二次根式的概念及乘除法运算

1、教学课题二次根式的概念及乘除法运算教学目标1. 理解二次根式的概念.2. 理解 ja(a>0)是一个非负数，(JS )2=a(a>0), Ja2=a( a>0) .理解 jS -/b =y/Ob (a>0, b>0), JOB = ja Jb ( a>0, b>0),并利用它们进行计算和化 简v/a aJ a J a3. 理解命 =Qb(a> 0, b>0)和 占(a>0, b>0)及利用它们进行运算.4. 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.教学重点与 难点重点：1. 二次根式 ja (a&g

2、t; 0)的内涵.4a (a> 0)是一个非负数；(岳)=a (a> 0)； 需亍=a (a>0)及其运用.2. 掐 Jb = jab (a>0, b>0), jab= ja Jb (a>0, b>0)及它们的运用.Jalaa Ja3. 理解= Q* (a>0, b>0),= ( a>0, b>0)及利用匕们进行计算和化简.4. 最简二次根式的运用.难点：1. 对 需(a> 0)是一个非负数的理解；对等式( Va ) = a( a> 0)及/了 =a (a> 0)的理解及应用.2. 发现规律，导出需 Jb =

3、/ab (a> 0, b > 0).3 .发现规律，归纳出二次根式的除法规定.4.会判断这个二次根式是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入今天我们要学习的是二次根式的概念及它的一些性质，其实前面我们已经学过平方根，而二次根式其实就是平方根的其中正的那一个，也就是算术平方根。今天我们主要需要掌握二次根式的几个运算性质：1形如.a (a> 0)的式子叫做二次根式；2估 (a> 0) 是- 一个非负数；3. (:a ) = a (a0).4. , a2 =a (a> 0).(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题：3问题1：已知反比例函数 y=，那么它的图象在第一象限

4、横、 纵坐标相等的点的坐标是 .x问题2:在直角三角形 ABC中，AC=3 , BC=1，/ C=90 °，那么 AB边的长是 .问题3:甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是 S2,那么 S=.老师点评：问题1:横、纵坐标相等，即 x=y，所以x2=3.因为点在第一象限，所以x=、?，所以所求点的坐标(3，二 3 ).问题2:由勾股定理得 AB= 10问题3:由方差的概念得很明显3、 10、. 4，都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式. 6因此，一般地，我们把 形如、a (a>0)的式子叫做二

5、次根式，“ ”称为二次根号.(学生活动)议一议:1. -1有算术平方根吗？2. 0的算术平方根是多少？3.当a<0,a有意义吗?4请你凭着自己已有的知识，说说对二次根式.a的认识!老师点评：1.表示a的算术平方根2.a可以是数，也可以是式.3.形式上含有二次根号4. a > 0,V a > 0(双重非负性)5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果_A_例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:72、炎、-、品(x>0)、To、传、Xx y (x> 0, y> 0).分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“广”；第二，被开方数是正数或 0.解:二

6、次根式有： 运、仮(x>0 )、VO、-J2、Jx + y (x > 0, y > 0)；不是二次根式的有：$3、1x y例2.当x是多少时，'3x-1在实数范围内有意义?分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1 >0, ?.3x1才能有意义.1解：由3x-1 > 0,得：小3当x > 1时， 3x-1在实数范围内有意义.3例3.当x是多少时，(1 2x 3 + x11在实数范围内有意义?分析：要使2x ,3+1在实数范围内有意义，必须同时满足x+1J2x +3中的0和一中的x+1x 1解：依题意，得fx+3"由

7、得：X > -由得：XM-1十023 1当x> -且xm -1时，.2x 3 +在实数范围内有意义.2x+1求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于零；分母中字母时，要保证分母不为零。例4（1）已知y=、2-x+、x-2+5，求x的值.（答案：2）y若 Ja +1 + $ -1 =0,求 a2004+b2004 的值.（答案:）5议一议：（学生分组讨论，提问解答）a （a> 0） 是- -个什么数呢？老师点评：二次根式其实就是平方根的其中正的那一个，也就是算术平方根。所以我们得到：梟（a0）是一个非负数.做一做：根据算术平方根的意义填空：（灵）2=；（ V2） 2

8、=；（ V9）2=；（ V3） 2=；） 2=；（电）2=；（心）2=老师点评： M是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，'' 4是一个平方等于4的非负数，因此有（4 ） 2=4.同理可得：（血）2=2，（ J9）2=9，（73 ）2=3，（ J' ）2=-，（ JZ ）2=-，（氏）2=0，所以V 33 V 22（需）2=a （a0）例1计算1.(g) 22. (-3/5) 23.(狷)24.(耳)分析：我们可以直接利用( a ) 2=a (a>0)的结论解题. 解：略例2计算1. ( ；1 ) 2 (x> 0)2.(.,，a2 ) 2 3.( . a2

9、 2a 1)4. ( 4x2 -12x 9 ) 2(a+1)> 0;分析：(1)因为 x> 0,所以 x+1>0 ; (2) a2> 0; (3) a2+2a+1 =(4) 4x2-12x+9= (2x) 2-2 2x 3+32= (2x-3) 2>0.所以上面的4题都可以运用(.a ) 2=a (a> 0)的重要结论解题.解略例3在实数范围内分解下列因式 ：242(1) x -3(2) x -4(3) 2x -3(学生活动)填空：辰=:J0.012 =; 丄)2 =10 -禺=;心;:&=(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到:1 1苛=

10、0.01 ；(10=10因此，一般地：ja 根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1 )、(2)可知二a2 =a | ,而|a |要大于a,只有什么时候才能保证呢？a<0.解：(1)因为a2 =a，所以a> 0； 因为 ' a2 =-a，所以 a< 0; 因为当a> 0时 a2 =a,要使-a2 >a,即使a>a所以a不存在；当a<0时,a2 =-a,要使<'a2 >a, =a (a> 0)例1化简(1) 9(2) ;(一4)2(3)25(4)、(一3)2分析：因为(1) 9=32, (2)

11、 (-4) 2=42 , ( 3) 25=52 ,(4) (-3) 2=32，所以都可运用-a? =a (a> 0) ?去化简.应用拓展例2 填空：当a> 0时，a2=_ 当a<0时，.a2 =,并根据这一性质回答下列问题.(1) 若 =a，则a可以是什么数？(2) 若 =-a，则a可以是什么数？(3) . a2 >a，贝U a可以是什么数？分析： a2=a( a>0), a要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“()2”中的数是正数，因为，当a< 0 时，了= (a)2 ，那么-a> 0.即使-a>a, a<0综上，a

12、<0例 3 当 x>2，化简,(x2)2 -、(12x)2 .1.本节课应掌握：、.孑=a (a> 0)及其运用，同时理解当a<0时， a2 =- a的应用拓展.2. (a )2与、.孑的区别：从运算顺序来看，G, a )2先开方，后平方；：云先平方，后开方.(2)从取值范围来看，('、a )2 a> 0; , a2 a取任何实数.(3)从运算结果来看：a (a > 0)(p：a ) =a, a = /a/= -a(av 0)二次根式的乘法一、复习引入(学生活动)请同学们完成下列各题.1. 填空(1) 74 x V9 =, J4疋9 =；(2) H6

13、x 血5=,山675=.(3) 'AOo x 36=,(10076=.参考上面的结果，用“>、<或=”填空.44 x 掐74<9，用 x 725Ji6汇 25, 500x 736J100汇 362. 利用计算器计算填空(1)V2 x V346, ( 2)V2 x V5尿,亦x后>/30 , ( 4)石 x 屆20 ,(5)/7 x 怖V70.老师点评（纠正学生练习中的错误）总结规律：两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次 根式中的被开方数.般地，对二次根式的乘法规定为a . b = ab .( a>0, b&

14、gt;0)反过来：= 4a 伍(a> 0, b > 0)例1 .计算分析：直接利用、a ,b = '. ab （ a> 0, b> 0）计算即可.解：(1)5 x 7 = 35(2) £ X 拓=存9"(3) 、9 x、27=、9 27 = . 92 3=9 3(4).1 x .6 =16 =32! 2例2化简(1)9 16(2)、16 81(3) 81 100(4)9x2y2(5i)54分析：利用 ，'ab = a ' b (a>0,b> 0）直接化简即可解：(1)、9 16=、9 X .16=3X 4=12(2

15、) 、一16 81 = J6 X 81=4 X 9=36(3) , 81 100 =j81 X-：；100 =9 X 10=90(4) 9x2y2 = 32 Xx2y2 =、.、：32 xx2x . y2=3xy(5) 、54 = j9 6 = 3? x 6 =3、. 6例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:(1) . (-4) (-9) = -4: -9(2)解：(1)不正确.=4 X=4 12 =8、3改正：_4) (-9) = 4 9 = . 4 X . 9 =2X 3=6(2)不正确.改正:层=曆二后=応7 =4巧二次根式的除法(学生活动)请同学们完成下列各题：1写出二次根式

16、的乘法规定及逆向等式.2. 填空(1)9、16(2),16.36(3).4(4)J36.81规律:.16.逻'、3644 ；16,36813利用计算器计算填空(1).3,(3):1=,(4)-=V8规律:总结：般地,对二次根式的除法规定:a：( a> o, b>。)，反过来,a = a (a> 0, b>0) b bF面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.例1.计算：(1)书2 (2)328(3)4、7.81V64(4)扁分析：(a>0, b>0)便可直接得出答案.上面4小题利用密二上血Yb(2)x =2(3)V 1111 “F1 J=.，16 =

17、4 =241.16416 _；4r(4)=，/8 =2 * 264 _ 8 =例2.(1)化简:64b29a2(3)9x64y2(4)5x169y2分析:直接利用a (a> 0, b>0) b , b就可以达到化简之目的.9 xP9 x例3.已知仁6 一后，且 X为偶数，求(一x2 二 5x_4；x2 -1的值.解：由题意得9-x_0 x_9x 一60，即 x 6/ x为偶数/ x=8原式=(1+x)(x-4)(x-1)(x 1)(x -1)=(1+x)分析：式子j a=,，只有a> 0, b>o时才能成立.因此得到9-x > 0且x-6> 0,即6<

18、xW 9，又因为x为偶数，所以x=8 .=(1+x)老师点评:、(X 1)当x=8时，原式的值=_ 4 9 =6.最简二次根式1 .计算(1)'3 , (2) 3'2 , (3)二8V5V27V2a2 现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km, h2km, ?那么它们的传播半径的比是.J2R0它们的比是-.j2Rh2总结:观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它

19、们化成最简二次根式.答：不是.j2Rh, = f2Rh 河 ThhT 2Rh>2只® 一也 一 h2例1 .化简下列二次根式 312；x2y4 x4y2 ；、8x2y3例 2.如图，在 Rt ABC中，/ C=90°, AC=2.5cm, BC=6cm 求 AB的长.解：因为 AB 2=AC 2+BC2因此AB的长为6.5cm .例3 .观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:1_=r</2-i)2 1 ( 2 1)0 2 -1)-12 -1同理可得：14、3 = " 3，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算1+1+1+

20、 1 ) ( 2002+1)的值.2 1,32、432002、2001分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的 目的.解：原式=(.2 -1+ .3- 2 + ,4 - .3+ + 2002-. 2001 )x(2002+1)=(,2002-1 ) ( . 2002+1)=2002-仁2001课后作业、选择题1.下列式子中，是二次根式的是()A. - 7B .3 7C.XD . x2.下列式子中，不是二次根式的是()A.4B.16C.8D .1X3. 已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是()A. 5 B. 5 C. 1D .以上皆不对54. a

21、>0 时, a2、.(-a)2、-匕a2，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是().A. 了= (a)2 >-了 B. J>(a)2>/C.a2 <、(a)2 <- a2 D. -、a2 > ' a2 =、,(_a)2二、填空题1形如的式子叫做二次根式.2.面积为a的正方形的边长为 .3负数平方根.4. (- J3) 2=.2.已知JX+1有意义，那么x+1是一个数.5. - JO.OOO4=.6 .若J Om是一个正整数，则正整数m的最小值是 .三、综合提高题1. 某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为 O.2m，按设计需要，底面

22、应做成正方形, 试问底面边长应是多少？2. 当x是多少时，2_ +x2在实数范围内有意义？x3. 若：丿3-"X + ' x 3有意义，则 王_.4. 使式子y-(x-5)2有意义的未知数x有()个.A . O B.1C . 2 D .无数5. 已知a、b为实数，且 a -5+2 1O - 2a =b+4，求a、b的值.6 .计算(1)(掐)2(2) -(73 ) 2( 3 )(丄后)2( 4) (-/- ) 22V 37.把下列非负数写成一个数的平方的形式：1(1) 5(2) 3.4( 3)( 4) x (x > O)68 已知；x - y 1 + x - 3 =0,求 x