本时间序列分析第三章小结

1、 时间序列分析2第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性第三章第三章 ARMA模型的特性模型的特性共有四节内容：共有四节内容：第一节第一节 格林函数和平稳性格林函数和平稳性第二节第二节 逆函数和可逆性逆函数和可逆性第三节第三节 自协方差函数自协方差函数第四节第四节 自谱自谱3第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性本章要考察本章要考察ARMA模型模型1.是否具有平稳性是否具有平稳性2.是否具有可逆性是否具有可逆性4.偏自相关函数的特点偏自相关函数的特点3.自相关函数的特点自相关函数的特点平稳性条件平稳性条件可逆性条件可逆性条件传递形式传递形式格林函数格林函数逆转形式逆转形式

2、逆函数逆函数定义、计算、及定义、计算、及ARMA模型特点模型特点只有平稳且可逆时，ARMA模型才有意义4第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性第一节第一节 格林函数和平稳性格林函数和平稳性 在介绍格林函数和平稳性之前，我们先介绍在介绍格林函数和平稳性之前，我们先介绍一下线性常系数差分方程。这部分内容对学习时一下线性常系数差分方程。这部分内容对学习时间序列分析是非常重要的。在时间序列的时域分间序列分析是非常重要的。在时间序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要，也是极为有效析中，线性差分方程是非常重要，也是极为有效的工具。的工具。5第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性二

3、、二、AR(1)系统的格林函数系统的格林函数(Greens function)格林函数：描述系统记忆格林函数：描述系统记忆扰动的程度扰动的程度的函数。的函数。或者说：或者说：把把Xt表示成既往扰动表示成既往扰动at-i(i0)的加权和形式：的加权和形式：itiitaGX0Gi：格林函数格林函数 i0，1，2，（权重系数）权重系数）等价传递形式等价传递形式也称也称传递函数或记忆函数。传递函数或记忆函数。1. 等价传递形式及格林函数等价传递形式及格林函数 6第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性2. MA模型的格林函数模型的格林函数3. AR(1)模型的格林函数模型的格林函数已是等价传

4、递形式，格林函数已知已是等价传递形式，格林函数已知tttaXX11tttaXX11, 2 , 1 , 01jGjj)(0, 122110qjGGGGGjqq AR(1) 的参数的参数 对系统动态性的影响：对系统动态性的影响： 17第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性5. 格林函数的意义：格林函数的意义：记忆扰动的程度；扰动的权重函数；系统回复的速记忆扰动的程度；扰动的权重函数；系统回复的速度；系统动态性完全取决于它；系统动态相应衰减度；系统动态性完全取决于它；系统动态相应衰减的快慢程度的快慢程度4. AR(1)模型可用一个无限阶模型可用一个无限阶MA模型来逼近模型来逼近jtjjt

5、aX018第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性六、六、ARMA(2,1)系统的格林函数系统的格林函数方法：比较系数法方法：比较系数法1. ARMA(2,1)系统的格林函数的隐式系统的格林函数的隐式112211tttttaaXXX对对AR(1)系统，求解格林函数时介绍了三种方法，系统，求解格林函数时介绍了三种方法，对对ARMA(2,1)系统，求解格林函数常用的方法是系统，求解格林函数常用的方法是9第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性221112213021121110GGGG1GjjjGGGGGG20)1 (221jGBBj利用利用B算子得：算子得： 10第三章第三章

6、 ARMAARMA模型的特性模型的特性2. ARMA(n,n-1)系统的格林函数的隐式系统的格林函数的隐式njGGGGGGGGGGGGGGGG1Gnjn2j21j1j1n01n3n22n11n303122132021121110njGBBBjnn0)1 (22111第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性ARMA(2,1)系统的格林函数的显式解：系统的格林函数的显式解： 2GG1G22111110jGGjjj02122422112, 1jjjggG2211特征方程为特征方程为 特征根为特征根为所以格林函数的通解为：所以格林函数的通解为： 12第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模

7、型的特性2jGj21212j12111j由初始条件由初始条件1110G1G1122111210G1Ggggg1212221111gg代入可得代入可得解得：解得：所以格林函数的显式解为所以格林函数的显式解为 ：13第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性 当特征根为两不等实根或共轭复根时，均可使用当特征根为两不等实根或共轭复根时，均可使用上面显式解，当特征根为两相等实根时，有上面显式解，当特征根为两相等实根时，有 2jGj21212j12111j此时，格林函数的通解为此时，格林函数的通解为224, 04122112, 1221jjjggG)(2112111ggjjjjjggG)1 (1

8、 )(121将初始条件代入，可得：将初始条件代入，可得：格林函数为：格林函数为：14第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性当特征根为共轭复根时，当特征根为共轭复根时， 2jGj21212j12111j可进一步化解可进一步化解 可以证明，此时，可以证明，此时，g1和和g2也互为共轭，有也互为共轭，有irei2424, 04221122112, 1221ig221112, 1422121igeg2, 1)cos(22211jgrggGjjjj设其为：设其为：得到：得到：15第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性)2() 1 , 2(01ARARMA2112112122121

9、12121212111jjjjjjjG易得：易得： 此时有：此时有：5. AR(2)和和ARMA(1,1)系统的格林函数系统的格林函数 因为因为 AR(2)和和ARMA(1,1)都是都是ARMA(2,1)的特的特型，利用型，利用ARMA(2,1)的格林函数的解的形式的格林函数的解的形式16第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性) 1 , 1 () 1 , 2(02ARMAARMA0,2111)(111111112121212111jGjjjjj也可利用前面讲过的方法计算得到同样的结果也可利用前面讲过的方法计算得到同样的结果对对ARMA(1,1)，因为：因为：此时齐次方程特征方程的特

10、征根只有一个，即为此时齐次方程特征方程的特征根只有一个，即为于是有：于是有：17第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性6. ARMA(n,n-1)系统的格林函数系统的格林函数与前面的分析相似，与前面的分析相似，ARMA(n,n-1)系统的格林系统的格林函数为函数为jnnjjjgggG2211其中的系数可由其中的系数可由n个约束条件求得惟一解。个约束条件求得惟一解。 njGGGGGGGGGGGGGGGG1Gnjn2j21j1j1n01n3n22n11n30312213202112111018第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性七、七、ARMA(2,1)系统的平稳性系统的

11、平稳性1. 用特征根表示的平稳性条件用特征根表示的平稳性条件当当j时，时，Gj0jtjjtaGX022211jggGjjj1| , 1|21 当当 1| , 1|21时，时，Gj0（j）所以平稳性条件：所以平稳性条件：即特征根的模小于即特征根的模小于1，位于单位圆内。，位于单位圆内。 系统平稳系统平稳19第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性2. 用自回归系数表示的平稳性条件用自回归系数表示的平稳性条件我们也可通过模型的自回归系数来判断平稳性我们也可通过模型的自回归系数来判断平稳性如：如：AR(1)模型：模型：, 2 , 1 , 01jGjj格林函数为格林函数为平稳性条件为平稳性条

12、件为1111即即自回归系数表示的自回归系数表示的平稳性条件平稳性条件特征根表示的特征根表示的平稳性条件平稳性条件20第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性1;1112212；1| , 1|21221121推导可得到推导可得到ARMA(2,1)模型用自回归系数表示的平模型用自回归系数表示的平稳性条件：稳性条件：对对ARMA(2,1)模型：模型：由于平稳性条件为：由于平稳性条件为：又有：又有：21第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性3. 平稳性只与自回归系数有关，与移动平均系数无关平稳性只与自回归系数有关，与移动平均系数无关MA系统：自然平稳，不需要平稳性条件系统：自然平

13、稳，不需要平稳性条件ARMA(p,q)系统的平稳性条件同系统的平稳性条件同AR(p)的平稳性条件的平稳性条件 ARMA(2,1)模型：模型：112211tttttaaXXX平稳性条件：平稳性条件：1;1112212；22第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性4. ARMA(2,m)系统的平稳区域系统的平稳区域|2|12+ 112 11)不直接相不直接相关，但其自相关函数却是拖尾的。也即关，但其自相关函数却是拖尾的。也即Xt与与Xt-2有关系。有关系。这是因为这是因为Xt与与Xt-1相关，而相关，而Xt-1又与又与Xt-2相关，相关， Xt由于由于Xt-1的缘故与的缘故与Xt-2相关

14、。事实上，相关。事实上， Xt剔除剔除Xt-1的影响后的影响后与与Xt-2可能不相关。可能不相关。 剔除中间变量影响后的相关就是偏自相关。剔除中间变量影响后的相关就是偏自相关。)(,0pkkk3. 偏自相关函数的概率意义偏自相关函数的概率意义所以，对所以，对AR(P)模型，偏自相关函数模型，偏自相关函数p阶截尾。即阶截尾。即56第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性从另一角度来看，对从另一角度来看，对AR模型来说，第模型来说，第k个偏自相个偏自相关系数就是关系数就是AR模型中模型中Xt-k的回归系数，那么对于的回归系数，那么对于AR(p)模型，有模型，有)(0,: )(,: )2(

15、,: ) 1 (2211222222121111111pkaXXXXpARaXXXARaXXARkkppptptpptptptttttttt即，对即，对AR(P)模型，偏自相关函数模型，偏自相关函数p阶截尾。阶截尾。57第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性总的相关关系总的相关关系： 直接相关间接相关直接相关间接相关 自相关函数是不考虑是否有中间影响的自相关函数是不考虑是否有中间影响的Xt间间的总的相关关系。的总的相关关系。 偏自相关函数是剔除中间影响后的相关，是偏自相关函数是剔除中间影响后的相关，是一种直接相关关系，也即描述一种直接相关关系，也即描述Xt与与Xt-k之间部分的之间

16、部分的相关关系，也即是一种条件相关。相关关系，也即是一种条件相关。58第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性4. 偏自相关函数的计算偏自相关函数的计算 5. 利用利用YuleWolker方程计算方程计算根据偏自相关函数的一般定义和极值原理，对根据偏自相关函数的一般定义和极值原理，对关于关于), 2 , 1(kjkj21)(kjjtkjtXXE求导，得到求导，得到kkkkkkkkk212102120111059第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性最后得到：最后得到：kkkkkkkkk2121021201110将矩阵展开为方程组，即为将矩阵展开为方程组，即为Yule-Walker方程。方程。), 2 , 1(1) 1(1211kjkjkkkjkkjkjkj60第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性对对k1，2，3，依次求解依次求解Yule-Walker方程方程，得到，得到21212112112211111111112112