2025年广东大湾区高三一模数学试题（含答案详解）

2025届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试(一)

数学

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和

准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的

答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在

试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不

准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={x|x=2左水eZ},B={x|log2x<3},则人口2=()

A.{2,4}B.{4,6}

C.{0,2,4}D.{2,4,6}

2.复数z满足z(l+i)=2i,其中i为虚数单位，则忖=()

A.2B.2叵C.1D.72

3.已知平面向量1,5的夹角为60。，且同=2,归+.=2若，则归卜()

A.1B.2C.20D.4

4.若/,“2为两条不同的直线，C,尸为两个不同的平面，则()

A.若/〃a,mca,贝1"〃羽

B.若/〃a,m//a,贝

C.若/_La,mV(},l±m,则C#

D.若/〃a,a///3,则〃/月

5.下列四组数据中，方差最小的为（）

A.29,25,37B.30,46,25

C.38,40,35D,40,18,30

6.早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行

估算.如图所示，把太阳光视为平行光线，。为地球球心，A,B为北半球上同一经度的两点，

且43之间的经线长度为L于同一时刻在A,B两点分别竖立一根长杆AA和8月，通过

测量得到两根长杆与太阳光的夹角a和夕和夕的单位为弧度），由此可计算地球的半径

7.设函数/（x）=ln（e2，+l）+国一无，则不等式〃2X一1）一〃%+1）〈0的解集为（）

A.（-00,2]B.[0,2]

C.[2,+oo）D.（-oo,0]u[2,+oo）

8.己知抛物线V=4x的弦48的中点横坐标为5,则|钻|的最大值为（）

A.12B.11C.10D.9

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线/：Ax-y+2左=0和圆。：/+_/=9,贝!|（）

A,直线/恒过定点（2,0）

B.存在上使得直线/与直线％：x-2y+2=。垂直

C.直线/与圆。相交

D.若左=-1,直线/被圆。截得的弦长为2近

10.已知函数〃x）=siiu>Jl+cos2x,则（）

试卷第2页，共4页

A.是奇函数

B.〃x)的最小正周期为兀

C.在卜母上单调递增

D.〃x)的最小值为一4

11.设曲线G：y=e)抛物线G：V=2px(p>0),记抛物线的焦点为尸，M,。为分别

为曲线G，C上的动点，/为曲线C1的切线，则()

A.若C1与G无公共点，则pe(O,e)

2

B.若/过点/，贝!]/被G截得的弦长为P+F

ez

@

c.当P=I时，2

0

4

D.当P=1时，

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.双曲线尤2一匕=1的左，右焦点分别为6,鸟，点尸在双曲线右支上，若户周=4,则

6

"PF。=.

2兀

13.在VA5c中，已知C=y,tanAtanB=2-73,则cos(A-3)=.

14.有三个袋子，每个袋子都装有〃个球，球上分别标有数字123,…,w.现从每个袋子里任

摸一个球，用X,Y,Z分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事

件“x+y=z”的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.已知等差数列｛4｝满足%,。用是关于x的方程工2-4力\+2=0的两个根.

⑴求q；

(2)求数列[(-1)”•学|的前〃项和s”.

16.在VABC中，角A,民C的对边分别为a,b,c,AD为边BC上的中线.

(1)证明：AD=^2(b2+c2)-a2；

TT

(2)若4=§,a=2,求AD的最大值.

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD_L平面ABC。，AB//DC,BC=CD=AD=2,AB=4.

(1)证明：PA1BD-

(2)若四棱锥尸-ABCD的外接球的表面积为25兀，求二面角C-AB-P的余弦值.

18.数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列

(〃eN*)的性质，对通项公式取对数得，ln%=ln[l+/J,则可通过研究函数

y=ln(l+x,的性质，得到数歹U｛lnqJ的性质，进而得到｛%｝的性质.请根据以上材料，解决

如下问题：

⑴若不等式5、ln(l+x)对任意x»0恒成立，求实数c的取值范围，并证明：+；

.19-

⑵是否存在常数。，使得：WTZEN*有，1-。—1?若存在，求。的值；若不存在，

n

请说明理由.

(注：e为自然对数的底数)

19.线段MN的长为3,端点M,N分别在y轴和无轴上运动，点E满足砺=2就，记点E

的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)曲线C与x轴的左右两个交点分别为4反尸为C上异于A,8的动点.过点0(1,0)分别作

直线4〃AP,直线尸，其中乙与曲线C交于G,H两点，/?交直线x=-1于点R，点/满

足应=|Z)M而.

①求点/的轨迹方程；

②的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

1.D

【分析】解对数不等式求出集合3,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由log2*<3,即logzXVbg/,解得0<x<8,

所以3={x|log2尤<3}={x[0<尤<8},

又4={彳归=2太上eZ}={…,T,-2,0,2,4,6,8,…},

所以4nB={2,4,6}.

故选：D

2.D

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z,再计算其模即可.

【详解】因为z1+i=2i,所以z=「=〉J=l+i,

所以|z|=至不=&.

故选：D

3.B

【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得

出答案.

【详解】由忖+方|=2道，

ll-j一必

r2rrr2

所以k=12,即Q+2a-b+b=12,

即22+2x2忖xcos60°+忏=12,整理得怀+2旧—8=0,

解得忖=2或T（舍去），

所以W=2.

故选：B.

4.C

【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】根据线面平行的性质定理，

若l〃a,mua,贝心〃机或/与机异面，A错误；

答案第1页，共15页

平行与同一平面的两条直线位置关系不确定，可能平行、相交或异面，B错误;

如图，Bui,过点3作机的平行线〃，设/，几所在平面为

且7I4=6,贝!J〃_Lb,

根据已知/_Lm，所以〃_L/,

则〃/〃，由/_L。，可得Z?_La,且匕u/7,所以a_L尸，C正确;

若/〃a,a///3,则〃板或/u月，D错误.

故选：D

5.C

【分析】先分别求平均数，再分别求出方差，最后比较方差的大小即可.

29+25+37_91

【详解】对于A,

672

s

3~zi~

30+46+25101

对于B,x=

33

222

11011011012166

S230-+46-+25

333327

38+40+35113

对于C,x=

33

222

1113113113114

S238+40-+35

333327

40+18+3088

对于D,x=

33

222

188+3。-生2184

s240I+|18-—

333327

11467221662184

<---<<

27272727

所以四组数据中，方差最小的为1黄14,

答案第2页，共15页

故选：c.

6.A

【分析】过点8作太阳光的平行线，与。1的延长线交于点C,可求出=利

用弧长公式即可求得地球的半径.

则=〃，ZBCO=a,所以NA03=£—。，

设地球半径为R,则根据弧长公式得R(，-a)=L,所以R=J^，

故选：A.

7.B

【分析】根据题意判断了(%)是偶函数，判断函数的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不

等式即可.

［详解］Q/(x)=ln(e2r+l)+|x|-x,xeR,

又/(-x)=In(e"'+l)+|x|+x

i/+1I।

=ln-^「+|x|+x

=ln(e2^+l)+|x|-x=f(x),所以函数〃x)是偶函数，

当xNO时，/(x)=ln(e2x+l),易得/(x)单调递增，

不等式“2x-l)-〃x+l)(O,gp/(2x-l)</(x+l),

等价于川

.".|2x—1|<|x+l|,可得(2x-1)~W(x+l)2,解得0VxV2,

所以不等式F(2x—1)—〃x+l)W。的解集为［0,2］.

故选：B.

8.A

答案第3页，共15页

【分析】根据抛物线定义，可得|AF|+|明=12,数形结合可得恒尸|+忸同习得解.

【详解】设抛物线＞2=4x的焦点为尸，A,3的横坐标分别为毛，%，则为+%=10,

,••抛物线V=4x的准线为x=—l,Ky|AF|=^+l,\BF\=X2+1,

+忸尸|=玉+/+2=12,

用+忸厂以(当且仅当尸，A,B共线时取等号)如图所示，

即|钿|的最大值为12.

故选：A.

【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B选项两直线斜率存在且垂直，斜率

乘积为-1，从而存在上=-2满足题意,C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；

当人=-1时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长

【详解】直线/：履一y+2左=0,即y=A(x+2),则直线恒过定点(-2,0),故A错误；

当人=一2时，直线/:Ax-y+24=0与直线％:x-2y+2=。垂直，故B正确：

:定点(-2,0)在圆。N+y2=9内部，.•.直线/与圆O相交，故C正确：

当左=一1时，直线/化为一x-y-2=0,即x+y+2=0,圆心。到直线的距离〃=贤=血，直

线/被圆O截得的弦长为2"1=2近，故D正确，

故选：BCD.

10.AD

【分析】根据奇函数的定义可得选项A正确；根据+可得选项B错误；根据

答案第4页，共15页

〃。)=/(鼻=0可得选项C错误；根据二倍角公式结合=—与可得选项D正确.

【详解】由题意得，/(x)=sinx-A/1+2COS2J;-1=y/2siwc•|cosx\.

A.・・・函数的定义域为R,/(-x)=V2sin(-x)•|cos(-x)|=-V2sinx-|cosx|=-f(x),

・・・〃x)是奇函数，选项A正确.

B.V/(x+7i)=A/2sin(x+7i)-|cos(x+K)|=—V2sinx•|cosx\=—/,

・・・兀不是函数/(X)的周期，选项B错误.

C.V/(0)=V2sin0•|cos0|=0,/fj=V2sin-cos^-=0,

JT

・・・〃x)在o,-上不是单调递增函数，选项C错误.

D.V/(x)=yflsiwc•|cosx\：|>-|V2sinxcosx|=---|sin2x|0<|sin2x|<1,

.••/(x)的最小值为一4,选项D正确.

故选：AD.

11.AD

【分析】选项A将G与。2无公共点转化为外力二。2、-2px无零点，由导数求最小值大于0

即得；选项B先求切线方程为联立y?=2px,利用韦达定理和

弦长公式即可求得；选项C利用导数求得g(x)=e2，+,-；J的最小值小于:，进而可得;

选项D根据G：y=e*的切线方程y=x+l和抛物线的切线方程y=x+；为曰，进而可得.

【详解】选项A：联立卜：e：得e2-2px=0,设/(x)=e"-2px,

[y~=2px

由题意可知〃尤)无零点，f\x)=2^x-2p,

答案第5页，共15页

故当尤e(0,glnp]时，/(%)<0,当xe(glnp,+e.寸，尸(久)>0,

故/(x)N/[glnp]=p(l_lnp),由题意p(l_lnp)>0,得0</?<e,故A正确;

选项B：由题意由y二/得了二^,

设/与曲线CI的切点为(天,e，。)，则切线方程/为y—e*=e"x—%),

因/过点呜,0),故-e&=e&®xj,解得/=1+1,

所以I的方程为y」"=e'+3、一；〃一1],即>=e*[x-；P)

与F=2Px联立得/-++?=0,

设/与。2的交点坐标为4(*1，月),B(X2，V2)，

可设为(x,e),则=e2x+(尤一;

设g(x)=e2'+、-g],g'(x)=2e2*+2x—l,

设//(%)=2e2x+2x-l,贝(^)=4e2r+2>0,

故h(x)在R上单调递增，又/i(0)=l>0,〃(-1)=21-3<0,

故土o«T,O),使得g'5)=0,

则g(x)在(-8,%)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，

故怛M「的最小值为g(%),又g(x0)<g(O)=：,故|矶n冷，故C错误;

选项D：当。=1时，C2：y2=2x在(x(),%)处的切线方程为/':%y=x+xo，

答案第6页，共15页

11

将无o=5必代入得/'：x-%y+5y；=。,

而曲线C：y=ex在x=f处的切线方程为/:e'x-y+（lT）e'=O,

要使得两曲线上得点M,。之间距离最小，当t=0时，/：x-y+l=O,

11--

l,//I,则为=1,/'犹-丁+彳=0,两直线的距离为2_7r2,

2^F=T

显然两切点为（O，l）（2,g）得连线与切线不垂直，故|MQ|>d=亨，故D正确.

故选：AD

【点睛】关键点点睛：本题选项A,C关键是把几何问题解析化，然后利用导数求最值.

12.120°

【分析】根据双曲线的定义求得户名|,再利用余弦定理求解.

【详解】因为点尸在双曲线右支上，且|普|=4,

则仍闾=归周一2a=4—2=2,又闺用=2屿,

在AP耳月中，由余弦定理可得co./尸尸尸,不+22-（2夕）=1,/耳尸与«0,兀）,

'122x4x22

所以/片/¥；=120。.

13.2

2

【分析】由两角和的正切公式结合条件切化弦可得cosAcosB=3土L将条件

4

tanA.tan3=2-/切化弦运算得解.

【详角星】QtanA-tanB=2-百，C-—,

tanA+tanB_tanA+tanB

/.tanC=-tan（A+B）即

1-tanA•tanB1-

答案第7页，共15页

角牟得tanA+tanB=3-g,即况+厘=3—

cosAcosB

所以sin(A+5)=(3—G)cosAcos5,又A+3=TC—C,

得cosAcos3=史坦

4

〜,r~—r/口sinA-sinBr-

又由tanA•tan5=2-近，可得---------=2-J3,

cosA•cosB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

=(3-V^cosAcos8=(3一道=岑

故答案为：叵.

2

14,二

【分析】归纳求出满足z=x+y的情况种数，根据古典概型的概率公式求解.

【详解】由题意，从三个袋子中摸出的球上所标记的数的总的情况为A?种,

满足z=x+y,则24zw〃,

当z=2时,x,y对应的情况有。,1),1种;

当Z=3时,x,y对应的情况有(1,2),(2,1),2种;

当Z=4时,X,y对应的情况有(1,3),(2,2),(3,1),3种;

L

当2=〃时,X,y对应的情况有(1,〃—1),(2,"-2)』，(”—1,1),“一1种;

所以满足2=*+丫的情况有1+2+3+…+驾1种,

n(n-l)

故所求事件的概率为尸二2_n-l.

n3

n-1

故答案为:

15.⑴4=1

⑵""/I

【分析】(1)根据韦达定理可得%+。用=4〃，利用等差数列通项公式列式计算;

答案第8页，共15页

An(11A

(2)由⑴求得通项。,=2九-1,代入运算可得(-1)“7=(-1)“--,利用裂

项求和得解.

【详解】(1)根据题意，由韦达定理可得%+。用=4〃，

因为数列｛%｝是等差数列，设公差为d,

所以4+(〃一l)d+,+加=4〃，BP2dn+2ax-d=4n,

[2d=4

则《。/八，解得1=2,囚=1,

[2%—a=0

%=1.

(2)由(1)d=2,4=1,则〃〃=2〃-1,

=a„-an+l=(2/?-l)(2n+l),

(T)".例=(-1)"--------------------=(_琛(-J—+-J—

「扑L+(T[

2n-l2n+1)

''2n+l

16.(1)证明见解析

⑵6

【分析】()方法一：对诙=；(而+/)两

1边平方，再由余弦定理可得答案；方法二：在

△ADB和△ADC中，由余弦定理可得答案；

(2)在VABC中，由余弦定理得廿=片+°2-ac,结合(1)再利用基本不等式可得答案.

,AD=1(AB+AC),

【详解】(1)方法一：•.♦4。为BC边上中线,

2222

AD=^(AB+AC^^AD=^c+b+2bcc:osA),

在VABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2l?ccosA，

2bccosA=b2+c2-a2,

:.AD=^(2b2+2c2-a2),

A£)=1^2(Z?2+c2)-a2.

答案第9页，共15页

方法二：•.•4£)为BC边上中线，

在VABC中，Z.ADB+ZADC=兀,coszTLDB+cosZADC=0,

在AADB和AWC中，由余弦定理得：

AD2+BD2-AB2AD2+CD2-AC2八八八…

--------------------------1--------------------------=0,DU=CD,

2ADBD2ADBD

即2AD2+BD2+CD2-AB2-AC2=0,

AD2=1^2+C2-1«2^

即AO=；^b2+c2)-a2；

TT

(2)A=-,。=2,由余弦定理可得"=62+°2一历，

故62+c2-4=6cV；,2+02),即62+C248,

[b=c

当且仅当,22/7时，即人=。=2时等号成立，

[b+c-4=bc

所以AO=：,2伊+目-止=1{2但+/)_4<；>/16-4=6,

所以取得最小值为6.

17.(1)证明见解析

*

【分析】(1)由线面垂直的性质证明线线平行，先证平面上即可.

(2)先确定四棱锥P-ABCD的外接球的球心，即可得RD的长，过。作DEIAB于E,

所以/尸即为二面角C-AB-P的平面角，求解即可.

【详解】(1)取的中点。I，连接CO1，则由题意知△BCQ为正三角形，

所以NABC=60。，

由等腰梯形知NBC£>=120。，T^AD=CD=BC=2,则AB=4,BD=26,

i^AD2+BD2=AB2,即得NAD8=90。，所以

因为PD_L平面ABCD,BDu平面ABCD,所以PD_LBD,

因为ADIPD=D,AD,PDu平面尸A£),所以ADI平面PAD,

因为E4u平面PAD,所以BDLR4.

(2)由于AD=AO|=2,

答案第10页，共15页

又•.•NDW=60°,为等边三角形,

/.OtD=O]A=O1B=O]C=2,

即。i为四边形ABCD外接圆的圆心，且半径厂=qA=2,

过。i作平面ABC。的垂线/,则尸。〃/,

在平面尸。。1内作的垂直平分线交/与点0,

则。尸=OD=Q4=03=OC,即。为四棱锥P-ABCD的外接球的球心,

,贝(]5=4兀«2=25%.[尺=3,

且半径R=OD=

+r2=R2=—,贝!|PD=3,

4

过。作DE工AB于E,尸。,。及尸Du平面「£区£»6口也》=。，

所以AB_L平面PDE,又尸Eu平面尸DE,

则AB_LPE,所以NPED为二面角C-AB-尸的平面角,

tanAPED==-1==布

DE出

所以二面角C-AB-尸的平面角的余弦值为

18.(l)c>l；证明见解析

2

(2)存在，fl=e

【分析】(1)当无=0时，cxNln(l+x)恒成立，ceR；当x>。时，cx>ln(l+x)可化为

cl"1*",令g")J0*『,>0,利用导数方法判断其单调性，结合洛必达法则即

XXx

可求出C的范围；得出以xNln(l+x),将x=」代入整理，即可证明不等式成立；

n

(2)先由题意得到a>0；由2</-1推出21n6>ln(l+2],结合(口的结果，可求出

nnynJ

答案第11页，共15页

-12、二2_

a>e2;对于1一。〃<—,当〃=1或〃=2时，于1一〃"<—显然恒成立；当〃之3时，推出以

nn

Inf1—|<—lna=—ln«,同(1)构造函数，求出aVe?;从而可求出结果.

\njnn

【详解】(1)当％=0时，c%21n(l+x)显然恒成立，ceR；

当%>0时，cx>ln(l+x)可化为0之山(1+”,

x

令g(x)="3,无〉。，则一W-Ml+x)x_(l+x)ln(l+x),

xx2-(l+x)x2

令/z(x)=x-(l+x)ln(l+x),%>0,则”(x)=l—ln(l+尤)—l=—ln(l+x)v0在％w(0,+oo)上

恒成立，

因此力(%)=1-(1+力111(1+X)在(0,+00)上单调递减，所以/z(x)</z(O)=O,

x-(l+x)ln(l+x)

即((%)=<0在X£（0,+00）上恒成立,

(l+x)x2

所以8⑴二时尹在（o,+s）上单调递减，

ln1+%

又由洛必达法则可得：lim（）==limj_=i,

Xf0XXf0xfXf01+x

所以g（x）<l恒成立，因此，为使c（ln（l+无）对任意%>0恒成立,只需让1；

X

综上，C>1;

所以xNln（l+x）,因为，〉0,所以:>ln[l+J,

则+[=,所以e〉e1/=(1+!]得证；

_121

(2)存在〃=e2,使得：V〃cN*有，1—〃〃<*<"—1,证明如下：

n

由题意，为使1一。n<—<an-1V〃wN*恒成立，必有a>0；

n

71191(2、2l(2、2

⑴由一<〃〃一1得〃〃>Id■—，所以一lna>ln1H■—,则一InJa>ln1+—,因为一〉0,

nnn\n)nVnJn

由(1)知x〉ln(l+x)对任意%>0恒成立，

为使一InG〉In[1+—]N*者成R立，只需解得aNe。；

n\nJ

答案第12页，共15页

-12、二2_

(ii)对于1一〃〃<—,当〃=1或〃=2时，于1一。〃<—显然恒成立；

nn

99--99-12/—

当〃之3时，一一<一一<0,由1一〃及<士得1一.<〃〃，所以In1一—<一一ln〃=一一lnj〃，

3nnnyn)nn

22r~

令x=——,则——<x<0,ln(l+x)<xlnJQ,

n3

所以lnG<ln(+“),同(1)令g(x)=9。±-f<x<0,

xx3

则g，⑶=+"=x-(l+x)ln(l+x),

x2*4(l+x)x2

2

令/z(x)=x-(l+x)ln(l+x),--<x<0,

贝I]/z'(x)=l-ln(l+x)-l=-ln(l+x)>O^Exe—g,。]上恒成立，

因止匕/z(x)=x—(l+x)ln(l+x)在一|,。]上单调递增，所以可可<.0)=0,

因此g'X=—\—^<0在xe-/,0上恒成立，

(l+x)fL3)

所以g(x)=皿匕"在卜：,()]上单调递减，

又ln(l+无)[ln(l+x)]1

乂lim-----=lim---------=lim----=1，

Xf0X尤-0XfX-0l+x

2

所以当-gV尤<0,g(x)>l；

因此，为使In夜〈I"""恒成立,只需|n&wi,解得“We?；

■--2-

由(i)(ii)可得，a=e2;即存在a=e"使得：VneN1-a"<—<an-1.

【点睛】思路点睛:

利用导数的方法求解不等式中的参数时，一般可利用分离参数的方法，先分离出所求参数,

再构造函数，利用导数的方法求函数的最值即可.

19.（1）—+/=1

4"

⑵①x=4（yw0）,②存在最小值，最小值为3.

【分析】（1）设点E（x,y）,M（0,a）,N（b,0）,根据=3及合+〃=9计算即可;

,、ULLUUUUUULUUUU...Y--V一

⑵①由题意，可设在?=%〃/，则。G=＜。"，利用点差法得?+犬=1①，