理论力学11动量矩定理分析解析

1、 第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理Cm, lCm, r问题的提出：问题的提出：11-1质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩1 1质点的动量矩质点的动量矩对点对点O O 的动量矩的动量矩vmrvmMO)(说明：说明：1 1矢量，方向矢量，方向2 2单位：单位：Kg.mKg.m2 2/s/sxyzOMO(mv)Qmvr对轴对轴z z的动量矩的动量矩说明：说明：1 1、代数量、代数量2 2单位：单位：Kg.mKg.m2 2/s/s)()(vmMvmMzzO3 3、QAxyzqOAmvQMO(mv)Mz(mv)r 质点动量 mv 在 oxy 平面内的投影(mv)xy对于点O的矩，定义为质点动

2、量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩。 类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动量矩。)( vmMZ 2 2质点系的动量矩质点系的动量矩 对点的动量矩对点的动量矩 对轴的动量矩对轴的动量矩)(1iiOniOvmML)(1iiznizvmMLzzOLL质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和。质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的动量矩的代数和。（1 1） 刚体平移。可将全部质量集中于质心，刚体平移。可将全部质量集中于质心， 作为一个质点计算作为一个质点计算（2 2） 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 转动惯量转动惯

3、量)(CzzvmML )(COOvmML 2iiiiirmrrmiiiiizzrvmvmML)(zzJL 11-2 11-2 动量矩定理动量矩定理 1 1质点的动量矩定理质点的动量矩定理设设O O为定点为定点，有，有vmrvmMO)()(dd)(ddvmrtvmMtO)( vmtrvmtrddddFvmt)(dd其中：其中：vtrdd0vmvxyzOMO(mv)QmvrMO(F)F)(0FMFr投影式：投影式：称为称为质点的动量矩定理质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。因此因此 )()(d

4、dFMvmMtOO)()(FMvmMtxxdd)()(FMvmMtyydd)()(FMvmMtzzdd质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩。2. 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理)()()(dd)()(eiOiiOiiOFMFMvmMt)()()(dd)()(eiOiiOiiOFMFMvmMt 设由设由n个质点组成的质点系。其中第个质点组成的质点系。其中第i个质点个质点的动量为的动量为mivi，作用在该质点上的外力，作用在该质点上的外力 内力为内力为 ，由质点的动量矩定理，由质点的动量矩定理(e)iF(i)iF)()()()()(eiOiiOiiOFMFMvm

5、Mtdd 由于由于 得得)(dd)(eiOOFMtL)()()()()(eiOiiOiiOFMFMvmMtdd)(1iiOniOvmML说明：说明：1、投影式：、投影式：2、内力不能改变质点系的动量矩。、内力不能改变质点系的动量矩。称为称为质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理：质点系对某质点系对某定点定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。外力对于同一点的矩的矢量和。)(dd)(eiOOFMtL)(dd)(eixxFMtL)(dd)(eizzFMtL)(dd)(eiyyFMtL质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作

6、用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。3动量矩守恒定律动量矩守恒定律若若 ，则，则 常矢量；常矢量；0)(FMO)( vmMO若若 ，则，则 常量。常量。0)(FMz)( vmMz(1)质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律)()(ddFMvmMtOO)()(FMvmMtzzdd(2)质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律若若 ，则，则 常矢量；常矢量；0)()(eOFMOL若若 ，则，则 常量。常量。0)()(ezFMzL)(dd)(eiOOFMtL)(dd)(eizzFMtL例例 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量，质量为为m1，

7、绕，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮。作用在鼓轮上的力偶矩为上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为，轨道倾角为a a。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。aMOv解：以系统为研究对象，看作为质点系解：以系统为研究对象，看作为质点系,受力如图。受力如图。车鼓轮LLLO(e)2()sinOMMm gRaF22d()sindJm vRMm gRtaaMOm2gFNvm1gFOxFOyvRmJ2(e)2()sinOMMm gRaF)()(eiOOFMtLdd因 ,于是解得d,d

8、vvaRt2222sinRmJgRmMRaa若若Mm2gR sin a a，则，则 a0，小车的加速度沿轨道向上。，小车的加速度沿轨道向上。 必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。全一致。22d()sindJm vRMm gRtaaMOv例例 图示卷扬机鼓轮质量为图示卷扬机鼓轮质量为m1，半径为，半径为r，可绕过鼓，可绕过鼓 轮中心轮中心O的水平轴转动。鼓轮上绕一绳，绳的一端的水平轴转动。鼓轮上绕一绳，绳的一端 悬挂一质量为悬挂一质量为m2的的重物。鼓轮视为匀质，并令

9、其对重物。鼓轮视为匀质，并令其对O轴的转动惯量为轴的转动惯量为JO。今在鼓。今在鼓轮上作用一不变力轮上作用一不变力 矩矩M，试求重物上升的加速度。，试求重物上升的加速度。rv解：解：研究质点系研究质点系-鼓轮与重物鼓轮与重物 OMm2gvm1gFoxFoy系统对系统对O轴的动量矩：轴的动量矩：vrmJLOO2vrmrJLOO2由动量矩定理由动量矩定理解得解得rmrJgrmMao22 OMm2gvm1gFoxFoy)(eiooFMdtdLgrmMdtdvrmrJO22例例 一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为 m 的重的重物物A，另一端有一质量为，另一端有一质量为m的

10、人以速度的人以速度u 相对细相对细绳向上爬。若滑轮半径为绳向上爬。若滑轮半径为r，质量不计，并且开，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。始时系统静止，求人的速度。mgmguAO解：以系统为研究对象，受力如图。解：以系统为研究对象，受力如图。设重物设重物A上升的速度为上升的速度为v，则人的绝对速度，则人的绝对速度va的大小为的大小为vuva0mvrrmvLaO0)(mvrrvumLO由于由于S SMO(F (e)0，且系统初始静止，所以，且系统初始静止，所以LO0。2uv 2uva由上可知，人与重物由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等具有相同的的速度，此速度等于人相对绳的速度的一

11、半。如果开始时，人与重物于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人与重物与重物A将始终保持相同的高度。将始终保持相同的高度。uvavevmgmguAOFOxFOyv 11-311-3刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程对于一个定轴转动刚体对于一个定轴转动刚体zzLJ刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程xyzFN1FN2FnF1F2质点系动量矩定理质点系动量矩定理)(FMJzza)(22FMdtdJzz)()(FMJdtdzZ刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程)(FMJzza转动惯量是刚

12、体转动惯性的度量。转动惯量是刚体转动惯性的度量。刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的力对该轴的矩的代数和。例例 如图所示，已知滑轮半径为如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯，转动惯量为量为J，带动滑轮的皮带拉力为，带动滑轮的皮带拉力为F1和和F2 。求滑轮的角加速度求滑轮的角加速度a a 。 解：由刚体定轴转动的微分方程12()JR FFa于是得12()FF RJa由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。F1F2ORa解除约束前：解除约束前：突然解除约束瞬时：突然解除约束瞬时： FOx=？,FOy=

13、？例例 关于突然解除约束问题关于突然解除约束问题OFOyFOxW=mgABOFOxFOW=mgAB突然解除约束瞬时，突然解除约束瞬时，杆杆OA将绕将绕O轴转动，轴转动，不再是静力学问题。不再是静力学问题。这时，这时， 0，a 0。需要先求出需要先求出a ，再确再确定约束力。定约束力。应用定轴转动微分方程应用定轴转动微分方程lglmgml23,2312aa应用质心运动定理应用质心运动定理nnFma42mglmmgFOyaOyFmglma2oxF0FmaAB11-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量一定义一定义：iiizrmJ2rimiO 由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有

14、关；在国际单位制中，转动惯量的单位是: kgm2。同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式2dzJrm (1). 均质细杆ddmmxl222121d12llzmJx xmll2201d3lzmJx xmll2lz1dxxxCzdxxxOl设均质细杆长 l，质量m二转动惯量的计算二转动惯量的计算积分法积分法取微段 dx, 则RzmRdrrRmJ0232212(3)半径为半径为R，质量为，质量为m 的均质薄圆环的均质薄圆环(2)半径为半径为R，质量为，质量为m 的均质薄圆盘的

15、均质薄圆盘2mRJz 在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为mJzz如果已知回转半径，则物体的转动惯量为2zzmJ 回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。2. 惯性半径惯性半径 （或回转半径）（或回转半径） mdzCz13、平行轴定理、平行轴定理21mdJJCzzC 式中式中: ZC 轴为过质心且与轴为过质心且与 Z 轴平行的轴，轴平行的轴，d 为为Z与与 ZC 轴之间的距离。轴之间的距离。 定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离

16、平方的乘积，4组合法组合法OOOJJJ杆盘222221)(2131RlmRmlm)423(213122221lRlRmlm解解：钟摆：钟摆： 均质直杆均质直杆m1, l ； 均质圆盘：均质圆盘：m2 , R 。 求求 JO 。5试验法试验法对于几何形状复杂的物体对于几何形状复杂的物体形状形状简简 图图转动惯量转动惯量惯性半径惯性半径体体 积积 细细直直杆杆 圆圆柱柱 薄薄壁壁圆圆筒筒212lmJzC23lmJz2mRJz221mRJz22312lRmJJyxRzllzC289. 032llz578. 03Rlh2RRz707. 02223121lRyxlR2常见均质物体的转动惯量和回转半径常见

17、均质物体的转动惯量和回转半径 空空心心圆圆柱柱 薄薄壁壁空空心心球球 实实心心球球 222rRmJz232mRJz252mRJz2221rRz22rRlRRz816. 032Rh23RRz632. 052334R 圆圆锥锥体体 圆圆环环 椭椭圆圆形形薄薄板板 2103mrJz224803lrmJJyxrrz548. 0103224803lryxlr232243rRmJz2243rRzRr222224bamJz24amJy24bmJx2221baz2ay2bxabh 立立方方体体 矩矩形形薄薄板板 2212bamJz2212camJy2212cbmJx2212bamJz212amJy212bmJ

18、x22121baz22121cay22121cbx22121bazay289. 0bx289. 0abcabh转动惯量的计算转动惯量的计算： （1）简单）简单查表查表（2）规则形状）规则形状组合组合（3）形状复杂）形状复杂实验实验11-5质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理动量矩定理只适用于惯性参考系中的动量矩定理只适用于惯性参考系中的固定点或固定轴固定点或固定轴对于一般的动点或动轴，动量矩定理对于一般的动点或动轴，动量矩定理由比较复杂的形式由比较复杂的形式 如图所示，O为固定点，C为质点系的质心，质点系对于固定点的动量矩为()OOiiiiimm LMvrv对于任一质点mi

19、iiC rrr于是()iiOCiiCiiiimmm Lrrvrvrv由于iiCmm vvririrCmiyyxzCOxzvi()iiOCiiCiiiimmm LrrvrvrvririrCmiyyxzCOxzvi它是质点系相对于质心的动量矩。于是得OCCCm LrvL即：质点系对任一点O的动量矩等于集中于质心的系统动量mvC对于O点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩LC (应为矢量和)。(e)dd()ddiiOCCCmtt LrvLrF 质点系对于固定点O的动量矩定理可写成iCiim Lrv展开上式, 注意右端项中rirC+ri, 于是上式化为(e)(e)ddddddCCCCCCiiimmtt

20、t rLvrvrFrF(e)dd,0,ddCCCCCCCimmtt rvvavvaF(e)ddCiit LrF上式右端是外力对质心的主矩，于是得因为于是上式成为(e)dd()ddOCCCiimtt LrvLrF(e)dd,0,ddCCCCCCCimmttrvvavvaF)(eiccFMdtLd质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。)(eiccFMdtLd 例例 均质圆盘质量为均质圆盘质量为2m，半径为，半径为r。细杆。细杆OA质量为质量为m，长为，长为l3r，绕轴，绕轴O转动的角速度为转动的角速度为 、求下列三种情况下系统对、求下列三种情况下系统对轴轴O的动

21、量矩：的动量矩： (a) 圆盘与杆固结；圆盘与杆固结；(b) 圆盘绕轴圆盘绕轴A相对杆相对杆OA以角速度以角速度 逆逆 时针方向转动；时针方向转动； (c) 圆盘绕轴圆盘绕轴A相对杆相对杆OA以角以角速度速度 顺顺 时针方向转动。时针方向转动。OA aOAr bOAr c解：(a)222222222183)3(2)2(2131mrmrmrmrrmrmmlJO222mrJLOOOA aAOAOJJJOAr(b)0A盘杆OOOLLL22331rmmlJLO杆AAAOvmrLL)2(盘rmrJAA323 218rm221rmLLLOOO盘杆OAr(c)2A22331rmmlJLO杆AAAOvmrLL

22、)2(盘rmrJAA323 22182221rmrm223rmLLLOOO盘杆220rm11-6刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 刚体的刚体的平面运动平面运动( ) , ()eCCCmaFJm F)(FMJcCa刚体的平面运动可分解为随基点刚体的平面运动可分解为随基点的平移和绕基点的转动。的平移和绕基点的转动。CcJL )(FMdtdLcC投影形式投影形式( ) , ()eCCCmaFJm F刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程)(FMJcCaiyCixCFymFxm )(eiiCCMJF 例15 一均质圆柱，质量为m，半径为r，无初速地放在倾角为q 的斜面上，不计滚动阻力

23、，求其质心的加速度。 解：以圆柱体为研究对象。圆柱体在斜面上的运动形式，取决于接触处的光滑程度，下面分三种情况进行讨论：(1) 设接触处完全光滑此时圆柱作平动，由质心运动定理即得圆柱质心的加速度sinCagqCqCxyO(e)CxxmaF sinCmamgqqaCFNmg(2) 设接触处足够粗糙 此时圆柱作纯滚动，列出平面运动微分方程2sin0cos12CNmamgFFmgmrFrqqa2sin3Cagq解得11sin23CFmamgq由于圆柱作纯滚动，故maxcosNFFf Ff mgqF由纯滚动条件有Cara所以1cossin3f mgmgqq，可得1tan3fq这就是圆柱体在斜面上作纯滚

24、动的条件。qCxyaCOFNmg(3) 设不满足圆柱体在斜面上作纯滚动的条件1tan3fq设圆柱体沿斜面滑动的动摩擦系数为f ，则滑动摩擦力cosNFf Ff mgq于是2cosgfrqa(sincos )Cagfqq圆柱体在斜面上既滚动又滑动, 在这种情况下，aCra例16 均质圆柱体A和B质量均为m，半径均为r。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。解：取A分析，受力如图。A作定轴转动，应用定轴转动的微分方程有CTmamgFCBTJF ra其中OABCaAFTmgFOxFOyOAFTmgaBCDBaC取B分析，受力如图。B

25、作平面运动。应用平面运动的微分方程有由运动学关系aDraA,，而由加速度合成定理有而由加速度合成定理有()CDBABaarraaagaC54例17 均质杆质量为m，长为l，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿着铅垂墙壁，从图示位置无初速地滑下。不计摩擦，求开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束反力。解：以杆AB为研究对象，分析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB杆作平面运动，设质心C的加速度为aCx、aCy，角加速度为a。aaCxaCy由刚体平面运动微分方程mgsincos(3)22CABllJFFaqq(2)CyAmaFmg(1)CxBmaFBqCAxy以C点为基点，则A点的加速度为tnA

26、CACACaaaat0sinCyACaaq再以C点为基点，则B点的加速度为tnBCBCBCaaaat0cosCxCBaaqtsinsin(4)2CyAClaaqaq tcoscos(5)2CxCBlaaqaqaAaaBaCxaCyatBCatAC在运动开始时, 0, 故 , 将上式投影到y 轴上，得an 0AC同理，将上式投影到 x轴上，得an 0BC联立求解(1) (5)式，并注意到2121mlJC可得3sin2glaq23(1sin)4AFmgq3sincos4BFmgqq注： 亦可由坐标法求出(4)、(5)式：sin ,cos22CCllxyqqcos,sin22CCllxyq qq q

27、 22sincos,cossin2222CCllllxyq qq qq qq q 运动开始时， ，故0qcos ,sin22CxCCyCllaxayaqaq BqCAxyAxCB例例18 如图质量为如图质量为m的均质杆的均质杆AB用细绳吊住，用细绳吊住，已知两绳与水平方向的夹角为已知两绳与水平方向的夹角为 。求。求B端绳断端绳断开瞬时，开瞬时，A端绳的张力。端绳的张力。解：取杆分析，建立如图坐标。有解：取杆分析，建立如图坐标。有AB作平面运动，以作平面运动，以A为基点，则为基点，则tntnCAACACAaaaaasinCxTmaFmg ABFTttCACAaaa因为断开初瞬时因为断开初瞬时, vA0, 0, 故故 , an 0Aan 0CA将上式投影到将上式投影到x 轴上，得轴上，得tsinCxCAaasin2Cxlaasin1 3sinTmgFt2CAlaaan CAat CAat Aan AaAxCBaaCxmg例19 长 l，质量为m 的均质杆 AB 和 BC