椭圆标准方程+焦点三角形面积公式

1、椭圆焦点三角形面积公式的应用性质1（选填题课直接用，大题需论证）:由任意三角形的面积公式得:2 2F1PF21r1r2sin b2同理可证，在椭圆典型例题例1 若P是椭圆 Fi PF2的面积.例2已知1 cos22yx2.2ab22xy_1006422y12592 sinb22sin cos2 22cos2 2（a > b > 0）中，公式仍然成立.1上的一点，Fi、F2是其焦点，且F1PF260，求1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、PR pf2|PF1| iPf2i11，则日珏的面积为（A. 3B.2.3C.3D.32 2例3（04湖北）已知椭圆16七1的左、右焦点分别是F1、

2、f2，点 P在椭圆上.若 P、F1、F2 是个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（A. 95B.9.77C.D.答案:2例1 若P是椭圆1002y641上的一点,F2是其焦点，且 F1PF260，求 Fi PF2的面积.2解法一：在椭圆1002L 1 中,64a 10,b8,c6,而 60 .记 |PFi | ri，| PF2 | R.点P在椭圆上,由椭圆的第一定义得:ri a 2a20.在厶F1PF2中，由余弦定理得：2小D2订2 cos(2c)2.配方，得：仏 r2 )2 3r1 r2144.400 3r1r2144.从而 r1r225632 2解法二：在椭圆秸右1 中, b2 6

3、4，而60 .解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现!2 2例2已知P是椭圆丄1上的点，259Fi、F2分别是椭圆的左、右焦点，若Ph PF2|PF1| |PF2|1丄，则 F1PF2的面积为（2A. 3 3B.2、3C.D.解：设 F1PF2,则 cosPF1 PF2I PF； | | PF2 |260 .故选答案A.2例3 （04湖北）已知椭圆162y 1的左、右焦点分别是F；、F2，点P在椭圆上.9若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（B.9.77C.D.解:若F1或F2是直角顶点，则点P到x轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点,设点P到

4、x轴的距离为h，则S侔 b tan 刁 9tan45F1PF212(2c)h . 7h,专故答案选D.金指点睛21(略).椭圆492-1上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则厶F1PF2的24面积为（A. 20)B. 22C.28D. 241的左右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，当厶F1PF2的面积为1时,PF1 PF2的值为（）A. 0B. 1C. 3D.623.椭圆 y2 1的左右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，当厶F1PF2的面积最大时,4PF1 PF2的值为（A. 02B. 2C. 4D.4.已知椭圆2 x2 ay2 1( a > 1)的两个焦点为F1、F2,P为

5、椭圆上一点，且 F1PF260 ,则 | PFi |PF2 |的值为(A. 15.已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,Fi、F2为焦点，点P在椭圆上，直线PFi与PF2倾斜角的差为90， F1PF2的面积是2°,离心率为诗，求椭圆的标准方程.6.已知椭圆的中心在原点,Fi、F2为左右焦点,P为椭圆上一点，且 PF1 PF2.IPF1 I IPF2I F1PF2的面积是.3 ,准线方程为x乎，求椭圆的标准方程.答案1.解:F1PF290 ,b224 ,b2 tan 224 tan 4524 .故答案选D.2.解：设 F1PF2tan 1 ,22 45,90 , PF1 PF20.故答

6、案选A.3.解：a 2,b1,cF1PF2,b2 ta n 2tan ,2当厶F1PF2的面积最大时,为最大，这时点P为椭圆短轴的端点,120 ,PF1 PF2 IPF1 I I PF2 I cos故答案选D.2a cos1202.4. 解:F1PF260 , b2b tan tan302F1PF211 PF1 | | PF2 |sinI PF1 I4IPF2 I,-3IPF14IPF2I于，从而IPF1 I IPF2 I故答案选C.5.解:F1PF2，则90 .F1PF22 2 2b tan b tan 45 b 20,2a2 b2a9，即1202 a解得：a245所求椭圆的标准方程为2 x

7、452y2021或452 x206.解：设 FfF2COSPF1 PF2|羽| |正|120 .S F1PF2b2 ta n 22b tan 603b22,2即cbcc21c-.3 时,b2 c22，这时椭圆的标准方程为b2U，这时椭圆的标准方程为32x43但是,此时点P为椭圆短轴的端点时,为最大,60 ,不合题意.故所求的椭圆的标准方程为y2 1.性质二：有关角的问题22已知椭圆方程为耸占1(aa bb 0),左右两焦点分别为F1，F2,设焦点三角形PF1F2 ,若F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点2 2问题1椭圆 红1的焦点为F、F2,点P为其上一点，当 FfF2为直角时，94点P的横

8、坐标是。2 2问题2：椭圆丫1的焦点为Fi、F2,点p为其上动点，当F1PF2为钝角时,94点P横坐标的取值范围是。变式uuun uuuir1.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足 MF1 MF2 0的点M总在椭圆内部，则椭圆离 心率的取值范围是()(09江西)1 7242A. (O,1)B (0, C - (0,) D ,1)2 222 2问题1椭圆 止1的焦点为F、F2,点P为其上一点，当 F1PF2为直角时，94点P的横坐标是。方法1:设，则当时，点的轨迹方程为，由此可得的横坐标为方法2:利用性质一 S f1pf2 b2tan 1 2 2方法3:【分析】令|F1P|=m |PF2|=6-m，Rt AF1PF2中，由勾股定理可得 m+(6-m)2=202 2问题2:椭圆 L 1的焦点为Fl、F2,点P为其上动点，当F1PF2为钝角时,94点P横坐标的取值范围是。问题分解：方法1:设，则当时，点的轨迹方程为，由此可得的横坐标为，所以 点P横坐标的取值范围是方法2:利用性质一 S F1pF2 b2 tan 2问题2.而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？ 解题的关键在于点