中南大学塑性加工课件第08章教材

1、第8章 滑移线理论及应用8.1概述8.2平面应变问题和滑移线场8.3汉盖（Hencky）应力方程滑移线 的沿线力学方程8.4滑移线的几何性质8.5应力边界条件和滑移线场的绘制8.6三角形均匀场与简单扇形场组合问题 及实例 滑移线理论是根据平面应变平面应变的变形力学特点，通过联解精确精确平衡微分方程与精确塑性条件，求得理想刚塑性体平平面应变问题变形力以及变形区内应力分面应变问题变形力以及变形区内应力分布布的一种图解与数值计算相结合的方法。8.1 概述 滑移线理论是二十世纪二十年代初，基于以下实验现象基于以下实验现象而发展起来的：当金属进入塑性变形的初期，人们可以从光滑的金属试样表面观察到一些规则

2、取向的条纹，即所谓的“滑移带滑移带”现象。 实验表明，条纹上各点的切线方向正好是该点的最大切应力方向。同时，金属塑性变形的微观机理研究表明，这些条纹也恰好是金属晶体滑移变形的实际滑移面与金属试样表面的交线，滑移线的名称即由此而来。据此，塑性力学上把塑性流动平面内，最大切应力等于屈最大切应力等于屈服切应力的轨迹线称为滑移线。服切应力的轨迹线称为滑移线。由于各点的最大切应力平面是成对正交的，因此滑移线在塑滑移线在塑性流动平面内为两族正交的曲线性流动平面内为两族正交的曲线。 实验表明，条纹上各点的切线方向正好是该点的最大切应力方向。同时，金属塑性变形的微观机理研究表明，这些条纹也恰好是金属晶体滑移变

3、形的实际滑移面与金属试样表面的交线，滑移线的名称即由此而来。据此，塑性力学上把塑性流动平面内，最大切应力等于屈最大切应力等于屈服切应力的轨迹线称为滑移线。服切应力的轨迹线称为滑移线。由于各点的最大切应力平面是成对正交的，因此滑移线在塑滑移线在塑性流动平面内为两族正交的曲线性流动平面内为两族正交的曲线。 由于金属塑性变形的基本机制是晶体在切应力作用下沿着特定的晶面和晶向而产生滑移，滑移结果在试样表面显露出滑移台阶，因此，滑移线是金属塑性变形时，发生晶体滑移线是金属塑性变形时，发生晶体滑移的可能地带滑移的可能地带。只有特定的晶面和晶向的切应力达到金属的临界屈服切应力时才会使晶体产生滑移变形。 现在

4、，滑移线理论成为了求解理想刚塑性体平面应变问题的重要方法之一，广泛应用于长宽比较大的矩形工件的平锤压缩、宽板平辊轧制和板条平面挤压、拉拔等变形力和应力分布的计算上。 近二十多年来，又推广到了主应力互为异号的平面应力问题和轴对称问题等等方面。8.2平面应变问题和滑移线场 对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零（设duZ=0），故只有三个应变分量（ 、 、 ），也称平面应变问题。平面应变问题的最大切应力为：xdxdxdxdydxyd 2231max2/ )(2/ )(xyyx 这是一个以max为半径的圆方程，这个圆便称为一点的应力状态的莫尔圆。 图8-1 平面应变问题应力状态的几何表示

5、 （a）塑性流动平面（物理平面），（b）-正交曲线坐标系的应力特点，（c）应力莫尔圆abc 根据平面流动的塑性条件， max = k（对Tresca塑性条件k = T/2；对Mises塑性条件 由图8-1(C)的几何关系可知，有 2sinkpx2sinkpy2coskxy式中静水压力定义为最大切应力max (= k)方向与坐标轴Ox的夹角3/Tk)2/)(yxmp图8-2 x-y坐标系与-滑移经网络 tgdxdyctgtgdxdy)2/(线线微分方程：滑移线场定义滑移线场定义8.3汉盖（Hencky）应力方程由平面应变问题的微分平衡方程 0yxyxx0yxyxy02cos22sin202sin

6、22cos2ykxkypykxkxp得 第一式乘以cos，第二式乘以sin ，然后两相加，经整理变换后得沿线的微分方程 02kp0)2(kp或类似变换可得沿线的微分方程 02kp0)2(kp 或沿某一线积分，得到 )(221Ckpkpbbaa常数或得关系式)(2abbakpp同理)(222Ckpkpbbaa常数或得关系式)(2babakppababkp2对对线取“+”号，对线取“-”号8.4 滑移线的几何性质 同族的两条滑移线（如1和2线）与另一族任意一条滑移线（如1或2 ）相交两点的倾角差和静水压力变化量均保持不变。 图8-3 证明Hencky第一定理的两对滑移线 证明：沿1线从点A点BBB

7、AAkpkp22沿2线从点B点CccBBkpkp22于是，得沿路径ABC和静水压力差 )2(2BCAACkPP同理)2(2CADACkPP由上两式可得ADBC同理ADBCpppp 一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dR）等于该点所移动的路程（如dS）。 证明：设、线上任一点的曲率半径分别为R 、R ，由曲率半径的定义知： SR/1SR/1和S沿弧S 的变化率为： SRSRdSRddSSd)()(根据汉盖第一定理有， SRdSSd)(当曲线四边形单元趋近无限小时 SRdSSdABAmtg)(比较上两式，可得 1SR同理1SRl滑移线为最大切应力

8、等于材料屈服切应力为k的迹线，与主应力迹线相交成/4角；l滑移线场由两族彼此正交的滑移线构成，布满整个塑性变形区；l滑移线上任意一点的倾角值与坐标的选择相关，而静水压力p的大小与坐标选择无关；l沿一滑移线上的相邻两点间静水压力差（ pab）与相应的倾角差（ab）成正比；l同族的两条滑称线（如1和2线）与另族任意一条滑称线（如1或 2线）相交两点的倾角差 ，和静水压力变化量p均保持不变；l一点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dR ）等于该点所移动的路程（如dS）；l同族滑移线必然有个相同的曲率方向。滑移线的基本性质：滑移线的基本性质：8.5 应力边

9、界条件和滑移线场的绘制 （8.11） 滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p 和角。 根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类。 这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线网的边值问题，即所谓黎曼（Riemann）问题。 对于任意网点（m, n）的坐标（x, y），可将滑移线的微分方程，写成差分形式 tgxydxdyctg)2/(tgxydxdy线线则有vnmxnmxnmynmytg), 1(),(), 1(),(vnmxnmxnmynmyctg) 1,(),() 1,(),

10、(式中A/2n)1,-(mn)(m,n)1,-(m(1/2) vB/21)-n(m,n)(m,1)-n(m,(1/2) v则得)/()1,(), 1(), 1() 1,(),(BAnmBxnmAxnmynmynmx)/()1,(), 1(), 1() 1,(),(BAnmABxnmABxnmBynmAynmy 据此，可依次逐渐求得场内全部结点的坐标，依编码连线，从而绘制出等倾角差为的滑移线网。 这是已知一条不为滑移线的边界AB上任一点的应力分量（x、y、xy）的初始值，求作滑移线场的问题，即所谓柯西（Cauchy）问题。 这是给定一条线OA，和与之相交的另一条不是滑移线的某曲线OB（可能是接触边界线或变形区中的对称轴线）上倾角值1（见图8-9）。如对称轴线上，其1等于/4。 例题：张角为的双心扇形场的结点计算。 8.6 三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例 金属塑性加工中，许多平面应变问题的滑移线场