2018版高中数学苏教版必修四学案：疑难规律方法3

1、 三角函数是以角为自变量的函数， 因此三角恒等变换离不开角之间的变换观察条件及目标式 中角之间的联系，消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地利用条件得出结 论，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧 一、利用条件中的角表示目标中的角 4 1 例 1 设a B为锐角，且满足 cos a= -, tan( a = 1 求 cos B的值. 5 3 分析 利用变换B= a ( a B)寻找条件与所求之间的关系 1 解 T a、B 为锐角，且 tan (a B = -0 , 3 n 2 a B0. Sin a= 1 COS2 a= |. cos B= cos a ( a =

2、cos acos( a B) + sin asin( a B 4、, 3 10 3、 . 10 9 ,10 5 10 十 5 10 ) 50 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2 设a为第四象限的角，若 sin 3 a= ，则 tan 2 a= sin a 5 - 分析 要求 tan 2 a 的值，注意到 sin 3 a= sin(2 a+ a)= sin 2 acos a+ cos 2 asin a,代入到 sin 3 a sin a3章三角恒等变换 技巧点拨4 4 i 三角恒等变换中角的变换的技巧 10 10 , cos( a B = v 1 si n2 3 .10 a B = , s

3、in( 四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角 例 4 求函数 f(x)= 1 2 sin(x 20 cos(x+ 40 的最大值. ，首先求出 COS 2 a的值后，再由同角三角函数之间的关系求出 5 tan 2 a 解析 sin 3 a sin 2 a+ a sin 2 acos a+ cos 2 asin a 2 13 由気=sin a = sna = 2cos a+cos 2a=_5- sin a 2 13 4 2cos a+ cos 2 a= 1 + 2cos 2 a= 二 cos 2 a= 5 5 / a为第四象限的4k n+ 3 n 24k n+ 4 7t(k Z Z), 4 2

4、a可能在第三、四象限，又 T cos 2 a= 4, 5 3 3 - 2 a在第四象限，- sin 2 a= -, tan 2 a= 3 答案一- 4 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例 3 已知 sin - xL , 0 xn,求 cos s 心的值. 匕 13 4 | n. , cos： + x丿 分析 转化为已知一个角 ；一的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题 .这样可将所求式子化简，使其出现 T sin &x=気且 T n x t0，V 原式=2X 24 13. 分析 观察角(x + 40 (x 20= 60可以把 x+ 40看成(x 20+ 60后运用

5、公式展开， 再 合并化简函数 f(x). 1 y3 解 f(x) = 2sin(x 20 cos(x 20 + 60 2s in (x 20 ) cos(x 20 )= 当 x 65 k 360 + 90 即 x= k 360 + 155k Z Z)时，f(x)有最大值 存. 三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值 这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招： 第一招单角化复角 1 例 1 已知 sin a= , a是第二象限的角，且 tan(a+ 3 = ：.：3，贝U tan B的值为 1 解析 因为 sin a= , a为第二象限的角, 所以c

6、os a于，所以tan a=栄 答案 点评 将单角用已知复角表示时， 需要将复角进行适当的组合、 拆分，常见的拆分组合形式, (3_ ai 等. 第二招复角化单角 例 2 化简：池乙土E 2cos(a+ 3). =?si n(x 20 ,3 2 sin(x 20 cos(x 20 cos 60 半 sin(x 20 )sin 60 sin(x 65 , 方法技巧4 2 三角函数化简求值的“主角” 所以 tan 3= tan( a+ 3 a = 2.3 3 2 如: a= ( a+ 3) 3, a= ( 3一 M , a= (2 a 3 ( a 3), a=切 a+ 3)+ 1 + (-占 N-

7、当) sin a 、Sin(2 a+ 3 pin a sin a+ ( a+ a+ 3)sin a 原式= : = : sin a sin a sin a+ 3 cos a cos a+ 3 sin a sin a+ 3- a sin 3 sin a sin a sin a 点评 由于该式含有 2a+ 3和a+3,这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角, 所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可 第三招复角化复角 例 3 已知 扌 加于 0 3n, cos(n+ a)=- 3, sin(3n+ 3 5，求 sin( a+ 3)的值. 4 4 4 4 5 4 13 解因为

8、n a3nnn+an , n 3 n 3 n 又因为 0 34, 4丁 + 30, 解析 点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角 2 n a”表示待求角“争 2 a，善于发 3 2 cos 0 sin 0 2 1 tan 点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把 cos 2 0 ” 化为关于 sin 0禾口 cos 0的 a 1 + sin 2 4， 2 a sin 20，故原式= 1 ; 2 a a 2cos a= si n q= si ng 、 1 解原式= qcos 20 cos 40 Cos 80 _ 4sin 20 cOs 20 Cos 40 Cos 80 2sin 40

9、 cOs 40 Cos 80 = 8sin 20 8sin 20 =sin 80 cos 80 1 sin 160 =丄 =8sin 20 = 16 sin 20 16.技巧4 聚焦三角函数最值的求解策略 、化为 y= Asin( wx+妨+ B 的形式求解 4 4 2 2 例 1 求函数 f(x)= sinx + cosx+ sin xcos X X 的最值. 2 sin 2 22 .2 2 fsin x+ cos x sin xcos x 解原函数变形得：f(x) = 2 sin 2x 1 2 1 4sin 2x 2 sin 1 1 1 + 尹门 2x 1 ?sin 7 1 T 2 1尹

10、n 2x 1 1 3 1 =qSin 2x+ 2.二 f(x)max = 4, 例 2 求函数 y= sin2x+ 2sin xcos x+ 3cos2x 的最小值，并写出 y 取最小值时 x 的集合. 解 原函数化简得：y= sin 2x + cos 2x+ 2=J2sin gx+；+ 2. 当 2x+n= 2kn+ ，k Z Z,即卩 x= k n+ 严，k Z Z 时，ymin = 2 承. 4 2 8 5 n 此时 x的集合为x|x= kn+T，k Z Z. 8 2 点评形如 y = asin 3x+ bsin 3xos cox+ ccos2 wx+ d(a, b, c, d 为常数)

11、的式子，都能转化成 y= As in (x+ B 的形式求最值. 二、利用正弦、余弦函数的有界性求解 例 3 求函数 y= 2sin x+ 1的值域. 2sin x 1 解 原函数整理得：sin x= y+ 1 . 2(y 1 ) / |sin x| , y+ 1 2(y1) w 1,解出 1 yw 3 或y3. 3 点评这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可 例 4 求函数 尸Sin x x+ 3的值域. cos x 4 解 原函数整理得：sin x ycos x= 4y 3, y2 + 1si n(x+$)= 4y 3, 4y 3 1 + y2 asin x + b a

12、sin x+ b 点评对于形如 y= 或 y= 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界 csi n x + d ccos x+ d 性去求最值. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值 例 5 设关于 x的函数 y = cos 2x 2acos x 2a 的最小值为 f(a)，写出 f(a)的表达式. 2 解 y= cos 2x 2acos x 2a = 2cos2x 2acos x (2a+ 1)= 2os x| 2 恃 + 2a+ 1 a 当 2 1,即卩 a1,即 a2 时，f(a) = ymin= 1 4a,此时 cos x= 1. 1 a2 点评 形如 y = as in x

13、+ bsin x+ c 的三角函数可转化为二次函数 y= at + bt + c 在区间1 , 1 上的最值问题解决. 例 6 试求函数 y= sin x+ cos x+ 2sin xcos x+ 2 的最值. 解 设 sin x+ cos x= t, t 2,2 ，则 2sin xcos x= t2 1，原函数变为 y= t2+ t+ 1,t 1 3 .2, 2 ，当 t= 时，ymin = 4 当 t= .2 时，ymax= 3+ .2. 点评 一般地，既含 sin x+ cos x(或 sin x cos x)又含 sin xcos x 的三角函数采用换元法可以转 |si n(x+(j)

14、| 1,解不等式 4y 3 w 1 得: 12 2 6 12+ 2,6 W y W - 15 15 化为 t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设 sin x + cosx=t，贝 U sin xcos x=*(一 1); 1 2 sin x cos x= t,贝 U sin xcos x= 0(1 t ). 四、利用函数的单调性求解 例 7 求函数 y= III + sin x 3 3+ sin X X 的最值. 2+ sin x 2 2 sin x+ 4sin x+ 3 (sin x+ 2 1 1 解 y= = = (sin x+ 2) sin x+ 2 sin x+ 2 (si n

15、x+ 2) 1 令 t = sin x+ 2，贝 U t 1 , 3, y = t-. 1 利用函数单调性的定义易证函数 y = t -在1 , 3上为增函数 故当 t= 1 即 sin x= 1 时，ymin= 0; 8 当 t = 3 即 sin x= 1 时，ymax= 3. 例 8 在 Rt ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边 BC 上，设 AB = a,/ABC = ABC P 的面积为 P,正方形面积为 Q.求 Q 的最小值. Q 一 _ 1 1 2 、 解 AC = atan 0, P = ?AB AC = ?a tan B.设正方形边长为 x, AG= xcos 0,

16、a BC= .BC 边上的高 h= asin 0, cos 0 AG h x AB= h , 即 xcos 0_ asin 0 x a asin 0 2 2 a sin 0 (1 + sin 0cos 02 P sin 0 (1 + sin 9cos 0： (2+ sin 2 0： 抢 in 2 0 1 从而 Q = 2cos 0- sin20 = 4sin 2 0 = 1 + . 4 + sin 20 III t 易知函数 y=1 +才在区间（0, 1上是单调减函数, asin 0 1 + sin 0cos 0 二 Q= x2= 从而，当 sin 2 0= 1 时, Q m- = 4. 化为

17、 t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设 sin x + cosx=t，贝 U sin xcos x=*(一 1); 点评一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数 单调性巧妙解决 3 (0, n, n 所以a+ 3=；. 4 温馨点评 根据条件求角，主要有两步： 1 求角的某种三角函数值； 2 确定角的范围，从 而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定 范围要尽量缩小. 二、忽视条件中隐含的角的范围而致错 例 2 已知 tan2 a+ 6tan a+ 7= 0, tan2 3+ 6tan 3+ 7= 0, a、3

18、(0, n，且 a 3,求 a+ 3的 值. 易错警示q 5 行百里者半九十 三角恒等变换 一章易错问题盘点 、求角时选择三角函数类型不当而致错 例 1 已知 sin a=电 5, sin 3= ” 1, a和3都是锐角，求 a+ 3的值 5 10 错解因为a和3都是锐角，且 sin尸电,sin A0，所以 5 10 25 3f10 cos a= 5 , cos 3= 10 ， sin( a+ 3= sin 必 os 3 cos 诙 3肓 x 讦 + 等严三. 因为 a, 3 0, 2；则 a+ 3 (0,朮所以 a+ 3= 4 或 3 剖析由 sin a=, sin 3= 110， %和3都

19、是锐角，可以知道 a和3都是定值，因此 a+ 3 也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的 .这是因为 sin( a+ 3在第一、 第二象限没有区分度，应选择计算 COS(a+ 3 正解 因为a和3都是锐角，且 sin a= , sin A0,所以 cos a=罕，cos 3= 3100, cos(a+ 3 = cos acos 3 sin osin 3=曽x喘-咅嚅三因为a 3 0,-，贝V a+ tan a+ tan 3= 6 错解由题意知 tan a、tan 3是方程 x2 + 6x+ 7 = 0 的两根，由根与系数的关系得:tan a+ tan 3= 6 tan dan

20、 3= 7 tan a+ tan 3 6 tan( a+ 3 = = = 1. 1 tan dan 3 1 7 T 0 a n, 0 n, 0 a+ 32n, tan a+ tan 3= 6, 正解由 tan aan 3= 7, 易知 tan a0, tan 30. / a 3 (0, n , n n - 2 a n, 2 3 n . n+ 32 n. 5 又 T tan( a+ 3 = 1, a+ 3= 4 n. 温馨点评在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切 的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大 解答此类问题时一定要 仔细挖掘题目中的隐含

21、条件才能有效地避免失误 三、忽略三角形内角间的关系而致错 3 5 例 3 在厶 ABC 中，已知 sin A = , cos B，求 cos C. 5 13 错解由 sin A= 5，得 cos A = ., 5 12 4 由 cos B=7；,得 sin B=，当 cos A =时， 13 13 5 16 cos C= cos(A + B) = sin Asin B cos Acos B =鬲 剖 由知 tan a0 , tan 30 , B 3 4 由 sin A = 5，得 cos A= 5, 4 1 2 n 当 cos A= 时，cos Ag. 5 2 3 :sin B=豁，Be 0，

22、n， Bn 4 故当 cos A =匚时，A + Bn,与 A、B 是厶 ABC 的内角矛盾 5 n 口 12 0，2，且 sin B =扃. cos A= 4, 5 16 cos C= cos(A + B) = sin Asin B cos Acos B =亦. 温馨点评 涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和 A+ B + C = 180 这一隐含条件 尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止增解出现 四、忽略三角函数的定义域而致错 例 4 判断函数 f(x)=仆sin x cos x x 的奇偶性. 1 + sin x+ cos x x x .2x 1 + sin x cos x 1

23、 + 2sin 2cos 2 l1 2sin 2.丿 错解f(x) = ；+：+ = x x 2x 1 + sin x+ cos x 1 + 2sin ；2cos 2 +(2cos2| 1 ) xf X X) 2sin 2 cos + sin ? x( x x )= 2cos sin 2+ cos 2 x tan 2, 由此得 f( x) = tan ( 2 )= tan 号=f(x), 因此函数 f(x)为奇函数. 剖析运用公式后所得函数 f(x) = tan 2 的定义域为xx R R , 2kn+ n, k Z Z.两函数的 定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错 n 5 n n 7 n

24、 所以 x+ n-2kn+ &且 x+汀 2kn+ 才(k Z), 故函数 f(x)的定义域是 3 n ixx 2k n+ n且 x 2k Tt+ 才,k Z : 显然该定义域不关于原点对称 因此，函数 f(x)为非奇非偶函数 温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定 是非奇非偶函数上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错 五、误用公式 as in x+ bcos x= + b2 sin (x+妨而致错 例 5 若函数 f(x)= sin(x + 0)+ cos(x 0), x R R 是偶函数，求 B的值. 错解/ f(x)= s

25、in(x+ 0 + cos(x 0, f(0) = sin 0+ cos 0= 2sin(0+ 才: / f(x) = sin(x+ 0)+ cos(x 0是偶函数. |f( )l= f(x)max= .2. f(0) =2s in 0+ 4 =. 2, 即 0= k n+ ；, k Z Z. 4 剖析T x+ 0与 x 0是不同的角. 函数 f(x)的最大值不是，上述解答把 f(x)的最大值误当作 2 来处理. 正解/ f(x)= sin(x+ 0) + cos(x 是偶函数. f(x) = f( x)对一切 x R R 恒成立. 即 sin(x+ 0) + cos(x 0)= sin( x

26、 + 0) + cos( x 0)恒成立. si n(x + 0) + sin (x 0 + cos(x 0) cos(x+ 0 = 0. 2sin xcos 0+ 2sin xsin 0= 0 恒成立.即 2sin x+ n : 丰一1，从而 sin x+nV 0+ 4 = kn+ 2, k Z Z. sin 即 2sin x(cos 0+ sin 0) = 0 恒成立. n n - 0+ 4= kn,即 0= kn 4, k 乙 温馨点评 注意公式 asin x + bcos x= . a2+ b2 sin x+ $的左端是同角 x.当三角函数式不符 合这一特征时，不能使用该公式 . 例如

27、：函数 f x = sin x+ 0 + r(3)cos x 0 x R R 的最大值不是 2. 平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧， 又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想 .这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、 夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解 一、 平面向量平行与三角函数交汇 例 1 已知 a a = (2cos x+ 2 3sin x, 1), b b= (y, cos x),且 a a/ b b.若 f(x)是 y 关于 x 的函数，则 f(x) 的最小正周期为 _ . 解析 由 a a / b

28、 b 得 2cos2x + 2 ,3sin xcos x y= 0, 即 y= 2cos2x+ 2 . 3sin xcos x= cos 2x+ . 3sin 2x +1 = 2sin(2x+ 1, 所以 f(x)= 2sin(2x+ 1, 2 n 所以函数 f(x)的最小正周期 T= -2n= n. 答案 n 点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角 函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解 二、 平面向量垂直与三角函数交汇 n n 例 2 已知向量 a a= (4, 5cos a, b b= (3, 4tan a, (0,彳)，若 a a

29、丄 b b,贝 V cos(2a+ 4)= _ . 解析 因为 a a 丄 b b,所以 4X 3+ 5cos aX ( 4tan a= 0 , 3 思路点拨4 6 平面 cos 0+ sin 0= 0. v cos + sin 解得 sin a= 5. 点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题 转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理 三、平面向量夹角与三角函数交汇 例 3 已知向量 m m = (sin 0, 1 cos (0 0冗)与向量 n n = (2, 0)的夹角为 3,贝U 0= _ . 3 解析 由条件得 |m m|= psin2 0+( 1 cos 0$ = p2- 2cos 0 |n n|= 2, m n m n = 2sin 0 于是由平面向量的夹角公式得 cos :=严 = ,整理得 3 m lln nl 屮 2-2cos 0 2 2 1 、 2cos 0 cos 0 1 = 0,解得 cos 0= 2 或 cos 0= 1(舍去). 2 n