激光原理 周炳琨版课后习题答案

1、激光原理 周炳琨（长按ctrl键点击鼠标即可到相应章节）第一章 激光的基本原理2第二章 开放式光腔与高斯光束4第三章 空心介质波导光谐振腔14第四章 电磁场和物质的共振相互作用17第五章 激光振荡特性31注：考华科者如需激光原理历年真题与答案可联系E-mail:745147608第1章 激光的基本原理习题2如果激光器和微波激射器分别在、和输出1W连续功率，问每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？解：若输出功率为P，单位时间内从上能级向下能级跃迁的粒子数为n，则：由此可得：其中为普朗克常数，为真空中光速。所以，将已知数据代入可得：时：时：时：3设一对激光能级为和()，相应的频率为(波长为)

2、，能级上的粒子数密度分别为和，求(a) 当，T=300K时，(b) 当，T=300K时，(c) 当，时，温度T=？解：当物质处于热平衡状态时，各能级上的粒子数服从波尔兹曼统计分布：(a) 当，T=300K时：(b) 当，T=300K时： (c) 当，时：6某一分子的能级到三个较低能级、和的自发跃迁几率分别是，和，试求该分子能级的自发辐射寿命。若，在对连续激发并达到稳态时，试求相应能级上的粒子数比值、和，并回答这时在哪两个能级间实现了集居数反转。解：该分子能级的自发辐射寿命为：在连续激发时，对能级、和分别有：所以可得：很显然，这时在能级和之间实现了粒子数反转。7证明当每个模式内的平均光子数(光子

3、简并度)大于1时，辐射光中受激辐射占优势。证：受激辐射跃迁几率为受激辐射跃迁几率与自发辐射跃迁机率之比为式中，表示每个模式内的平均能量，因此即表示每个模式内的平均光子数，因此当每个模式内的平均光子数大于1时，受激辐射跃迁机率大于自发辐射跃迁机率，即辐射光中受激辐射占优势。8(1)一质地均匀的材料对光的吸收系数为，光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几？(2)一束光通过长度为1m的均匀激励的工作物质。如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。解：(1) 出射光强与入射光强之比为所以出射光强只占入射光强的百分之三十七。(2) 设该物质的增益为g，则即该物质的增益系数约为

4、。第2章 开放式光腔与高斯光束习题1试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，有往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。3激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。解：设两腔镜和的曲率半径分别为和，工作物质长，折射率根据稳定条件判据：其中由

5、(1)解出 由(2)得所以得到：4图2.1所示三镜环形腔，已知，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，为光轴与球面镜法线的夹角。图2.1解：稳定条件 左边有 所以有对子午线：对弧失线：有：或所以同时还要满足子午线与弧失线5有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，镜的反射率为，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作

6、一个大略的估计。氦氖增益由公式计算。解：设模为第一高阶模，并且假定和模的小信号增益系数相同，用表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式根据已知条件求出腔的菲涅耳数由图2.5.5可查得和模的单程衍射损耗为氦氖增益由公式计算。代入已知条件有。将、和的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求根据图2.5.5可以查出对应于的腔菲涅耳数由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长因此，只要选择小孔阑的边长略小于0.83mm即可实现模单模振荡。6

7、试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的模的场分布可以写成令，则I式可以写成式中为厄米多项式，其值为由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令，得考虑到，于是可以得到镜面上的节点位置所以，模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为；而沿y方向没有节线分布。8今有一球面腔，。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。解：该球面腔的g参数为由此，满足谐振腔的稳定性条件，因此，该腔为稳定腔。两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为根据计算得到的数据

8、，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。14某高斯光束腰斑大小为=1.14mm，。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径及波前曲率半径R。解：入射高斯光束的共焦参数根据z30cm10m1000m1.45mm2.97cm2.96m0.79m10.0m1000m求得：15若已知某高斯光束之=0.3mm，。求束腰处的参数值，与束腰相距30cm处的参数值，以及在与束腰相距无限远处的值。解：入射高斯光束的共焦参数根据，可得束腰处的q参数为：与束腰相距30cm处的q参数为：与束腰相距无穷远处的q参数为：16某高斯光束=1.2mm，。今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1

9、m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。解：入射高斯光束的共焦参数又已知，根据得10m1m10cm02.00cm2.08cm2.01cm2.00cm2.4022.555.356.2从上面的结果可以看出，由于f远大于F，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。17激光器输出光，=3mm，用一F=2cm的凸透镜距角，求欲得到及时透镜应放在什么位置。解：入射高斯光束的共焦参数已知，根据得时，即将透镜放在距束腰1.39m处；时，即将透镜放在距束腰23.87m处。18如图2.2光学系统，如射光，求及。图2.2解：先求经过一个透

10、镜的作用之后的束腰半径及位置由于，所以=2cm所以对第二个透镜，有已知，根据得，19某高斯光束=1.2mm，。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=1m，口径为20cm；副镜为一锗透镜，=2.5cm，口径为1.5cm；高斯束腰与透镜相距=1m，如图2.3所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。图2.3解：入射高斯光束的共焦参数为由于远远的小于，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为这样可以得到在主镜上面的光斑半径为即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为20激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长

11、为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束公焦参数f的实验原理及步骤。解：一、实验原理通过放在离光腰的距离为z的小孔(半径为a)的基模光功率为(I)式中，为总的光功率，为通过小孔的光功率。记，则有(II)注意到对基模高斯光束有在(II)式的两端同时乘以，则有令(III)则解此关于f的二次方程，得因为、都可以通过实验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f。二、实验步骤1如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a)，用卷尺测量出B到光腰O(此题中即为谐振腔的中心)的距离z；2用激光功率计测出通过小孔

12、光阑的光功率；3移走光阑，量出高斯光束的总功率；4将所得到的数据代入(III)及(IV)式即可求出f(根据实际情况决定(IV)式根号前正负号的取舍)。第3章 空心介质波导光谐振腔习题1 试由式（3.3.5）导出式（3.3.7）,说明波导模的传输损耗与哪些因素有关。在其他条件不变时，若波导半径增大一倍，损耗将如何变化？若减小到原来的，损耗又将如何变化？在什么条件下才能获得低的传输损耗？解：由及可得： 波导模的传输损耗与波导横向尺寸,波长，波导材料的折射率实部以及不同波导模对应得不同值有关。（a）波导半径增大一倍，损耗减为原来的。（b）波长减小到原来的一半，损耗减为原来的。获得低的传输损耗应增大波

13、导横向尺寸，选择折射率实部小的介质材料和小的波导模。2.试证明，当为实数时，若，最低损耗模为模，而当时，为模，并证明模的损耗永远比模低。证明： (3.3.8)对于以上三种不同模，参看书中表3.1，对于同一种模式，越小，损耗越小，因此以下考虑，模之间谁最小（中最小）题中设为实数，显然， 所以,只需考虑与:当时，小当时，小3.在波长时，试求在内径为的波导管中模和模的损耗和，分别以，以及来表示损耗的大小。当通过长的这种波导时，模的振幅和强度各衰减了多少（以百分数表示）？解：由 ，。 当时， ，4.试计算用于波长的矩形波导的值，以及表示，波导由制成，计算由制成的同样的波导的值，计算中取。解： : 。5

14、.某二氧化碳激光器用作波导管，管内径，取，管长10cm,两端对称地各放一面平面镜作腔镜。试问：为了模能产生振荡，反射镜与波导口距离最大不得超过多少？计算中激活介质增益系数。解：，时，而平面反射镜所产生的耦合损耗为：，其中。为使模能产生振荡则要求，得： ，即反射镜与波导口距离不得超过1.66cm.第4章 电磁场和物质的共振相互作用习题2设有一台迈克尔逊干涉仪，其光源波长为。试用多普勒原理证明，当可动反射镜移动距离L时，接收屏上的干涉光强周期地变化次。证明：如右图所示，光源S发出频率为的光，从M上反射的光为，它被反射并且透过M，由图中的I所标记；透过M的光记为，它被反射后又被M反射，此光记为II。

15、由于M和均为固定镜，所以I光的频率不变，仍为。将看作光接收器，由于它以速度v运动，故它感受到的光的频率为：因为反射光，所以它又相当于光发射器，其运动速度为v时，发出的光的频率为这样，I光的频率为，II光的频率为。在屏P上面，I光和II光的广场可以分别表示为：因而光屏P上的总光场为光强正比于电场振幅的平方，所以P上面的光强为它是t的周期函数，单位时间内的变化次数为由上式可得在时间内屏上光强亮暗变化的次数为因为是镜移动长度所花费的时间，所以也就是镜移动过程中屏上光强的明暗变化的次数。对上式两边积分，即可以得到镜移动L距离时，屏上面光强周期性变化的次数S式中和分别为镜开始移动的时刻和停止移动的时刻；

16、和为与和相对应的镜的空间坐标，并且有。得证。3在激光出现以前，低气压放电灯是很好的单色光源。如果忽略自然加宽和碰撞加宽，试估算在77K温度下它的605.7nm谱线的相干长度是多少，并与一个单色性的氦氖激光器比较。解：这里讨论的是气体光源，对于气体光源，其多普勒加宽为式中，M为原子（分子）量，。对来说，M=86，相干长度为对于单色性的氦氖激光器，其相干长度为可见，氦氖激光器的相干长度要比低气压放电灯的相干长度要大得多。4估算气体在室温(300K)下的多普勒线宽和碰撞线宽系数。并讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。解：气体在室温(300K)下的多普勒线宽为气体的碰撞线宽系数为实验测得，

17、其值为气体的碰撞线宽与气压p的关系近似为当时，其气压为所以，当气压小于的时候以多普勒加宽为主，当气压高于的时候，变为以均匀加宽为主。5氦氖激光器有下列三种跃迁，即的632.8nm，的和的 的跃迁。求400K时它们的多普勒线宽，分别用、为单位表示。由所得结果你能得到什么启示？解：多普勒线宽的表达式为(单位为GHz)(单位为)所以，400K时，这三种跃迁的多普勒线宽分别为：的632.8nm跃迁：的跃迁：的跃迁：由此可以看出，当提及多种跃迁谱线的多普勒线宽时，应该指出是以什么作为单位的。6考虑某二能级工作物质，能级自发辐射寿命为，无辐射跃迁寿命为。假定在t=0时刻能级上的原子数密度为，工作物质的体积

18、为V，自发辐射光的频率为，求：(1)自发辐射光功率随时间t的变化规律；(2)能级上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；(3)自发辐射光子数与初始时刻能级上的粒子数之比，称为量子产额。解：(1) 在现在的情况下有可以解得：可以看出，t时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒子数密度为，这就是t时刻自发辐射的光子数密度，所以t时刻自发辐射的光功率为：(2) 在时间内自发辐射的光子数为：所以(3) 量子产额为： 无辐射跃迁导致能级2的寿命偏短，可以由定义一个新的寿命，这样7根据4.4节所列红宝石的跃迁几率数据，估算等于多少时红宝石对的光是透明的。(红宝石，激光上、下能级的统计权重，计算中

19、可不计光的各种损耗。)解：该系统是一个三能级系统，速率方程组为其中（II）式可以改写为因为与相比很大，这表示粒子在能级上停留的时间很短，因此可以认为能级上的粒子数，因此有。这样做实际上是将三能级问题简化为二能级问题来求解。由(I)式可得：代入式(V)得：由于所以红宝石对波长为694.3nm的光透明，意思是在能量密度为的入射光的作用下，红宝石介质内虽然有受激吸收和受激辐射，但是出射光的能量密度仍然是。而要使入射光的能量密度等于出射光的能量密度，必须有为常数，即，这样式(VI)变为：该式应该对于任意大小的均成立，所以只有，即时才可以。这样由上式可得：由于，所以这个时候红宝石对的光是透明的。11短波

20、长(真空紫外、软X射线)谱线的主要加宽机构是自然加宽。试证明峰值吸收截面。证明：峰值吸收截面为而所以代入可以得到：得证。12已知红宝石的密度为，其中所占比例为0.05%(重量比)，在波长为694.3nm附近的峰值吸收系数为0.4cm-1，试求其峰值吸收截面(T=300K)。解：设的分子量为M，阿伏加德罗常数用NA来表示，设单位体积内的数为，考虑到300K的时候，则有所以峰值吸收截面为(峰值吸收系数以来表示)13有光源一个，单色仪一个，光电倍增管及电源一套，微安表一块，圆柱形端面抛光红宝石样品一块，红宝石中铬粒子数密度，694.3nm荧光线宽。可用实验测出红宝石的吸收截面、发射截面及荧光寿命，试

21、画出实验方块图，写出实验程序及计算公式。解：实验方框图如下：实验程序以及计算公式如下：(1)测量小信号中心频率吸收系数：移开红宝石棒，微安表读数为，放入红宝石棒，微安表的读数为，由此得到吸收系数为减小入射光光强，使吸收系数最大。然后维持在此光强，微调单色仪鼓轮以改变入射波长，使吸收系数最大，此最大吸收系数即为小信号中心频率吸收系数。(2) 计算：由于，所以发射截面和吸收截面为：荧光寿命为：17激光上、下能级的粒子数密度速率方程如式(4.4.28)所示。(1)试证明在稳态情况下，在均匀加宽介质中式中为小信号情况下的反转集居数密度。(2)写出饱和光强的表达式。(3)证明时和可由式(4.5.7)及式

22、(4.5.8)表示。18已知某均匀加宽二能级()饱和吸收染料在其吸收谱线中心频率=694.3nm处的吸收截面，其上能级寿命，试求此染料的饱和光强。解：若入射光频率为，光强为I，则 (1)由，可以得到代入(1)式可得式中，所以有：19若红宝石被光泵激励，求激光能级跃迁的饱和光强。解：首先列出稳态时的三能级速率方程如下： (1) (2) (3) (4)由于远小于，由(1)式可得：所以，由(1)(4)式可以得到：式中，为波长为694.3nm的光强。由上式可得：其中20推导图4.2所示能级系统20跃迁的中心频率大信号吸收系数及饱和光强。假设该工作物质具有均匀加宽线型，吸收截面已知，。图4.2解：设入射

23、光频率为跃迁的中心频率，光强为I，可列出速率方程如下：式中在稳态的情况下，应该有，由(2)式可以得到：因为远小于，KT远小于，所以，这样根据式(3)、(4)可得： (5)将式(5)代入式(1)可得：其中中心频率大信号吸收系数为其中。21用波长在589nm附近的可调染料激光照射一含有13.3Pa钠及氦气的混合室，气室温度为，气室长度，氦气与钠蒸气原子间的碰撞截面，钠蒸气的两个能级间的有关参量如下：1能级()：2能级()： (1)求12跃迁的有关线宽(碰撞加宽、自然加宽、多普勒加宽)。(2)如果激光波长调到钠原子12跃迁中心波长，求小信号吸收系数。(3)在上述情况下，改变激光功率，试问激光光强I多

24、大时气室的透过率t = 0.5？解：(1)一个Na原子与氦原子间的平均碰撞时间由下式决定： ( I )式中表示单位体积内的氦原子数，和分别为氦原子和钠原子的质量。若和分别为氦气和钠蒸气的分压强，和分别为氦原子和钠原子的原子量，则有将上面的数值代入到( I )式，可得则碰撞线宽为自然线宽为多普勒线宽为(2)由以上的计算结果可以知道碰撞线宽远大于多普勒线宽，也远大于自然线宽，所以钠蒸气谱线以均匀加宽为主。均匀加宽。这样，可以得到在中心频率出的小信号吸收系数为： ( II )其中将有关的参量代入( II )式，可以得到(3)当t=0.5的时候，气室吸收系数为由可得根据习题4.19可知所以即当激光光强

25、为的时候，气室的透过率t=0.5。22设有两束频率分别为和，光强为及的强光沿相同方向图4.3或沿相反方向图4.3通过中心频率为的非均匀加宽增益介质，。试分别画出两种情况下反转粒子数按速度分布曲线，并标出烧孔位置。图4.3解：若有一频率为的光沿z向传播，粒子的中心频率表现为。当时粒子产生受激辐射，所以产生受激辐射的粒子具有速度，同样的可以得到，如果该光沿-z方向传播，这个速度应该为。根据这个分析就可以得到本题目中所述的两种情况下反转集居数密度按速度的分布曲线，分别见下图的(a)和(b)。图中(1)孔的深度为，(2)孔的深度为，(3)孔德深度为。(a)(b)第5章 激光振荡特性2长度为10cm的红

26、宝石棒置于长度为20cm的光谐振腔中，红宝石694.3nm谱线的自发辐射寿命，均匀加宽线宽为。光腔单程损耗。求(1)阈值反转粒子数；(2)当光泵激励产生反转粒子数时，有多少个纵模可以振荡？(红宝石折射率为1.76)解：(1) 阈值反转粒子数为：(2) 按照题意，若振荡带宽为，则应该有由上式可以得到相邻纵模频率间隔为所以所以有164165个纵模可以起振。3在一理想的三能级系统如红宝石中，令泵浦激励几率在t=0瞬间达到一定值，为长脉冲激励时的阈值泵浦激励几率。经时间后系统达到反转状态并产生振荡。试求的函数关系，并画出归一化的示意关系曲线(令)。解：根据速率方程(忽略受激跃迁)，可以知道在达到阈值之

27、前，在t时刻上能级的粒子数密度与时间t的关系为当时，即由(1)可知，当时间t足够长的时候由上式可知由(2)式可得所以所以归一化的示意关系曲线为4脉冲掺钕钇屡石榴石激光器的两个反射镜透过率、分别为0和0.5。工作物质直径d=0.8cm，折射率=1.836，总量子效率为1，荧光线宽，自发辐射寿命。假设光泵吸收带的平均波长。试估算此激光器所需吸收的阈值泵浦能量。解：5测出半导体激光器的一个解理端面不镀膜与镀全反射膜时的阈值电流分分别为J1与J2。试由此计算激光器的分布损耗系数(解理面的反射率)。解：不镀膜的时候，激光器端面的反射率即为r，镀了全发射膜之后的反射率为R=1，设激光器的长度为l，则有由这

28、两式可以解得即得到了激光器的分布损耗系数。7如图5.1所示环形激光器中顺时针模式及逆时针模的频率为，输出光强为及。(1)如果环形激光器中充以单一氖同位素气体，其中心频率为，试画出及时的增益曲线及反转粒子数密度的轴向速度分布曲线。(2)当时激光器可输出两束稳定的光，而当时出现一束光变强，另一束光熄灭的现象，试解释其原因。(3)环形激光器中充以适当比例的及的混合气体，当时，并无上述一束光变强，另一束光变弱的现象，试说明其原因(图5.2为、及混合气体的增益曲线)，、及分别为、及混合气体增益曲线的中心频率，。 图5.1 图5.2(4)为了使混合气体的增益曲线对称，两种氖同位素中哪一种应多一些。解：(1

29、) 时时(2) 时，及分别使用不同速度的反转原子，使用速度为的高能级原子，使用速度为的高能级原子，这样和不会彼此的争夺高能级原子，所以激光器可以输出两束稳定的激光。的时候，和均使用速度为0的高能级原子，两个模式剧烈竞争，竞争的结果是一束光变强，另一束光熄灭。(3) 使用的原子以及的原子。使用的原子以及的原子，因此两个模式使用不同高能级原子，没有了模式竞争效应，因此两个模式均可以稳定的存在，没有了上面所说的一束光变强，另一束光熄灭的现象。(4) 要是混合气体的增益曲线对称，必须使得和的增益曲线高度相等，即要满足：而欲使得，应使因此，应该多一些。8考虑氦氖激光器的632.8nm跃迁，其上能级3S2的寿命，下能级2P4的寿命，设管内气压p=266Pa：(1)计算T=300K时的多普勒线宽；(2)计算均匀线宽及；(3)当腔内光强为(1)接近0；(2)10W/cm2时谐振腔需多长才能使烧孔重叠。(计算所需参数可查阅附录一)解：(1) T=300K时的多普勒线宽为(2) 均匀线宽包括自然线宽和碰撞线宽两部分，其中所以(3) 设腔内光强为I，则激光器烧孔重叠的条件为取进行计算。当腔内光强接近0的时候当腔内光强为的时候9某单模632.8nm氦氖激光器，腔长10cm，而反射镜的反射率分