2018版高中数学苏教版必修五学案：2.3.1等比数列的概念

1、 2. 3.1 等比数列的概念 【学习目标】1通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用 2 掌握等比中项的概念并会应 用.3掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 西问题导学 - 知识点一等比数列的概念 思考 观察下列 4 个数列， 归纳它们的共同特点. 1,2,4,8,16，; 1,1,1,1,； 梳理等比数列的概念和特点. (1) _ 定义：如果一个数列从第 _ 项起，每一项与它的 一项的 _ 都等于 _ 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 _ ，通常 用字母 q 表示(q丰0). an an +1 * 递推公式形式的定义： =q(n1)(或 一=q， n N ).

2、 an1 an 等比数列各项均 _ 为 0. 知识点二等比中项的概念数列 等比数列 1 1 丄 4， 8， 16, 一 1,1, 1,1, 思考 在 2,8 之间插入一个数，使之成等比数列这样的实数有几个? 梳理 等差中项与等比中项的异同，对比如下表: 对比项 等差中项 等比中项 定义 右 a, A, b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b的等差中项 若 a, G, b 成等比数列，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项 定义式 A a= b A G b a G 公式 a + b A= 2 G = ab 个数 a 与 b 的等差中项唯一 a 与 b 的等比中项有两个，且互为相反 数 备注 任意

3、两个数 a 与 b 都有等差中项 只有当 ab0 时，a 与 b 才有实数等比 中项 类型一等比数列的判定 例 i 判断下列数列是不是等比数列. (1)0,1,2,4 ; (2)1,1,1,1 ; (3)0.1,0.01,0.001,0.000 1 ; (4)3, - 3 3, 9, 9 .3.反思与感悟 (1)等比数列任一项均不为 0.(2)等比数列的公比可以是任意非零常数. 跟踪训练 1 根据下列条件，写出等比数列的前 4 项. (1)ai= 1, q = 2; (2)ai = 1, q = 2; (3)ai= 1, q= 2; (4)ai= 1, q= 2. 类型二证明等比数列 7 11

4、 * 例 2 已知数列an满足 a1 = 7且 an+1 = ：an +1, n N . 8 2 3 2 求证：an 3是等比数列. 反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义, 1 * 跟踪训练 2 已知数列an的前 n项和为 Sn,且 Sn= 3(an 1)(n N ). (1)求 a1, a2； 证明：数列an是等比数列.an+1 即石=q(与n无关的常数) 当堂训练 - 1 .在等比数列an中，ai = 8, a4= 64,则 a3= _ 2 若等比数列的首项为 4，公比为 2,则这个数列的第 6 项为 _ 3. 已知等比数列an满足 ai+ a2= 3, a2+ a3=

5、6，则公比 q= _ . 4. 45 和 80 的等比中项为 _ . p-规律与方法 - 1 .等比数列的判断或证明 an+1 （1）利用定义： =q（与 n无关的常数）. an 利用等比中项：an+1= anan +2（n N ）. 2 .两个同号的实数 a、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个 （ ab）,而不是一个（，ab）, 这是容易忽视的地方. 问题导学 知识点一 思考 从第 2 项起，每项与它的前一项的比是同一个常数. 梳理 (1)二前比同一个公比 不能 知识点二 思考 设这个数为 G.则G= 8, G2= 16, G= 4所以这样的数有 2 个. 2 G 题型探究 1 例

6、1 解(1)6 无意义，不是等比数列. (2) 每项与前一项的比均为 1，是等比数列. 001 = .1 需1,册=，是等比数列. 3 3 9 一 9、.；3 (4) 于 =一 V3, 3羽=- V3 9 =一 需，是等比数列. 跟踪训练 1 解 (1)a1 = 1, a2= a1 x 2 = 2, a3= a22 = 4, a4= a3X 2= 8. (2)a1= 1, a2= a1 x 2= 2, a3 = a2 2 = 4, a4= a3 2 = 8. (3) a1= 1, a2= a1 x ( 2) = 2, a3= a2x ( 2) = 4, a4= a3x ( 2) = 8. (4

7、) a1= 1, a2= a1 x ( 2) = 2, a3= a2X ( 2) = 4, a4= a3x ( 2) = 8. 1 1 例 2 证明/ an+ 1= 2an+ 3. 2 1 12 1 1 1 2 an+1- 3 = 2an+ 3 3= 2an 3 = 2(an 3), 2 7 2 _5_ .a 1 工 0, 1 3 8 3 24 2 1 -an 3是公比为 2 的等比数列.答案精析 an+1 1, n N*, 2， ， 1 1 跟踪训练 2 解 .a1= Si = i（ai 1）,二 ai= -. 3 2 1 又 a1+ a2= 3 = 3（a2 1）, 证明 / Sn= （a