2018版高中数学苏教版必修一学案：3.1.2第1课时指数函数及其图象

1、 3. 1.2 指数函数 第 1 课时 指数函数及其图象 学习目标 1.理解指数函数的概念和意义（难点）；2.能画出指数函数的简图（重 点）；3初步掌握指数函数的有关性质（重点）. I课前預习 “耋ilif證噩I盲至瑩旨鑒鬆逹基画 预习教材 P64 67,完成下面问题： 知识点一指数函数的概念 一般地，函数 y= ax（a0, 且 a 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义 域是 R. 【预习评价】 F 列函数中一定是指数函数的有 _ 填序号）. X； (1)y= (4)； (3)y= 2X 3X； 解析 y= （ 4）x的底数一 4V 0,不是指数函数；y= 2X 3X中 3X的系

2、数等于 2,不 是指数函数；y= X3中自变量 X 在底数的位置上，不是指数函数；由指数函数的 定义知，只有 y= 3X是指数函数. 答案（2） 知识点二指数函数的图象和性质 1 X (2)y=(3); (4)y=x3; 续表 定义域： R 值域：(0, + g) 性质 过点(0,1)， 即 x = 卫时” J 当 x 0 时，y 1; 当 x0 时，0y 1; 当 x 0 时，0 y 1 当 x 1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 【预习评价】 指数函数 f(x) = (a+ 1)X是(g, +9上的减函数，则 a 的取值范围是 _ . 解析函数 f(x) = (a+ 1)x是指数函

3、数，且 f(x)为减函数，/0 a+ 1v 1, A-K a V 0. 答案 (一 1,0) 知识点三比较幕的大小 一般地，比较幕大小的方法有： (1) 对于同底数不同指数的两个幕的大小，利用指数函数的单调性来判断； 对于底数不同指数相同的两个幕的大小，利用指数函数的图象的变化规律来 判断； 对于底数不同指数也不同的两个幕的大小，则通过中间值来判断. 【预习评价】 思考 若 xi0 且 a 1)大小关系如何？ 提示 当 a 1 时，y= ax在 R 上为单调增函数. 所以 ax1 a,当 0aax2. 题型剖析.可动探究 题型一 指数函数的概念 【例 1】 给出下列函数： y= 2 3x:丫二

4、 3x+1y= 3x;y=x3;y= (2)x.其中，指数函数的个数是 解析 中，3x的系数是 2,故不是指数函数；中，y= 3x+1的指数是 x+ 1, 不是自变量 x,故不是指数函数；中，3x的系数是 1,幕的指数是自变量 x, 且只有 3x 一项，故是指数函数；中，y=x3的底为自变量，指数为常数，故 不是指数函数；中，底数2V 0,不是指数函数. 答案 1 规律方法(1)指数函数的解析式必须具有三个特征：底数 a 为大于 0 且不等 于 1 的常数；指数位置是自变量 x；ax的系数是 1. (2) 求指数函数的关键是求底数 a,并注意 a 的限制条件. 【训练 11 函数 y= (2a

5、2 3a + 2) ax是指数函数，求 a 的值. 2 2a 3a + 2= 1, I 1 解由题意得 a0, 解得 a=2. a 1, 1 a 的值为 2. 题型二 指数型函数的定义域、值域 【例 21 求下列函数的定义域和值域： 2 y 1 X x 3 1 41 (1) y= 2x4； (2)y= .1 2x； (3)y=- x x+1 . A (4)y= 4 + 2 + 1. 解 (1)由 x 4 工 0,得XM4, 1 故 y= 2x4的定义域为x|x 取，且XM4. 1 . _ 又 M 0,即 M 1, x 4 故科= 的值域为y|y0,且 yM 1. 由 1 2x0,得 2x 1,

6、/x0, y= ：；1 2x 的定义域为(3 0. 由 0v2x 1,得一 1 2xv0,/0 4, 2 O 卽=16. t 1 JZ 2 ja 又 0, 2 / j 、乂 故函数 y= 的值域为(0,16. (4) 定义域为 R. y=4x+ 2x+1 + 1 = (2x)2 + 2 2x+ 1 = (2x+ 1)2, 又 2x0,y1，故函数的值域为yy1. 规律方法 对于 y= af(x)(a0,且 a 1)这类函数, (1) 定义域是使 f(x)有意义的 x 的取值范围； (2) 求值域问题，有以下三种方法： 由定义域求出 u = f(x)的值域； 利用指数函数 y= au的单调性求得

7、此函数的值域. 求形如 y= Aa2x+ B ax+ C 类函数的值域一般用换元法，设 ax= t(t0)再转化为 二次函数求值域. 【训练 2 (1)函数 f(x)=71 2x + A的定义域为 x+ 3 函数 f(x)= 3)- 1, x 1,2的值域为 _ . ”1 2x 0, 解析（1）由题意，自变量 x 应满足 S :x+ 3 0, |x 0, 解得 3v x- 3, 1 1 8 _ 8 i (2)v-1 x 2,.亍 gjw 3,A9d 1, bvav 1. b0 时，y= 2x的图象, 再作关于 y 轴的对称图形，即可得到 y= 2|x|的图象. 【探究 3】 试画出 y= 2|

8、x-11的图象. 而 y= 2x-1可由 y=2x向右平移 1 个单位得到，y= ?)-1可由 y= 向右平移一 个单位得到. 图象如下: 【探究 4】 直线 y = 2a 与函数 y = |2x- 1|图象有两个公共点，求实数 a 的取值范 围.y= 2- J 2x-1, x 1, 21-x，xv 1 2x-1, x 1, 2x, xv0, 解 y= |2x 1|= 图象如下: l2x 1, k 7 由图可知， 要使直线 y= 2a与函数 y= |2x- 1|图象有两个公共点. 1 1 需 Ov2av 1, 即 Ovav2,故 a6(0, 2) 规律方法 指数函数 y= ax(a0 且 a

9、1)的图象变换： (1)平移变换： 把函数 y= ax的图象向左平移(K(0)个单位， 则得到函数 y= ax+ 的图象；若向右平移(K 卩 0)个单位，则得到函数 y= ax 的图象；若向上平移衣护 0) 个单位，则得到 y= ax+的图象；若向下平移(K 代 0)个单位，贝 U 得到 y= ax 的图象即“左加右减，上加下减”. 对称变换：函数 y= ax的图象与函数 y= ax的图象关于 y 轴对称；函数 y= ax的图象与函数 y= ax的图象关于 x 轴对称；函数 y= a x的图象与函数 y= ax的图象关于原点对称；函数 y= a|x|的图象关于 y 轴对称；函数 y= |ax

10、b|的图象 就是 y= ax b 在 x 轴上方的图象不动，把 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方. 一般的情形：函数 y= |f(x)|的图象由 y= f(x)在 x 轴上方图象与 x 轴下方的部 分沿 x 轴翻折到上方合并而成，简记为 “下翻上，擦去下”；函数 y= f(|x|)的 图象由函数 y=f(x)在 y 轴右方图象与其关于 y 轴对称的图象合并而成，简记为 “右翻左，擦去左”. 课堂反馈 自規亂罰瑟 课堂达标 1. _ 若函数 y= (a2 5a + 7)(a 1)x是指数函数，则 a 的值为 _ . 解析 由指数函数的定义可得 a2 5a+ 7= 1, 解得 a = 3 或 a

11、= 2, 又因为 a 10 且 a 1 工 1, 故 a = 3. 答案 3 2. _ 已知函数 f(x) = 4+ ax+1的图象经过定点 P,则点 P 的坐标是 _ . 解析 当 x+ 1 = 0,即 x= 1 时，ax+1= a0= 1,为常数，此时 f(x) = 4+ 1= 5, 即点 P 的坐标为(1,5). (丄) 解析-x2 1 1,/y= 又 y0,.函数值域为(0,2. 答案(0,2 4.已知 0vav 1, bv 1, J则函数 y= ax+ b 的图象必定不经过第 _ 限. 1 (1 解析 取 a=2, b= 2,所以得函数 y= 2 x2,由图象平移的知识知，函数 y =一 2 的图象是由函数 y= 1 x的图象向下平移两个单位得到的， 故其图象一 定不过第一象限. 答案一 5.若函数 f(x)= (a2 7a + 7)ax是指数函数，求实数 a 的值. 解 -函数 f(x)= (a2 7a + 7)ax是指数函数， a2 7a+ 7= 1, a= 1 或 a = 6, a0, a 1. a0, a 1. 答案 (1,5) 的值域是 a= 6,即实数 a 的值为 6. 课堂小结 1. 判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合 y= ax（a0 且 a 1） 这一结构形式，即 ax的系数是 1,指数是 x 且