2018版高中数学苏教版必修四学案：章末复习课1

1、 学习目标】1理解任意角的三角函数的概念 2 掌握同角三角函数基本关系及诱导公式 3 能 画出 y= sin x, y= cos x, y= tan x 的图象 4 理解三角函数 y= sin x, y= cos x, y= tan x 的性质.5. 了解函数 y= Asin( +妨的实际意义，掌握函数 y= Asin(3x+$)图象的变换. n知识梳理 - i .任意角三角函数的定义 在平面直角坐标系中，设 a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x, y),那么： (1) y 叫做a的 _ ，记作 _ ，即 _ ； (2) x 叫做a的 _ ，记作 _ ，即 _ ； (3) 叫做a的

2、_ ，记作 _ ，即 _ . x 2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： _ . 商数关系：tan a= COM (工 kn+ 2, Z 3 .诱导公式 n 六组诱导公式可以统一概括为“ k a(k Z)”的诱导公式.当 k 为偶数时，函数名不改变； 当 k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把 a视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为 “奇变偶不变，符号看象限”. 1 章三角函数 定义域 R R , n x|x R 且 xM kn+ 2, k Z 值域 对称性 n 对称轴：x= kn+ 2(k Z); 对称中心：(k n, 0)(k Z) 对称轴：x= knk Z); 对称中心：k

3、n+ n， 0 f (k Z) 对称中心： fkn，0 (k Z)，无对称轴 奇偶性 周期性 最小正周期： 最小正周期： 最小正周期： 单调性 在 (k 在 (k 扌+ 2k n, n+ 2k Z)上是单调增函数； n 3 n 1 + 2k n _+ 2k n 1 2 2 J Z)上是单调减函数 在n+ 2k n, 2kn Z)上是单调增 函数；在2kn, n+ 2kn Z)上是单调减 函数 在开区间(k n 2 , k n+ (k Z)上是单调增函数 最值 在 x= (k Z)时， ymax= 1 ；在 x= 2+ 2kn(k Z)时，ymin= 1 在 x = 2kg Z)时， ymax=

4、 1 ；在 x= n+ 2knk Z)时，ymin = 1 无最值 题型探究 - 类型一 三角函数的概念 例 1 已知角B的顶点为坐标原点，始边为 x轴的正半轴.若 P(4, y)是角B终边上一点，且 sin 0=-兮，贝V y= _ . 反思与感悟 (1)已知角a的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： 先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三 角函数值. 在a的终边上任选一点 P(X, y), P 到原点的距离为 r(r 0).则 sin a= :, cos a=:.已知a 的终边求a的三角函数值时，用这几个公式更方便. 当角a的终边上点的坐标以参

5、数形式给出时， 要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 跟踪训练 1 已知角a的终边经过点 P(3,4t)，且 sin(2kn+a = -；(k Z)，则 t = _ . 类型二同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用 例 2 已知关于 x的方程 2x2(寸 3 + 1)x + m= 0 的两根为 sin 0, cos 0, (0,2 n .求: cos2 字-0 sin 扌+ 0 (1) - p - cos 牙-0 p cos( 0 1 + tan( n 0) m 的值； (3)方程的两根及此时 0的值. 反思与感悟 (1)牢记两个基本关系式 sin2 a+ cos2 a= 1 及 tan

6、 a并能应用两个关系式进 cos a 行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知 sin a 3OS a 的值，可求 cos asin a注意应用(cos asin1 2sin acos a n (2)诱导公式可概括为 k土ak Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变， 符号看象限. 2 跟踪训练 2 已知 f( a)= sin(n a)cos(2 n a)tan( n+a) si n( n+ a tan a+ 3 n (1) 化简 f( a ； (2) 若 f( a= 士且玄 an，求 cos a Sin a的值； 8 4 2 若a= 4，求f(

7、a的值. 类型三 三角函数的图象与性质 例 3 将函数 y= f(x)的图象向左平移 1 个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 然后向上平移 1 个单位长度，得到函数 y= . 3sin x的图象. (1)求 f(x)的最小正周期和单调增区间； (2)若函数 y= g(x)与 y= f(x)的图象关于直线 x= 2 对称，求当 x 0,1时，函数 y= g(x)的最小 值和最大值. 反思与感悟 研究 y= Asinx+妨的单调性、最值问题，把 跟踪训练 3 函数 f(x) = 3sin 2x+才的部分图象如图所示. (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 xo, yo的值； 求 f(x)

8、在区间n 上的最大值和最小值. 类型四三角函数的最值和值域 命题角度 1 可化为 y = Asin(x+ $汁 k 型 例 4 求函数 y= 2si n(x + y + 3, x 0 , n的最大值和最小值. 反思与感悟 利用 y= Asin( 3汁妨+ k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响. 跟踪训练 4 已知函数 y= asin(2x+石)+ b 在x 0 ,上的值域为5,1，求 a, b 的值. 命题角度 2 可化为 sin x或 cos x的二次函数型 3X+ $看作一个整体来解决. 例 5 已知|x|w才，求函数 f(x) = cos2x+ sin x 的最小值. 反思与

9、感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错. 跟踪训练 5 已知函数 f(x)= sin2x asin x+ b+ 1 的最大值为 0,最小值为4,若实数 a0, 求 a, b 的值. 类型五 数形结合思想在三角函数中的应用 例 6 已知方程 sin(x+于=譽在0, n上有两个解，求实数 m 的取值范围. 3 2反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究 y =Asin( 3X+$)(A0, 30)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想. 跟踪训练 6 设函数 f(x)= Asin( 3x+ )(A, w, $是常数，A 0, w 0).若 f

10、(x)在区间年，刁 n 2 n n 上是单调函数，且 峪)=f(yo =呢)，则 f(x)的最小正周期为 _ . 1 .若一个角 a的终边上有一点 P( 4 , a)，且 sin a COS a=-43，贝 y a 的值为 17 5 .已知函数 f(x)= sinx+ sin x+ a，若 1 0, K2 的部分图象如图所示，则 w, $的值分别是 用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来 获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图 象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.答案精析 知识梳理 亠 亠 y 1. 正弦 sin

11、a sin a= y (2)余弦 cos a cos a= x (3)正切 tan a tan a= x (XM 0) 2 2 2. (1)sin a+ cos a= 1 4. - 1,1 1,1 R 奇函数 偶函数奇函数 2 n 2 n n扌+ 2k n 题型探究 例 1 8 9 跟踪训练 1 三 例 2 解由根与系数的关系，得 V3+1 sin 0+ cos 0= 2 , m sin 0cos 0= . sin2 0 cos2 0 3+ 1 =sin 0+ cos 0= sin 0 cos sin 0 cos 0 2 V3+1 (2)由 sin 0+ cos 0= 2 两边平方可得 m=

12、(3) 由 m=可解方程 2X2 ( .3+ 1)x+=0,(1)原式= 2 sin 0 cos 0 + = + : sin 0 cos 0 1 tan 0 sin 0 cos 0 1 sin 0 cos 0 sin2 0 cos 0 1 + 2sin 0cos 0= 4 + 2、3 1 + 2X +于， 张(o,2 n, J n - 0= 6 或 3 跟踪训练 2 sin a cos a tan a sin a cos a sin a tan a 1 由 f( a= Sin a cos a=；可知， 8 2 2 2 (cos a sin a = cos a 2sin a cos a+ sin

13、 a 1 3 =1 2sin a cos a= 1 2 即 cos a sin , cos a sin a=弩 2 - (3) - a= 44n= 6 x 2n+ 4, =cos 6X 2 n+ 訂 sin 6X 2 n+ =cos； si 门亍=于 x：22= 2 例 3 解(1)函数 y= .3 sin x 的图象向下平移 1 个单位长度得 y = . 3sin x 1，再将得到的 3倍，得到 y=乜 sinc 1图象上的点的横坐标伸长为原来的的图象，然后向右平移 1 个单位 n 3 长度，得到 y= 3sin(nxn 1 的图象，函数 y= f(x)的最小正周期为 T = 红 6由 2k

14、n詐才 33 n 2 3 sin 0=1, _3 sin 0= 2， I cos 0= 2 cos 0= 1. 解(i)f( a= X 8 = 4. n n 又4 a2，二 cos o 0 时，a = 4, 解得 b =- 3; 、一 -1 + b= 1， 当 av 0 时， a + b=- 5, a =- 4, 解得 b =- 1. a, b 的取值分别是 4， 3 或4, 1. 例 5 解 y= f(x) = cos2x+ sin x =- sin2x+ sin x+ 1. n 令 t = sin x, / |x| -, - -2 sin xw 则 y=-t2+1+ 1 = - (t-2)2 + 4(-22t2 时， ymax = g 1 = a+ b= 0, I ymin = g 1 = 一 a + b = 一 4 , a = 2, 解得 b =- 2. 当一 1 -20 ,即 0a2 时，1- *2 2 ymin = g 1 = a + b = 4 , a = 2, a= 6, 解得 (舍)或 (舍), b = 2 b= 10 综上所述，a= 2, b=