y 16 0或 y 2 1变式 2】已知曲线 y x( 1)求曲线过点 A 1，0 的切线方程；12)求满足斜率为 的曲线的切线方程3解析】 y'= lim f (x x) f (x) lim 1x 0 x x 0x x x(1)由于点 A 不在曲线上，设切点坐标为a, 1 ，a111则切线的斜率为 y'|x a = 2 ，切线方程为 y2 (x a) ，aaa1将 A 1，0 代入，得 a 21所以所求的切线方程为 y 4x 412)令12x13 ，解得x

20、3所以斜率为 13的切线的切点为3, 3 或33,所以所求的切线方程为 y233或233高清课堂： 导数的几何意义385147例 3】变式 3】设函数 f(x) x3 2ax2 bxa， g(x)x23x2（其中 x R ， a, b为常数）已知曲线 y f （x）与 y g（x）在点（ 2， 0）处有相同的切线l求 a, b的值，并写出切线 l 的方程答案】 f '(2) lim f (2+ x) f(2)x03= lim (2 x)3 2a(2x023x)2 b(2 x) a (23 8a 2b a) xlixm0 12 8a b 62( x)2 12 8a bg'(2) limxg(2+ x) g(2)0= lixm0(2 x)2 3(2x)2 (22 3 2 2)lixm0(1x)x0由条件可知： f （2）0且 f '(2) g'(2)