概率论基础无穷级数笔记-9精选文档

1、第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义 P264' an =a a2 八亠 an 上n=1an称为一般项或通项Sn =5 u2亠i亠un称为前n项部分1333例 1、0.3 二310 10210n123：；几川n上1 -11 -1亠I亠（-“心上n2、定义 Sn 二UkK dan - Sn 1 _ Sn如：Sn 收敛，则x an收敛n m3、几个重要极限等比级数（几何）Zaqn，当q <1收敛，q釘 发散;n=00 dP级数 x' -PP 1收敛，p乞1发散;nW npoO d当p=1, V 1又称调和级数n J n4、级数性质P266性质5是级数收敛的必要条件q

2、Q即 ' an 收敛lim an = 0 n=n_?c例1、二 n-1发散，lim an =n -1 lim-0n 2n 1nn，2n 12例2、:3n、3发散，3nlim仁0n 占 n - 3nn ：n -3n例3、.1 , 1、-发散，但 lim -0n wnn ：n2°正项级数判别法、unun-0n =1正项级数部分和数列单调递增正项级数收部分和数列有上界1、比较判别法设Vn -un，女口 ' V收敛，则x un收敛n Tn=1如；Un发散，则；Vn发散nWnW例、判别下列级数敛散性第 4 页(1)n"4n2 n(2).2 n兀 :sin n =1n解

3、（1）由于1 1 11”7 '4n2 n 4n2 n25 no0 d a1发散，原级数发散n 4 n.2 n二sin g1- 1(2)由于 -2，而' -2收敛，原级数收敛n2n2n=n2比较判别法的极限形式如lim业二A贝9有ni：VnO0V Vn , n =1同时收敛，同时发散oOA=0女口' Vnn =1收敛,co' unn =1收敛oOA=* 女口 JnnV收敛,O' Vnn =1收敛判别下列级数敛散性例、n =1ni n 1InQ lim J = 1nr1od d又发散,nmn原级数发散例、(1)(2)oOzn =11(1 - cos) n(3

4、)zn=2Innn解:由limnT°o1 n2 n n1n=lim n 心 n2 n , n(2)1 lim -n1-cosn丄2n二 limn1_2n2丄2n收敛原级数收敛Inn-(n 3) n:1、丄发散,n刃nn =1 n发散(3)第6页例、P271例 7.7 7.8第 10 页2、比判别法设正项级数-un的一般项满足n =1lim 也' u n则当T :：: 1时，级数收敛，- 1时发散，r = 1不定 3、根值法设' un为正项级数，如lim n un二? n dn 心"则当亍:：1时，级数收敛,1时发散，1不定正项级数判别其敛散性的步骤：首先考察

5、lim u发散nT°o= 00需进一步判 如un中含n!或n的乘积通常选用比值法； 如un是以n为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法; 如un含形如n> （a可以不是整数）因子，通常用比较法； 利用级数性质判别其敛散性； 据定义判别级数敛散性， 考察lim Sn是否存在，实际上考察nT°oSn ?是否有上界。例、判别下列级数的敛散性n一(1)、n=12nn!nn°° f n |处 1(2)瓦(3)设 a>0nl2 n+1.丿T+a(4)二 6n17n -5n(5)QOn4 十(1 $ 1(6)oOn；1X1 X扛(1+xn ) IX 0

6、为常数 Innn辺、n2 nn n cos O0Q(8) ”一仝解: (1)2nnlim Unn-' Un=lim1-limn；_ :：2n1、+ - I n .丿(2)方法方法二:oOzn T=-<1e收敛lim n unn :.f、nn!ii2n +1 丿-收敛2(n Y (1 Y丨=丨i2n丿12丿2收敛原级数收敛lim UjL1 = limf U n 'xn11 X 1 x2 上 1 Xn1 x 1 x2 上 1 Xn 1= lim X n厂1 Xx =1级数收敛(3)lim归n_-'Un当a =1(4)(5)ln(n +1) 2 Vn=lim ,n“ 2

7、n 1 . n 1 InnIn n 1 n 1 =lim - nr' 2lnnA-:0 收敛2lim unn_»：:lim unn_011an收敛nd 7-lim -:2_ 12发散二 limnTa发散- n n=a为公比:1的等比级数n7n6n7n lim 7n ：:6-5收敛,原级数收敛4 +(-1n7nnim：7n _5nn为奇数n为偶数=1UnoO n对/n弓3limn心UnSlim 喀n： 3n i3n：-n n收敛，又由比较判别法知原级数收敛2 n兀n cos 一(6) Un 二n: n，由此值法知冷收敛原级数收敛3第12页3°交错级数的敛散性的判别法n

8、 i如 Un > 0，则称 Z(-1 ) Un=Ui- U2 + U3-U4+为交错级 n 4数。莱伯尼兹判别法:如交错级数 1 "Un满足:lim Un = 0n_,：:S _U1nJ(i ) Un - Un i ( ii )8 n 1则-1Un收敛，且和n A例、判断下列级数的敛散性1 P274 例 7.132 迟(-1 )n (Jn +1 - 石) n=1解： lim Un lim n 1 - 一 n lim0n：n：n_. .；n 1 n Unn 1 - n1 1、n T 、n n 2、n 1收敛第 17 页3 J -1 nn dn - In n解：=0ln n1 -n

9、111lim Un = limlimn；：n；： n 一 in nn匚 nn +1)T n(n +1)】-!n-1 nn 】=1Tn 1n - In n n 1-1 n n 1即 Un Un 1收敛4°绝对收敛与条件收敛定义P275；Un为任意项级数n =1如送n 4如送n 4UnUn定理，如例、P276例、解:解:b =1收敛发散oO瓦Unn4称 Un绝对收敛n AUn收敛称Un条件收敛 nJnJ收敛Un必收敛n例 7.17 7.18判断级数的敛散性，如收敛，是绝对收敛还是条件收敛旳 nd n10)丁n -2“10 n.(n +1)21lim 百 n:2原级数收敛，且绝对收敛。limUn 1Unn亠1b-limnn 10 : b : 1原级数为原级数绝对收敛原级数发散oO而zn dUn n刍 n bx -1b 0n nr1V01ln .丿I。tnm1 十7nbn-b lim n 6n：n亠11、-1n-为交错级数n T n1 lim 0n：n Un Un 1收敛:1八丄发散n mnb= 1条件收敛习题七，8希望以上资料对你有所帮助，附励志