典型题解-概率论部分

1、概率论与数理统计第1章 随机事件及其概率随机事件与概率是概率论的两个最基本的概念.而计算各种事件概率的基本前提是：了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算.本章内容均是概率论的基础知识. 计算概率的基本方法有：运用事件之间的关系及其运算计算概率，古典型概率和几何型概率的求法；运用概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式以及事件的独立性计算概率.本章的基本问题: (1) 随机事件;；(2) 随机事件概率的求法.1.1随机事件这一部分的主要内容是: 利用集合形式写出事件, 讨论随机事件之间的关系与运算.一、 用集合形式写出事件利用集合形式写出事件的关键是对样本空间、

2、事件的积、事件的和、事件的差、互斥事件及对立事件等定义能准确理解并切实掌握.1. 某灯泡厂取样检查出厂灯泡的寿命，设 表示“灯泡寿命大于1500小时”，表示“灯泡寿命在1000到2000小时之间”.请用集合形式写出下列事件： 解. ，.2. 设一批零件，有正品也有次品，从这批零件中任意抽取7件.设表示事件“抽到的次品数不多于3”，表示事件“抽到的次品数为奇数”.试问：事件、各表示什么意思？解. 表示抽到的次品数为0，1，2，3，即，表示抽到的次品数为1，3，5，7，即，则，所以表示抽到的次品数为0，1，2，3，5，或7；表示抽到的次品数为1或3；表示抽到的次品数为0或2；表示抽到的次品数为0，

3、2，4或6.二、讨论事件之间的关系及运算 通过事件间的关系与运算，可以将一个事件表示成与它等价的几种不同形式，以便在今后计算概率时可以根据已知条件的不同而取其合适的一种表达式，在事件间的关系与运算中，最常用的有关结论是：（1）,与互不相容；（2）；（3）当与互不相容时，；，；（4）当时，；，.3. 以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（ ）. “甲种产品滞销，乙种产品畅销” “甲、乙两种产品均畅销” “甲种产品滞销” “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 解. 设事件表示“甲种产品畅销”，表示“乙种产品滞销”.则，“甲种产品滞销或乙种产品畅销”，应选择.4. 甲、乙、丙三人各向靶

4、子射击一次，设表示“第人击中靶子”，.试用事件的运算关系表示下列事件：（1）仅有乙未击中靶；（2）甲、乙至少一人击中，而丙未击中靶子；（3）至少两人击中靶；（4）靶上仅中一弹.解. （1）仅有乙未击中靶：；（2）甲、乙至少一人击中而丙未击中靶子：；（3）至少两人击中靶：；（4）靶上仅中一弹：.5. 证明.证：先证.设是的一个基本事件，即，从而或，当时，必有且，从而必有；当时，必有且，从而必有且，所以有，综上所述，成立.下证.设是的一个基本事件，即，则有且;当时，有或；当时有或，因此有下列几种情形： （1），此时必有；（2）且，即，此时亦有；（3）且，即，此时有；（4）且，即，此时有，所以不论哪

5、种情形，均满足，故，由事件相等的定义可知1.2 随机事件概率的求法对于一个事件，除必然事件和不可能事件外，它在一次试验中可能发生，也可能不发生.人们常常需要知道某些事件在一次试验中发生的可能性大小，即通过求出事件的概率，揭示出这些事件内在的统计规律性，以便能更好地认识客观事物.这部分主要内容是：讨论在各种情况下，随机事件概率的求法.一、古典型概率与几何型概率的计算直接计算一个随机事件的概率只有在特定的简单试验模型中才可以进行，古典型概率与几何型概率都是在特定的古典试验概型（有限等可能）与几何试验概型（无限等可能）中，应用概率的古典定义与几何定义直接计算事件的概率.应该指出的是：（1）在古典型概

6、率的计算中，正确计算出所求概率的事件中所含的样本点数目（或中所包含的基本事件个数）是解此类题的关键，也是解题难点所在.如果能够从分析事件发生的结构出发，弄清导致发生的每个环节，将有助于正确计算中所含样本点数，避免漏算或重复计算的错误.在计算过程中经常会用到排列组合的有关知识，有时也需要列举法逐一分析有利用的样本点数.（2）在几何型概率的计算中，关键的问题是如何计算出有利于事件的度量（长度、面积、体积等），关于这一点，根据题设条件画出正确图形，并熟悉一些简单几何图形容积（面积、体积等）的计算将有助于解题.1. 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码.（1）

7、求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率. 解. 设表示事件“最小号码为5”，表示事件“最大号码为5”，而10人中任选3人共有种选法，此即为样本点的总数.（1）因选到的最小号码为5，则其中一个号码为5且其余两个号码都大于5. 它们可从610这5个数中选取.故.（2）同理可得.2. 将10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书靠在一起的概率. 解. 将10本书的每一种排列看作基本事件，则基本事件的总数为. 设表示指定的3本书靠在一起的事件，如果将3本书看作一本书与剩余的7本书进行排列，则有种，而3本书靠在一起的排法有种，故事件中所包含的基本事件个数为.所以 .3. 在区间内任取两个随机数

8、，求两数之积小于的概率. 解. 显然为一个样本点，从而样本空间 . 又设为所求事件，则易知 如图所示阴影部分所示，所求概率为阴影部分的面积与的面积之比，故 4. 将一根长为的棍子任意地折成3段，求此3段能构成一个三角形的概率.解. 设三段分别长为，由题意，只要确定了和，即可确定，故只须考虑和，显然要将棍子能分成三段，必有，其中，这就是的取值范围，所以此外，要构成一个三角形，必满足及，整理得因此所以构成三角形的概率二、利用概率与条件概率的性质和基本公式计算事件的概率古典概率要求试验的所有可能的结果必须满足有限性与等可能性这两个特殊的条件，而几何概率则保留了等可能性，把有限性扩展为无限。然而这些方

9、法都只能在某种范围中使用，并各自都存在一定的缺陷与局限性，因此有必要建立概率的一般定义并由此得出概率的一些重要的性质及基本公式. 在概率的基本公式中，加法公式、乘法公式与减法公式常常与事件间关系与运算结合应用，特别要注意两点：一个是在事件具备某种特定关系时，各公式的应用模式，比如当时，等；另一点应注意各个公式的灵活应用，比如从加法公式可以得到： ，等.5. 已知，试在下列两种情形下分别求出与.（1）事件、互不相容； （2）事件、有包含关系.解. （1）由于，因此.于是 （2）由已知及性质推得必定是. 事实上，若，由性质可得,因此与已知矛盾.故有，于是 6. 计算下列各题：（1）设,求；（2）设

10、,求；（3）设，求. 解. （1）， （2）, （3） 7. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解. 设事件表示“从10件产品中任取两件，有件不合格品”，. ，依题意所求概率为, 而 ， . .易见事件，因此,应用条件概率公式 8. 已知，且，求.解. 由知，从而.于是 其中 , 代入上式得 . 9. 为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统和，每种系统单独使用时，其有效的概率系统为0.92，系统为0.93，在失灵的条件下，有效的概率为0.85，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）失灵的条件下

11、，有效的概率.解. 依题意知，而 从而 .又 故 .又 得 .（1） .（2） .10. 设袋中装有r只红球，t只白球，毎次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.解. 设Ai (i=1, 2, 3, 4)表示事件“第i次取到红球”，则分别表示事件第三、四次取到白球，所求概率为 三、全概率公式与贝叶斯公式的应用全概率公式与贝叶斯公式的应用往往较前面几个公式（如加法公式、乘法公式等）复杂. 它们一般会在计算比较复杂事件的概率时经常使用，解这类题的关键是在明确所求事件的同时，找到一个合适的完

12、备事件组.11. 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1. 一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.解. 设事件表示“顾客买下该箱玻璃杯”，表示“任取一箱中恰有件残次品”，.依题意有，；，.（1）应用全概率公式.（2）应用贝叶斯公式 . 12. 在数字通讯中，由于存在随机干扰，接收到的信号可能与发出的信号不同。若发报机以0.8和0.2的概率发出信号0和1，当发出信号0时，接收机以0.9的概

13、率收到0信号，以0.1的概率收到1信号；当发出信号1时，接收机以0.8的概率收到1信号，以0.2的概率收到0信号今接收机收到一个0信号，问发报机发出的是何种信号.解. 令发出信号“0”，发出信号“1”，收到信号“0”，收到信号“1”，依题意有：，由贝叶斯公式，有 故当接到0信号时，发出的信号也是0的可能性远远超过发出的信号是1的可能性13. 袋中装有只正品硬币，只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷次，已知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率为多少？解. 令这只硬币是正品，这只硬币是次品，每次都得到国徽，则所以 14设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报

14、名表，其中女生的报名表分别为3 份、7份和5份. 随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率P；(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率.解. 设表示报名表是第i个地区考生的(i=1, 2, 3)，Aj表示第j次抽到的报名表是男生表(j=1, 2)，则P(H1)=P(H2)=P(H3)=P(A|)=； P(A|H)=； P(A1|H3)=(1) =P()=(2) 由全概率公式得 P(A2|H1)=，P(A2|H2)=，P(A2|H3)= P(A2|H1)=，P(A|H2)=，P(A2|H3)= P(A2)= P(A2)=因此，关于全概

15、率公式与贝叶斯公式的解题步骤可以概括如下：（1）应用全概率公式与贝叶斯公式时，首先要明确导致所讨论事件发生的完备事件组；其次要根据题设条件计算出与；最后应用全概率公式解出所要计算的概率或应用贝叶斯公式求出条件概率.（2）全概率公式中的完备事件组，可以是有限个事件（最少为两个：与），也可以是可列个事件.（3）全概率公式中的事件可以是一个单一的事件，也可以是一些事件运算后的一个事件.四、事件的独立性若事件与相互独立，则,又若事件相互独立，则 由此可见，事件的独立性会给一些概率的计算带来方便.14. 设是任意二事件，其中的概率不等于0和1，证明：是事件与独立的充分必要条件. 证： 由于的概率不等于0

16、和1，知题中两个条件概率都存在. 与独立.15某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在1小时内 （1）有机床需要工人照管的概率；（2） 机床因无人照管而停工的概率.解：（1）设Ai表示“甲、乙、丙三台机床无需照管”i=1, 2, 3，则有机床需要工人照管的事件为，因而=0.568（2）以B表示“机床因无人照看而停工” =0.2×0.1×0.6+0.2×0.9×0.4+0.8×0.1×0.4+0.2×0.1×0.4 =0.

17、12416已知与独立，与独立，求证：与独立当且仅当与独立.证： P(AB)C)=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)P(ACBC)=P(AC)+P(BC)P(ABC)又A与C独立，B与C独立 P(AB)C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)P(ABC)若AB与C独立时，则P(ABC)=P(AB)P(C)此时 P(AB)C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)P(AB)P(C) =P(A)+P(B)P(AB)P(C) =P(AB)P(C) 故 AB与C独立.若AB与C独立则 P(AB)C)=P(AB)P(C)，由前面的式子得P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)P(AB)P(C)

18、 =P(A)+P(B)P(AB)P(C) =P(AB)P(C)故AB与C独立第2章 随机变量及其分布随机变量的引入使随机事件有了数量标识，进而能够用函数来刻画与研究随机事件，同时能够将微积分中关于函数的导数、积分、级数等方面的知识用于一些概率与分布的数字特征的计算. 随机变量在近代概率论与数理统计中占有基础地位.随机变量通常分为两类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离散型随机变量范围很广，其中最重要，实际工作中也常遇到的是连续性随机变量. 掌握随机变量及其概率分布的基础是：理解随机变量分布函数的概念和性质、离散型随机变量及其概率分布的概念与性质、连续性随机变量及其概率密度的概念和性质；会

19、计算与随机变量相联系的事件的概率.此外，还应会根据自变量的概率分布求其较简单函数的概率分布.本章的基本问题: (1)离散型随机变量; (2)连续性随机变量; (3)常见随机变量的概率分布及其应用; (4) 求随机变量函数的分布.2.1 离散型随机变量这一部分的主要内容是: 求离散型随机变量的概率分布及分布函数. 要求掌握概率分布及分布函数的定义和性质. 在解题中时常常会用到的结论： 的定义域是，值域；一、 求离散型随机变量的概率分布求离散型随机变量的概率分布，首先要明确其全部可能取值其次要计算随机变量取各相应值的概率. 前者很容易，后者的计算应结合求随机事件概率的各种方法与概率的基本公式完成.

20、1. 某人投篮，命中率为0.7，规则是：投中后或投了四次后就停止投篮，设表示“此人投篮的次数”，求的分布律. 解. 设表示“第次投中篮框”，.由题意，可以认为各相互独立.于是 ； ； ； 或者 从而得的分布律为 2. 设随机变量的分布函数为 求（1）的概率分布；（2）.解. （1）在的连续点，只有在的间断点处取值的概率才大于零，且 则，因此，的概率分布为 （2） 二、求离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数在取值为正概率的点处间断，其图形有一个跳跃，跳跃高度恰好等于取值的概率.3. 设随机变量的所有可能取值为1,2,3,4. 且已知概率与成正比，即，试求（1）常数；（2）的分布函数.

21、 解. （1）由概率分布的性质可得： 故 . (2) 由（1）可得：的分布律为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，；当时，.故的分布函数为 2.2 连续型随机变量这一部分的内容主要是: 求连续型随机变量的概率密度及分布函数.要求掌握概率密度及分布函数的定义和性质. 在解题中常用结论：；在连续性随机变量的概率密度的连续点处，.一、 求连续型随机变量的概率密度与离散型随机变量的概率函数不同的是：连续型随机变量的概率密度虽然是非负的，但是不一定不超过1，即的取值有时可能大于1.1. 设随机变量的分布函数为 求（1）概率;（2）的概率密度. 解. （1）由性质可得： （2）的概率密度为 二、 求连

22、续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数是内的连续函数，对任意实数，.因此连续型随机变量取任何一个给的数值的概率都是0.2设随机变量X的分布密度为，求(1) 常数A； (2) X的分布函数； (3) . 解：(1) 由性质 即： A=(2) 由(1)知f(x)= F(x)= (<x<+)(3) P(1X<1)=F(1)F(1)= 3一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量的分布函数.解：设表示弹着点到圆心的距离的取值，由已知由于射击都能中靶，故，从而得的分布函数当时，是不

23、可能事件，故；当时，此时概率与该圆盘面积成正比，得当时，是必然事件，故所以. 2.3 常见随机变量的概率分布及其应用 0-1分布、二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、指数分布及正态分布等常见分布及其应用在各类考题中出现较多，特别是二项分布与正态分布更为多见. 要牢固掌握这些分布及其应用，还需要理解各分布中参数的概率意义，它们与分布数字特征间的关系.比如用二项分布描述独立重复试验时，参数是独立重复试验的次数；参数是每次试验的成功率. 在计算与各分布有关事件的概率时一般需已知分布参数，如果参数未知，通常要根据题设条件先求出分布参数（个别情况例外）.1假定一厂家生产的每台仪器，以概率0.

24、7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂. 现该厂新生产了10台仪器，假设毎台仪器的生产过程相互独立，求（1）全部能出厂的概率；（2） 恰好有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率. 解：设为一台仪器能出厂的概率，则=0.7+0.8×0.3=0.94，将检查一台仪器是否能出厂看成一次试验，可以认为n=10，=0.94，设X为10台仪器中能出厂的个数，则（1）PX=10=（2）PX=8=（3）PX2=1PX<2=2某种型号的电子管的寿命X（以小时计）具有以下概率密度：现有一大批此种管子（各电子管损坏与

25、否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：任取一只电子管，其寿命大于1500小时的概率为： PX>1500=以Y记所取5只中寿命大于1500小时的电子管的数目则YB，故所求概率为 PY2=PY=0PY=1=13设随机变量在上服从均匀分布.求方程 有实根的概率.解：的密度函数为 方程有实根的条件是即或（舍去）而所以方程有实根的概率为4. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分钟计）服从指数分布，其概率密度为 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要到银行5次.以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数.写出的分布律，并求. 解：该顾客

26、未等到服务而离开的意味着，因此未等到服务而离开的概率变量的取值为0，1，2，3，4，或5，且服从二项分布，则的分布律为 从而 2.4 求随机变量函数的分布已知一个随机变量的分布，又知另一个随机变量与的函数关系，求随机变量的分布属于求随机变量函数的分布问题。一、 求连续型随机变量函数的分布如果是连续型随机变量，而也是连续型随机变量，通常有两种方法：（1）先通过的概率密度或分布函数求出的分布函数，再求概率密度. .（2）单调函数公式法：即如果是严格单调可导函数，且不恒等于0，反函数的定义域为，则 的概率密度为1 .设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量的概率密度. 解： 由已知XN(0, 1)

27、X的分布密度为f(x)=设Y的分布函数为F(y)，分布密度为(y)当y1时 =P(|X|)=2P(X)= (y), (y1) 归纳得 Y=12|X|的分布密度为 (y)2. 设随机变量的概率密度为 求的概率密度.解： 在取值时，在上取值，故当或时,.当时，的分布函数为 .所以当时， .因此，所求的概率密度为 3. 设随机变量的概率密度为 是的分布函数. 求随机变量的分布函数.解：易见 ，当时，；当时，.对于，有 .设是随机变量的分布函数.显然，当时，；当时，.对于，有 .于是，的分布函数为 二、 讨论其他情况随机变量函数的分布如果是连续型随机变量而是离散型随机变量，则解题思路与都是离散型随机变

28、量相同，即先明确的可能取值，再一一计算出取相应值的概率.例如：设服从区间上的均匀分布，随机变量是的函数 求的概率分布.易见是离散型随机变量，由于,因此的可能取值为.于是 ， .第3章 多维随机变量及其分布随机变量的的联合分布函数能够完整地描述它们的取值规律.联合概率函数，与联合概率密度是分别用于描述离散型与连续型两种不同类型随机变量的更常用的表达形式. 已知它们（联合分布）可以直接求出边缘分布（边缘分布律或边缘分布密度）与条件分布（条件分布律或条件分布密度）. 随机变量的独立性是个重要的概念，必须要掌握它的判定方法. 根据随机变量的的联合分布求其函数的分布，特别是求两个随机变量函数的分布也是在

29、各类考试中时有出现的题型.本章的基本问题: （1）随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布及随机变量的独立性;（2）求两个随机变量函数的分布.3.1 随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布及随机变量的独立性这一部分的主要内容是: 求随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布，判定随机变量和是否独立. 一、 求离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律及条件分布律并判定离散型随机变量的独立性对于二维离散型随机变量，若要判定它们不相互独立，只需找到一个，使即可，若要判定相互独立，则需检验所有的均满足才行.对于二维离散型随机变量，如果已知联合概率函数，可以根据定义直接求出边缘分布律和条件分布律.1将两封信随机

30、地往编号为，的四个邮筒内投，设表示第k个邮筒内信的数目（k = 1, 2）.求（1）的联合分布律；（2）中关于的边缘分布.解：（1） 依题意知：(X1, X2)的可能取值为(0, 0)，(0, 1)，(0, 2)，(1, 0)，(1, 1)，(2, 0) P(X1=0, X2=0)=PX1=0 · pX2=0|X1=0= P(X1=0, X2=1)= P(X1=0, X2=2)= P(X1=1, X2=0)= P(X1=1, X2=1)= P(X1=2, X2=0)= P(X1=1, X2=2)=P(X1=2, X2=1)=P(X1=2, X2=2)=0 (X1, X2)的联合分布律

31、：X2X1012010200（2） 关于X1的分布律为：X1012P关于X2的分布律为：X2012P2 .已知随机变量X与Y的分布律为：X-101P1/41/21/4Y01P1/21/2且已知.（1）求（X，Y）的联合分布律；（2）X与Y是否相互独立，为什么？解：(1) 由P(XY=0)=1，可见 PX=-1, Y=1=PX=1, Y=1=0易见 =0于是，得X和Y的联合分布：XY-10100100(2) P(X=0, Y=0)=0而P(X=0)P(Y=0)= P(X=0) P(Y=0)P(X=0, Y0) X, Y不独立3. 将一枚硬币抛掷三次，以表示在三次中出现正面的次数，以表示三次中出现

32、正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试（1）写出，的联合分布律. （2）求随机变量的边缘分布律.解：可能取值为0，1，2，3。Y可能取值为3，1，的联合分布律为Y X0123100300（1） 由（1）可得： ，即的联合分布律及边缘分布律为Y X01231003001二、 求连续型随机变量的联合概率密度、边缘分布密度及条件分布密度并判定连续型随机变量的独立性对于二维连续型随机变量，在从联合概率密度求时，当对或对的积分区间从换为的积分区间时，画出的平面图形将有助于正确确定积分区间.根据求条件概率密度、时，不仅在求边缘密度时要注意使的积分区间，而且还要注意两点：一是只有当相应的边缘分布密度不为零时

33、，条件概率密度才存在；另一个是在一个随机变量，比如取值时，另一随机变量的条件概率密度的取值范围.二维均匀分布与二维正态分布是二维连续型随机变量中两个最常见的分布，它们有很多一般二维随机变量所不具备的特殊性质，一定要理解其中参数的的概率意义.若是连续型随机变量，则相互独立.4. 设的概率密度为 试求：（1）常数；（2）分布函数；（3）边缘分布函数及边缘概率密度；（4）.解：（1）由概率密度的性质得 故 （2） 故 （2） 由边缘分布函数的定义得于是，得到 （4） =.5设二维随机变量（X，Y）的联合分布密度为（1） 求；（2） X，Y是否相互独立？（3）求.解：（1） fX|Y(x|y)=fY|

34、X(y|x)= 而 fX(x)= fY(y)= ，（2） 由（1）知= f (x, y) X，Y相互独立（3） 6设二维随机变量（X，Y）在区域内服从均匀分布.求（1）（X，Y）的联合分布密度；（2） X与Y的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？（3）.解：（1） 区域0x1，y2x的面积A由图如示： 则：依题意有： （2） 又 X, Y不相互独立.（3） .7. 设随机变量的概率密度为 （1）求条件概率密度，；（2）问与是否相互独立？解：（1）因为 所以当时 当时 （2）显然 不相互独立3.2 求两个随机变量函数的分布 求两个随机变量函数的分布问题，对于离散型随机变量仍是确定其作为函数的随机

35、变量的取值及取各相应值的概率，对于连续型随机变量最基本的方法仍是先求出其分布函数，再根据分布函数求概率密度。 一、 求二维离散型随机变量函数的分布律 设是二维离散型随机变量，其分布律为则随机变量的分布律为 注意：若对于不同的有相同的值，则取这些相同值的概率应当合并.1. 已知离散型随机变量的分布律为Y X01200.100.250.1510.150.200.15 求（1）； （2）； （3）的分布律.解：由的分布律可列表如下 在上表中将取相同值所对应的概率合并，分别得到（1）的分布律为 （2）的分布律为 （2）的分布律为 2. 设，是否相互独立的随机变量，它们分别服从参数为的泊松分布，证明服从

36、参数为的泊松分布.证：的可能取值为0，1，2，的分布律为 ， 所以服从参数为的泊松分布二、 求二维连续型随机变量函数的联合概率密度及随机变量函数分布的综合题型 已知的联合概率密度，而随机变量是与的函数，为已知，则随机变量的分布函数为 .而的概率密度. 若与独立且概率密度分别为与,则的概率密度可以直接利用卷积公式计算，即 或 值得注意的是：在卷积公式中，使被积函数不为零的区间往往不是，因此将被积函数换为具体表达式时，一定要注意积分区间的正确选取.3.设X、Y为随机变量，且,，求.解：Pmax(XY)0=P(X0)(Y0)=4. 设随机变量和的联合分布是正方形上的均匀分布，试求随机变量的概率密度.

37、解：由题设可知随机点分布在正方形内， 由分布函数的定义知 当时，区域与三角形区域无交集，故；当时，区域与三角形区域的交集为一梯形，从而；当时，区域与三角形区域的交集为整个三角形区域，此时，于是求得分布函数为 5. 设随机变量的概率密度为 令为二维随机变量的分布函数. 求（1）的分布密度；（2）.解：（1）的分布函数为 .当时，；当时， 当时， 当时，；故的概率密度为 （2） 6. 设随机变量与相互独立，的概率分布为的概率密度为 记. 求（1）； （2）的概率密度. 解：（1）. （2） 故 第4章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征是概率分布的某种表征，是描述随机变量特征的有效工具.特别是最

38、重要的几个数字特征：数学期望，方差，相关系数等都有明确的概率意义，同时又具有良好的性质.因此数字特征的概念在概率论与数理统计中具有很重要的地位.求随机变量的数字特征，实际上可归结为求随机变量及其函数的数学期望问题.比如一个随机变量的方差，各阶原点矩与各阶中心矩，两个随机变量的协方差和相关系数都是求一个或多个随机变量函数的数学期望.本章的基本问题: (1) 数学期望和方差； (2)协方差和相关系数、矩.4.1 数学期望和方差数学期望反映了随机变量的平均值，而描述随机变量取值分散程度的数值特征就是方差，期望和方差是刻画随机变量性质的两个最重要的数字特征.这部分主要内容是：（1）求随机变量及其函数的

39、期望；（2）求随机变量的方差.一、 求随机变量及其函数的期望求随机变量函数的数学期望有三种方法：（1）先求出随机变量函数的分布，利用期望定义直接计算。（2）利用数学期望的性质从的期望求出其函数的期望.（3）利用随机变量函数的期望公式，从的分布和的函数关系求出的数学期望.在解题中，常会考查到随机变量数学期望的两条性质：（1）;（2）若与独立，则.与前面类似，随机变量及其函数的数学期望也分离散型和连续型两种情形.1对一台仪器进行重复测试，直到发生故障为止，假定测试是独立进行的，每次测试发生故障的概率为0.1，求试验次数X的数学期望.解：由题意：PX=k=(0.1)·(0.9)k1 (k=

40、1, 2, ) E(X)=，又 故 E(X)=(0.1)=10.2设X，Y是任意两个同分布的正值随机变量，且相互独立，证明：.证： 随机变量X与Y独立同分布，则E(X)=E(Y)，且 ，从而有，故 3. 甲乙二人进行乒乓球比赛，毎局比赛甲胜的概率为,乙胜的概率为，比赛进行到有一人连胜两局时结束，求需要进行的比赛局数的数学期望（本题考察求离散型随机变量的数学期望基本方法是首先写出X的可能取值，并求出X的分布律，再用定义求离散型随机变量的数学期望） 解: X的可能取值为: 2,3,4,5,6,7, X的分布律为:, 则有4. 在半径为R的半圆周上任取两点，求以这两点及圆心为顶点的三角形面积S的数学

41、期望 解: 设在半径为R的半圆周上任取两点，对应的圆心角为，可知，其概率密度函数为，因为 所以 5设二维随机变量的概率密度,求X与Y的最大值的数学期望E 解: 由题设知相互独立且同服从， 则有 （应用概率积分: ）6设随机变量，相互独立，都在上服从均匀分布，求它们的最大值与最小值的数学期望 解：设，因为相互独立且同服从上的均匀分布，则的分布函数为 可得的分布函数为 进一步可得的概率密度函数为所以, 的数学期望为 7设随机变量X服从参数为1的指数分布，求.解： X服从参数为1的指数分布， E(X)=1而 E(e2X)= ， E(X+e2X)=E(X)+E(e2X)=1+8. 一工厂生产的某种设备

42、的寿命X（以年计）服从指数分布，密度函数为,为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在(一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 解：法一：PX1=，设Y表示厂方出售一台设备的赢利数，则Y的分布律为 Y 100 200 P E(Y)=33.64 法二：E(Y)= =33.649袋中有N张卡片，分别写有号码1、2、，N。从袋中任取一张卡片，记录其号码后仍放回袋中，如此共取n次，求取出的n张卡片上号码的总和X的数学期望 解：设表示第次取出的号码()，相互独立，每一个可能的取值为，且，则由，可得10袋中有N个不同颜色的球，每次

43、从袋中任取1个球，记录其颜色后仍放回袋中为了取出种不同颜色的球，平均需取多少次？例如，设N=10，分别计算n=2，3，10时平均需要取的次数 解：设随机变量表示取出第种不同颜色的球后，直至取出第种不同颜色的球时需要取球的次数，则当取出种不同颜色的球时所需取球的总次数. 显然，当取出第种不同颜色的球后，每次取得新颜色（即第种颜色）的球的概率，随机变量服从几何分布，我们有由此得， 如果，则对应于的不同的值，的值如下：n23456789102.113.364.796.468.4610.9614.2919.2929.2911. 设随机变量与相互独立，且均服从参数为的指数分布，记，求（1）的概率密度；（

44、2）.解：（1）设的分布函数为，则当时，；当时，故 的概率密度（2）法一： 则 法二：同理，的概率密度 二、 求随机变量的方差求随机变量函数的方差有两种方法：（1）利用方差的定义直接计算，若是离散型随机变量，其分布律为，则.若是连续型随机变量，其概率密度为，则.（2）利用方差的计算公式：. 另外在利用方差的性质做题时，要特别注意独立性这个条件.12设随机变量X服从几何分布，其分布律为，其中是常数，求与.解：E(X)=； 13. X为连续型随机变量，概率密度满足：当时，=0，证明：证： axb， a=a容易证明 D(X)E(xc)2，取c= D(X)=14. 靶的直径为1m，以靶的中心为圆心画1

45、0个同心圆，半径分别为5，10，15，50cm射击时，击中点落在靶心最小的圆域内得10环；落在其它各环形域内依次得9，8，7，1环；脱靶得0环设二维随机变量表示击中点的坐标，（靶心为坐标原点），已知其概率密度 求一次射击得到的环数的数学期望与标准差（本题考察求离散型随机变量的数学期望与标准差基本方法是首先写出X的可能取值，并求出X的分布律，再用定义求离散型随机变量的数学期望，最后利用方差与均值的关系求方差、标准差）解：随机变量的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.|时，我们用 （）表示相应击中点的坐标所在的环形域则可得，= ， （） 从而有： =7.993415. 设两个随机

46、变量相互独立，且都服从均值为0，方差为的正态分布，求随机变量的方差. 解：令，则,.因独立正态变量的线性组合仍服从正态分布，故.为求，需要先计算： ， .4.2 协方差和相关系数、矩求两个随机变量的协方差和相关系数实际上都是求一个或多个随机变量函数的数学期望.相关系数是描述两个随机变量间关系的数字特征.当是的线性函数时，它们的相关系数的绝对值是1.一般地，任何两个随机变量的相关系数满足：.这部分主要内容是：（1）求两个随机变量的协方差和相关系数；（2）求各阶原点矩与各阶中心矩.一、 求两个随机变量的协方差和相关系数两个随机变量与独立是相关系数为零的充分而非必要条件.因此下面五个命题的关系是：与相互独立与的相关系数两个随机变量的协方差、相关系数常用的结论有：（1）.（2）是常数.（3） 当与相互独立时，.1. 设随机变量（X，Y）服从正态分布，且X和Y分别服从正态分布，X与Y的相关系数.（1）求Z的数学期望和方差；（2）求X与Z的相关系数.解：(1) E(Z)=； D(Z)= (2) 而D(X+Z)= = 2设随机变量（X，Y）的概率密度为：求数