中考几何证明题知识点分析

1、目录1、考点总分析2、知识点讲解3、出题的类型4、解题思路5、相关练习题几何证明题专题本题的主要知识点（中考中第 3 道，分值为 8 分）30 / 28七年级上第 4 章 几何图形初步 七年级下第 5 章 相交线与平行线八年级上第 11 章 三角形第 12 章 全等三角形第 13 章轴对称八年级下第 17 章 勾股定理第 18 章 平行四边形九年级上第 23 章 旋转第 24 章 圆九年级下第 27 章相似第 28 章 投影与视图1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很 大作用。 几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置 关系。 这

2、两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问 题。2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果） ，从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的 应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2 ）分析法（执果索因）从命题的结论考虑， 推敲使其成立需要具备的条件， 然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事 实为止；（3 ）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综 合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短 题设与结论的距离，最后达到证明目的。3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都

3、是由基本图形组成的，因此要善于 将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时 往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的 "因为 "、 逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计 算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常 见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路 总结。所以"几何初步知识结构图直线：两点确定一条直线线 射线：线段：两点之间线段最短，点到直线的距离，平行线间的距离）角的分类

4、: 锐角、直角、钝角、平角、周角 . 角的度量与比较：10 60”， 1' 60”； 余角与补角的性质：同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等 角的位置关系：同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角对顶角：对顶角相等 .垂线：定义，垂直的判定，垂线段最短定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线平行 线 性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行 判定：平行于同一条直线的两条直线平行 平面内，垂直于同一条直线的两直线平行按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边关

5、系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 边1面积与周长：C=a+b=c，S= 1 底 高.2三角形的内角和等于180度，外角和等于360度；角 三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.般三角形 中线：一条中线平分三角形的面积性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；角平分线 判定：到角两边的距离相等的点在角的平分线上 .内心：三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等.线段 高：高的作法及高的位置（可以在三角形的内部、边上、外部） 中位线：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 中垂线 判定：

6、到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 .三角形外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等 等腰三角形的两腰相等、两底角相等，具有三线合一性质，是轴对称图形.等边三角形的三边上均有三线合一，三边相等，三角形等都为60度.等腰三角形判定有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形； 有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形；有两个角是60度的三角形是等边三角形.一个角是直角或两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；性质 0 直角三角形中，300的锐角所对的直角边等于斜边的一半； 直角三角形勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方 .证一个角是直角

7、或两个角互余；判定 有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理：若a2 +b2 =c2，则C 900.全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长、面积也相等； 性质全等三角形全等三角形对应线段（角平分线、中线、高、中位线等）相等 .判定：ASA，SAS，AAS，SSS，HL.四边形多边形：多边形的内角和为（ n-2 ）1800，外角和为 3600.定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形直角梯形梯形特殊梯形性质：两腰相等、对角线相等，同一底上的两角相等 两腰相等的梯形是等腰梯形；判定 对角线相等的梯形是等腰梯形； 同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形；性质：平

8、行四边形的两组对边分别平 行且相等 两组对角分别相等 两条对角线互相平分两组对边分别平行一组对边平行且相等判定： 两组对边分别相等 的四边形是平行四边形两组对角分别相等对角线互相平分共性：具有平行四边形的所有性质 性质个性：对角线相等，四个角都是直角 矩形 先证平行四边形，再证有一个直角； 判定 先证平行四边形，再证对角线相等； 三个角是直角的四边形是矩形 .共性：具有平行四边形的所有性质 . 性质个性：对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，四条边相等菱形 先证平行四边形，再证对角线互相垂直；判定 先证平行四边形，再证一组邻边相等；四条边都相等的四边形是菱形 .性质：具有平行四边形、矩形、菱

9、形的所有性质正方形 判定 证平行四边形矩形 正方形判定 证平行四边形菱形 正方形梯形： S=21（上底 下底 ） 高=中位线 高面积求法平行四边形： S=底 高 矩形： S 长 宽菱形： S=底 高=对角线乘积的一半 正方形： S 边长 边长 =对角线乘积的一半点在圆外：d>r点与圆的三种位置关系 点在圆上：dr点在圆内：d<r弓形计算：（弦、弦心距、半径、拱高）之间的关系圆的轴对称性 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分线所对的弧五组量的关系：在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、 两条弦心

10、距中有一组量相等，则其余的各组两也分别相等.同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；圆的中心对称性 圆周角与圆心角 半圆（或直径）所对的圆周角是900；900的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.相交线定理：圆中两弦AB、CD相交于P点，则PAgPA PCgPD. 圆中两条平行弦所夹的弧相等.相离：d>r直线和圆的三种位置关系相切：dr（ 距离法）相交：d<r圆的切线 性质：圆的切线垂直于过切点的直径（或半径） 直线和圆的位置关系判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.弦切角：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 切线长定理：如图，PA=PB，PO平分APB 切割线定理：如

11、图，PA2 PCgPD.外心与内心：相离：外离（d>R+r），内含（d<R-r）圆和圆的位置关系 相切：外切（d=R+r），内切（d=R-r）相交：R-r<d<R+r）圆的有关计算弧长公式：l弧长扇形面积公式：n2r360n2r360n180l弧长 r圆锥的侧面积：S侧 1 2 r l rl （r为底面圆的半径，l为母线） 侧2圆锥的全面积：S全 r2 rl 轴对称指两个图形之间的关系，它们全等轴对称（折叠）轴对称 对应点的连线段被对称轴垂直平分 对应线段所在的直线相交于对称轴上一点（或平行） 图形折叠后常用勾股定理求线段长轴对称图形指一个图形轴对称图形被对称轴分成的两

12、部分全等平移前后两个图形全等 平移前后对应点的连线段相等且平行（或共线）共线） 平移前后的对应角相等，对应线段相等且平行（或 平移的两个要素：平移方向、平移距离 旋转前后的两个图形全等 旋转前后对应点与旋转中心的连线段相等，且它们的夹角等于旋转角 旋转前后对应角相等，对应线段相等 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角视图的画法大小、比例要适中实线、虚线要画清视图与投影平行投影：平行光线下的投影，物体平行影子平行或共线 中心投影：点光源射出的光线下的投影，影子不平 行 视点、视线、盲区图形的变化基本性质：a bc dadbc比例的性质 合比性质：acab c dbdbd等比性质：acm a

13、b . mkk，（条件 b d . n 0）bdn b d . n黄金分割：线段 AB 被点 C分成AC、BC两线段（ AC > BC ），满足 AC 2 =BC gAB ，投影的计算：画好图形，相似三角形性质的应用则点 C为AB 的一个黄金分割点性质：相似多边形的对应边成比例、对应角相等 相似多边形判定：全部的对应边成比例、对应角相等对应角相等、对应边成比例相似形性质 对应线段（中线、高、角平分线、周长）的比等于相似比面积的比等于相似比的平方相似图形相似三角形 判定有两个角相等的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似有一条直角边与 斜边

14、对应成比例的两个直角三角形相似射影定理：在 Rt ABC中， C 90 0， CD AB ，则 AC 2 =AD AB ， BC 2=BD AB ，CD 2=AD BD （如图）位似图形是一种特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质位似图形 位似图形对应点所确定的直线过位似中心通过位似可以将图形放大或缩小中考中主要考试的类型一、证明两线段相等1. 两全等三角形中对应边相等。2. 同一三角形中等角对等边。3. 等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4. 平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5. 直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。6. 线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7

15、. 角平分线上任一点到角的两边距离相等。8. 过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。9. 同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所 对的弦相等。10. 圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成 的两段相等。11. 两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。12. 两圆的内（外）公切线的长相等。13. 等于同一线段的两条线段相等。二、证明两角相等1. 两全等三角形的对应角相等。2. 同一三角形中等边对等角。3. 等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4. 两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相

16、等。5. 同角（或等角）的余角（或补角）相等。6. 同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角 等于它所夹的弧对的圆周角。7. 圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。8. 相似三角形的对应角相等。9. 圆的内接四边形的外角等于内对角。 10. 等于同一角的两个角相等。三、证明两直线平行1. 垂直于同一直线的各直线平行。2. 同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3. 平行四边形的对边平行。4. 三角形的中位线平行于第三边。5. 梯形的中位线平行于两底。6. 平行于同一直线的两直线平行。7. 一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对

17、应成比例，则这条直线 平行于第三边。四、证明两直线互相垂直1. 等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。2. 三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角3. 在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4. 邻补角的平分线互相垂直。5. 一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6. 两条直线相交成直角则两直线垂直。7. 利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8. 利用勾股定理的逆定理。9. 利用菱形的对角线互相垂直。10. 在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦11. 利用半圆上的圆周角是直角。五、证明线段的和、差、倍、分1. 作两条线段的和，证明与

18、第三条线段相等。2. 在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3. 延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4. 取长线段的中点，再证其一半等于短线段。5. 利用一些定理（三角形的中位线、含 30 度的直角三角形、直角三角形斜边 上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等） 。六、证明角的和、差、倍、分1. 作两个角的和，证明与第三角相等。2. 作两个角的差，证明余下部分等于第三角。3. 利用角平分线的定义。4. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。七、证明两线段不等1. 同一三角形中，大角对大边。2. 垂线段最短。3. 三角形两边之和大于第三边，两边

19、之差小于第三边。4. 在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。5. 同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。6. 全量大于它的任何一部分。八、证明两角不等1. 同一三角形中，大边对大角。2. 三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。3. 在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角 也大。4. 同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。5. 全量大于它的任何一部分。九、证明比例式或等积式1. 利用相似三角形对应线段成比例。2. 利用内外角平分线定理。3. 平行线截线段成比例。4. 直角三角形中的比例中项定理即射影定理。5. 与圆有关的比例定理相交弦定理、切割线定理及

20、其推论。6. 利用比例式或等积式化得。 以上九项是中考几何证明题中最常出现的内容，只要掌握了对应的方法，再 根据题目中的条件进行合理选择，攻克难题不再是问题！ 各知识点考查形式一、 图形的认识1、立体图形、视图和展开图（选择题）1 ） 几何体的三视图，几何体原型相互推倒2 ） 几何体的展开图，立体模型相互推倒2、线段、射线、直线（解答题）1 ）垂直平分线、线段中点性质及应用2）结合图形判断、证明线段之间的等量、和差、大小关系3 ）线段长度的求解4）两点间线段最短（解决路径最短问题）3 、角与角分线（解答题）1 ）角与角之间的数量关系2 ）角分线的性质与判定（辅助线添加）4 、相交线与平行线1

21、）余角、补角2 ）垂直平分线性质应用3 ）平分线性质与判定5、 三角形1 ）三角形内角和、外角、三边关系（选择题）2 ）三角形角分线、高线、中线、中位线性质应用（辅助线）3）三角形全等性质、判定、融入四边形证明（必考解答题）4）三角形运动、折叠、旋转、平移（全等变换） 、拼接（探究问题）6 、等腰三角形与直角三角形1）等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理及逆定理2 ）等腰三角形、直角三角形与四边形或圆的综合3 ）锐角三角函数、特殊角三角函数、解直角三角形（解答题）4）等腰、直角、等腰直角三角形与函数综合形成的代几综合题（压轴题必考）7 、多边形：内角和公式、外角和定理（选择题）8

22、、四边形（解答题）1）平行四边形的性质、判定、结合相似、全等证明2）特殊的平行四边形：性质、判定、以及与轴对称、旋转、平移和函数等结合应用（动点问题、面积问题及相关函数解析式问题）3）梯形：一般梯形及等腰、直角梯形的性质、与平行四边形知识结合，四边形计 算题，辅助线的添加等9、圆（必考解答题）1） 圆的 有关概念、性质2 ）圆周角、圆心角之间的相互联系3）掌握并会利用垂径定理、弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面面积、全面积公 式解决问题4）圆中的位置关系：要会判断：点与圆、直线与圆、圆与圆（重点是圆与圆位置 关系）5）重点：圆的证明计算题（圆的相关性质与几何图形综合）二、 图形与变换1、轴对称：

23、会判断轴对称图形、能用轴对称的知识解决简单问题2、平移：会运用平移的性质、会画出平移后的图形、能用平移的知识解决简单问题3、旋转：理解旋转的性质 （全等变换），会应用旋转的性质解决问题 （全等证明）， 会判断中心对称图形4 、相似：会用比例的基本性质解题、利用三角形相似的性质证明角相等、应用相似比求解线段长度（解答题）几何证明中的几种技巧角平分线轴对称 已知在 中，为的中点，平分， 于，求的长分析：延长交于可得 则又，即 为 的中位线 已知在 中，平分 求证：分 析： 在 上截 取 ， 连接 可得 由已知可 得：， 已知在 中，平分 求证：分析：在上分别截取，易证 ，由已知可得：由三角形外角性

24、质可得：由，4 已知在 中， ，平分 ，过作 ， 交于求 证：分析：延长交于， 易证 则易证 如图（）所示，和分别是 的外角平分线，过点作 于，于，延长及与相交，连接（） 若（ a） 与分别是的内角平分线（如图（） ）；（b） 是 的内角平分线，是 的外角平分线（如图（） ） 则在图（）与图（）两种情况下， 线段与 的三边又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明图（） 图（） 图（） 分析：图（）中易证 及 有，及，为 的中位线 同理可得图（）中 ；图（）中 如图， 中，是边上的中点，于，交 的平分线 于，过作于，作于求证：分析：连接与垂直平分，易证 有（） 如图，在

25、中，平分 求证：分析：在上截取，连接则有 在 四边形 中， 平分，过 作 于， 且求的度数分析：延长到，使得则有垂直平分，有 （）二旋转如图，已知在正方形中，在上，在上， 求证： 分析：将绕顺时针旋转 得 易证.如图，在中， ，为中点的延长线上任意一点交延长线于求证：分析：连接则 可视为 绕顺时针旋转 所得易证 与则 又易证 如图，点在 外部，在边上，交于若 求证：，且 再分析：若 ，则可视为 绕逆时针旋转 所得则有 又如图，与 均为等腰直角三角形，且在上的延长线交于 请 你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程分析：将 视为 绕顺时针旋转 即可 如图，点为正方形的边上一点， 点为的延长线上的一点， 且求证：分析：将 视为 绕顺时针旋转 即可又 ，（）三平移如图，在梯形中，求梯形 的中位线长分析：延长到使得连接可得 可视为将平 移到平移到由勾股定理可得梯形中位 线长为 已知在 中，为上一点，为延长线一点，且求证：分析：作交于易证则可视为平 移所得四边形为 四中点的联想（一） 倍长已知，为 的中线求证： 分析：延长到使得连接易证 如图，为 的角平分线且求证：分析：延长到使得易证已知在等边三角