(隐函数组)_(数学分析)

1、第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.3.,0),(000

2、0vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；, ),(000yxuu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(000yxvv ),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理证明略.仅推导偏导数公式如下：vvvuvuGFG

3、GFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxGFyyGFxxGFyyGF0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0公式 目录 上页 下页 返回 结束 故得系数行列式同样可得),(),(1vyGFJyu机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(1vxGFJxu),

4、(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv例例4. 设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习: 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:由题设故有例例5.5.设函数在点(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 证明函数组),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一邻域内. ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(,

5、 ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式两边对 x 求导, 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 3 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数. , 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uy

6、uxJ机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxJyuuxJyv1, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxJyuuxJyv1xuxv例例5的应用的应用: 计算极坐标变换sin,cosryrx的反变换的导数 .),(),(ryxJxrx同样有22yxyyr22yxxy所以由于vyJ 1uyJ 1cos1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxyrr机动 目录 上页 下页 返回 结束

7、内容小结内容小结1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式思考与练习思考与练习设, ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 zx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(zyxzyxfz解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏

8、导数.,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx第六节 目录 上页 下页 返回 结束 由d y, d z 的系数即可得uzyxx x)()(xzzxyy及,2 yxeyx备用题备用题.ddxu求分别由下列两式确定 :又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 ,1. 设,dsin0tttezxx(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,x

9、yy)sin()(1zxzxezx解得因此 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 设)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数 , 求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(99考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 微分法.0),(),(zyxFyxfxz对各方程两边分别求微分:化简得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 二元线性代数方程组解的公式雅可比雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家