圆锥曲线题型综合20130415

1、圆锥曲线题型综合一、椭圆标准方程eg1、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。答案：和。eg2、椭圆中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程。答案：eg3、根据下列条件，写出椭圆的方程：（1）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为8；（2）和椭圆有相同焦点，且经过点。答案：（1）和。（2）。eg4、平面内两定点间的距离为4，写出到这两个定点距离和为6的动点的轨迹方程。答案：。eg5、根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为，椭圆上一点到两焦点的距离和为26；

2、（2）长轴是短轴的2倍，且过点。答案：（1）。（2）和。eg6、的两个顶点分别是和，另两边，的斜率乘积为，求顶点的轨迹方程。答案：。eg7、已知焦点在轴上的椭圆的焦点的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是 。答案：eg8、已知是两定点，动点到点的距离是4，线段的中垂线交于点，当点变化时，求动点的轨迹方程。答案：。eg9、已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，满足，的平分线交于点，求椭圆的方程。答案：。eg10、已知常数,在矩形中，为的中点，点分别上移动，且，为与的交点（如图所示），问是否存在两个定点，使到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请

3、说明理由。答案：；当时，点的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点的轨迹为椭圆的一部分，点到该椭圆的距离和为定长。当时，点到椭圆两焦点的距离之和为定值。当时，点到椭圆两焦点的距离之和为定值。 eg10 eg11eg11、如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22m，要求通行车宽限高4.5m，隧道全长2.5km，隧道的拱线近似的看成半个椭圆形状。（1）若最大拱高m，则隧道设计的拱宽是多少？（2）若最大拱高不小于6m，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积=底面积×高，本题结果均精确到0.1m）答案：（1）33.3m；（2）

4、拱高为6.4m，拱宽约为31.1m时，土方工程量最小。eg12、已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 。答案：。eg13、已知椭圆经过点，两个焦点。（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值。答：（1）；（2）定值为；eg14、已知椭圆的重心在坐标原点，长轴在轴上，离心率是，两个焦点分别为和，椭圆上的一点到和的距离之和为12.圆的圆心为点。（1）求椭圆的方程；（2）求的面积；（3）问：是否存在圆包围椭圆？请说明理由。答案：（1）；（2）；（3）任何圆都不能包围

5、椭圆。二、由焦点所在位置确定方程中的参数eg15、若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围。答案：。eg16、若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则 ；答案：。eg17、若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是 。答：。三、点与椭圆的位置关系eg18、已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足于。设点的坐标为，证明：。eg19、取椭圆在第一象限部分的一点，以点横坐标作为长轴，纵坐标作为短轴作椭圆，如果的离心率等于的离心率，则的坐标为 。答案：eg20、已知点，又是曲线上的点，则（ ）答案：Ceg21、已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心

6、率的取值范围是（ ）；答案：C四、与椭圆焦点三角形有关问题eg22、已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，。（1）求椭圆离心率的范围。（2）求证：的面积只与椭圆的短轴长有关。答案：；。eg23、设为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，已知，是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。答案：2eg24、在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 。答案：eg25、动点为椭圆上异于椭圆顶点的一点，为椭圆的两个焦点，动圆与线段的延长线及线段相切，则圆心的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）一条直线；双曲线的右支；抛物线；椭圆；答案：Aeg26、椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反

7、射光线经过椭圆的另一个焦点。现在有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆反弹后，再回到时，小球经过的路程是（ ）以上都有可能； 答案：Deg27、设为椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，当的面积为1时， 的值为（ ） 答案：A；eg28、设为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，如果，则椭圆的离心率是 。答案：五、求椭圆的离心率、准线方程、长轴短轴长、顶点坐标、焦点坐标等问题eg29、略eg30、若方程表示椭圆，则焦点的坐标是 。答案：；eg31、椭圆的焦点，两条准线与轴的交点分别为。若，则该椭圆离心率的取值范围是 。答案：。eg32、设为椭圆

8、的离心率，且，则实数的取值范围为 。 答案：eg33、如图所示，从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴端点的连线。求椭圆的离心率。答案：。eg34、设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为，则点（ ）答案：A必在圆内；必在圆上；必在圆外；以上三种都有可能；eg35、略eg36、已知长轴的两端点为，如果椭圆上存在一点，使得，求这个椭圆离心率的范围。答案：。eg37-50、略六、弦长、焦点弦长及焦半径问题eg51、设为椭圆上任意一点，为它的一个焦点，求的最大值和最小值。答案：eg52、如图，把椭圆的长轴分成8等份，求每个分点做轴的垂线，交椭圆的上半部分于七个点，

9、是椭圆的一个焦点，则 。答案35eg53、已知的短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。答案：。eg54、求过椭圆的焦点，斜率为2的弦长及弦的中点到该焦点的距离。答案：。eg55、已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，求弦的长。答案：。eg56、在椭圆上求一点，使到左准线的距离是到两焦点的距离的等比中项。答案：。eg57、设椭圆的焦点分别为，右准线交轴为点，且。（1）求椭圆方程；（2）过分别做互相垂直的两直线与椭圆分别交于四点，试求四边形的面积的最大值和最小值。答案：（1）（2）。eg58、中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线的方程为。（1）求椭圆方程。（2）在椭圆上任意三个

10、不同的点，使，求证：为定值，并求此定值。答案：（1）；（2）eg59、过椭圆的右焦点做一直线交椭圆C于两点，且到直线的距离之和为，求直线的方程。答案：或。七、直线与椭圆相交或相切问题eg60、已知中心在原点、焦点在坐标轴上的椭圆与直线相交于两点，且，连接的中点与原点的直线斜率为，求此椭圆的方程。答案：。eg61-63略eg64、已知对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是 。答案：。eg65-70略eg71、椭圆与过点的直线有且只有一个公共点，且椭圆的离心率。（1）求椭圆的方程；（2）设分别为椭圆的左、右焦点，M为线段的中点，求证：。答案：（1）；（2）略eg72、略eg73、直线与

11、椭圆交于两点，记得面积。（1）求在的条件下S的最大值；（2）当时，求直线的方程。答案：（1）当时，S取最大值1. （2）直线方程有四条：；。八、有关最值的问题eg74、设则的最小值是 。答案：-3.eg75、椭圆上一点P到两焦点的距离之积为，则当取最大值时，P点的坐标是 。答案：。eg76、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线之间的距离为4.（1）求椭圆的方程。（2）直线过点，且与椭圆相交于两点，当面积取最大值时，求直线的方程。答案：（1）；（2）直线方程为。面积的最大值是。eg77、若过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为 。答

12、案：12。eg78、已知动点在椭圆上，若A点坐标为，且，则的最小值是 。答案：。eg79、设为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任意做一直线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于 。答案：-2.eg80、已知椭圆内一点，动点P在椭圆上，。（1）求的最大值。（2）求的最小值。答案：（1）；（2）.eg81、略eg82、设使椭圆上的两个动点，椭圆右焦点是（其中不共线），则的周长的最大值是 。答案：8.eg83、已知点，F是椭圆的右焦点，点M在椭圆上，当取最小值，点M的坐标是 答案：eg84、已知椭圆，直线，在椭圆上求一点，使得到直线的距离最小；在椭圆上求一点，使得到直线的距离最大。答案：，eg85

13、、已知P点在圆上移动，Q点在椭圆上移动，求的最大值。答案：6.eg86、已知点A在圆上运动，点B在以为右焦点的椭圆上运动，求的最大值。答案：。eg87、椭圆的一个焦点为，且过点。（1）求椭圆方程；（2）若AB为垂直于x轴的动弦，直线与x轴交于点，直线与交于M。求证：点M恒在椭圆C上。求面积的最大值。答案：（1）；（2）略；。eg87略。九、已知椭圆弦中点，求此弦所在的直线方程eg89、已知一直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，求直线的方程。答案：。eg90、已知椭圆，过点引一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程。答案：。eg91、已知椭圆的左焦点为为坐标原点。（1）过点O，F，并且为

14、椭圆的左准线相切的圆的方程。（2）设过点F的直线交椭圆于A，B两点，并且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。答案：（1）；（2）答案：或。十、有关椭圆上存在关于直线对称点的问题eg92、已知椭圆，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称。答案：。eg93、椭圆，试确定的取值范围，使椭圆上有两个不同的点关于直线对称。答案：。十一、由椭圆方程画椭圆图形eg94、做方程的图像。eg95、在平面直角坐标系内，下面的方程表示什么曲线？。eg96-98略十二、有关椭圆的证明问题eg99、在椭圆上任取两点，使得。求证：。eg100、设椭圆与y轴交于，与x轴交于在椭圆上找任意一点P，连接

15、与x轴交于R，求证：。eg101、设椭圆，过点，且左焦点为。（1）求椭圆方程。（2）当过点的动直线与椭圆相交于量不同点时，在线段上取一点，满足，证明：Q总在某定直线上。答案：（1）；（2）总在直线：上。eg102、设为椭圆上一点，过A作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为A点到椭圆两焦点的距离。求证：为常数。答案：。eg103-105略十三、椭圆的判定eg106、略eg107、到两定点和距离之和为4的点M的轨迹是 。答案：线段。eg108、略eg109、方程表示的曲线是 。答案：椭圆。十四、椭圆动弦中点的轨迹问题eg110、已知椭圆和椭圆外一点，过这点任意引直线与椭圆交于A，B两点

16、，求弦AB的中点P的轨迹方程。答案：在椭圆内的部分。十五、其它问题eg111、是椭圆的焦点，在椭圆C上满足的点P的个数为 。答案：2个。eg112、略eg113、在直角坐标系中，若方程的曲线为椭圆，则实数的取值范围是 。答案：eg114、椭圆的焦点和，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么是的 倍。答案：7倍。eg115、若以椭圆的短轴端点为直角顶点作等腰直角三角形，三角形另两个顶点在椭圆上，问：遮掩光的三角形能不能做？若能做，可做多少个？答案：答案：存在；当时，可作一个；当时，可作三个。eg116-119略、eg120、已知椭圆的一个焦点为，过点引直线与椭圆交于（在之间），求的取值范围。

17、答案：十六、有关椭圆的综合问题eg121、已知方向向量的直线过点和椭圆的焦点，且椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上。（1）求椭圆的方程。（2）是否存在过点的直线交椭圆于点，满足（为原点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。答案：（1）椭圆的方程：。（2）存在，所求直线方程为：。eg124、略eg125、已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D。椭圆C的有丁点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：分别交于M，N两点：（1）求椭圆C的方程。（2）求线段MN的长度的最小值。（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得的面积为？若存在，确定点

18、T的个数，若不存在，说明理由。答案：（1）；（2）；（3）存在两个点使得最小面积为。eg126-130略双曲线及其标准方程 一、求双曲线的标准方程 eg1、略eg2、求过点且与圆外切的圆的圆心轨迹方程。答案：eg3、设双曲线与椭圆有共同焦点，且与此椭圆一个交点的纵坐标为4，求这个双曲线的方程。答案：eg4、在中，点运动时满足，求点的轨迹。答案：eg5、双曲线的一个焦点是，求及双曲线的标准方程。答案：eg6、求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点，且离心率为的双曲线方程。答案：eg7、eg8、eg9、eg10、eg11、eg12、eg13、eg14、eg15、eg16、eg17、eg18、eg19、eg20、eg21、eg22、eg23、eg24、二、双曲线的焦点问题三、求双曲线方程中的参数取值范围问题 四、双曲线的离心率问题五、焦点弦问题和焦半径问题 六、有关最值问题七、直线与双曲线相交问题和有关弦长的问题 八、画双曲线的图形九、双曲线的切线问题 十、中点弦问题十一、双曲线准线问题 十二、双曲线弦中点轨迹问题十三、和双曲线焦点有关的三角形问题 十四、与双曲线渐近线有关的问题十五、双曲线中有关证明问题 十六、双曲线的判定及双曲线定义的应用十七、双曲线的综合问题抛物线及其标准方