2018版高中数学苏教版选修1-1学案：3.4导数在实际生活中的应用

1、第3章导数及其应用 3A导数在实际生活中的应用 【学习目标】1了解导数在解决实际问题中的作用2 掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.EI知识梳理-知识点 生活中的优化问题i.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为2 利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.3 .解决优化问题的基本思路：优化问题一-用阑数占示吋数学问题11 t优化间应的甞垂T用导燈解决数学问題上述解决优化问题的过程是一个典型的 _过程.题型探究类型一几何中的最值问题命题角度 i 平面几何中的最值问题例 1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为o,半径为 100

2、m ,并与北京路一边所在直线 I 相切于点 M.点 A 为上半圆弧上一点，过点 A 作 I 的垂 线，垂足为点 B.市园林局计划在厶 ABM 内进行绿化.设厶 ABM 的面积为 S(单位：m1 2), / AON =B(单位：弧度).1 将 S 表示为B的函数；2 当绿化面积 S 最大时，试确定点 A 的位置，并求最大面积.,反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面 积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.跟踪训练 1 如图所示，在二次函数 f(x) = 4x x2的图象与 x 轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个

3、矩形面积的最大值.(1) 若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则 x 应取何值？(2) 若广告商要求包装盒容积V 最大，则 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题.命题角度 2 立体几何中的最值问题例 2 请你设计一个包装盒如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P,E, F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=

4、 FB = x cm.(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.跟踪训练 2 周长为 20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为3_cm .类型二 实际生活中的最值问题命题角度 1 利润最大问题例 3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10 万元，每生产 1 千件需另投入 2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R(x)万元，1210.830 x,010.(1) 求年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2) 当年产量为多少千

5、件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最 大值.反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1) 利润=收入成本；(2) 利润=每件产品的利润X销售件数.跟踪训练 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y=- + 10(x 6)2，其中 3x6, a 为常数.已知销售价格x 3为 5 元/千克时，每日可售出该商品11 千克.(1) 求 a 的值；(2) 若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利

6、 润最大.如果已知图形是由简单几何体组命题角度 2 费用(用料)最省问题例 4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元.该建筑物每年k的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)= 35(0 10)层，则每平方米的平均建筑费用为(560十 48x)元为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？购地总费用(注：平均综合费用=平均建筑费用十平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积)当堂训练1 在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有

7、关统计数据显示，从上午6时到 9 时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用函数表示为 y= gt4+36t 一，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是_时.2 .用长为 24 m 的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为_m3.固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本增加100 元,、90 090, x390.则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是 _.4 .要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20 元,侧面造价是每平方米 10 元，则该

8、容器的最低总造价是 _ 元.5 .某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件.如果降低价格，销售量可以增加， 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0Wxw21)的平方成正比.已知商品单价降低 2 元时，每星期多卖出 24 件.(1) 将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数;(2) 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？3 .某公司生产若总收入 R 与年产量 x 的关系是R(x)= $3X+ 400X,9000 x 390厂规律与方法- -11 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变

9、量之间的函数关系 y= f（x）;求函数的导数 f （x）,解方程 f （x）= 0；比较函数在区间端点和使f （x）= 0 的点的数值的大小，最大（小）者为最大（小）值.2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：（1）合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；（2） 与实际问题相联系；（3）必要时注意分类讨论思想的应用.提醒：完成作业第 3 章 .4答案精析知识梳理知识点1 优化问题3 .数学建模题型探究例 1 解(1)BM=AOsin0=100sin0,AB=MO+AOcos0=100+100cos0, 0(0, n .1 1则 S=2

10、MB AB=2x100sin0X(100+100cos0=5 000(sin0+sin0cos0), 0(0, n.2(2)S =5 000(2cos+cos0-1)=5 000(2cos01)(cos0+1).令 S = 0,1得 cos0=2 或 cos0=1(舍去),此时0= n3当0变化时，S , S 的变化情况如下表：0n(0，nn3n、（3，nS+0S/极大值所以，当0= n时，S 取得最大值为 Smax= 3 750.3 m2,此时 AB = 150 m，即点 A 到北京路一边 I 的距离为 150 m.跟踪训练 1 解 设点 B 的坐标为（x,0）,且 0 x2, f(x) =

11、 4x x2图象的对称轴为 x= 2,点 C 的坐标为(4 x,0),/ BC = 4 2x, BA= f(x)= 4x x2.矩形面积为 y= (4 2x)(4x x2) = I6x 12x2+ 2x3,y = 16 24x+ 6x2= 2(3x2 12x+ 8),2令 y = 0，解得 x= 23 3, 0 x2, x= 223.当 0 x0，函数单调递增；2 当 2 3 . 3x2 时，y 0，函数单调递减，当x=2 | 3 时，矩形的面积有最大值 詈.3.例 2 解 由题意知，包装盒的底面边长为2x cm,高为 2(30 x)cm ,所以包装盒侧面积为 S= 4 2xX2(30 x)x

12、+30 x2=8x(30 x)w8x(2)2=8x225,当且仅当 x= 30 x,即卩 x= 15 时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则 x= 15.包装盒容积 V = 2x2 2(30 x)=2 2x3+ 60 . 2x2(0 x0 ,得 0 x20 ;令 V 0,得 20 x10 时,W= xR(x) - (10 + 2.7x)3| 8.1x-30-10, 0 x10.当 00; 当 x (9,10时，W 10 时，W= 98- (000+ 2.7x)3xw98-2 -1_000X2.7x=38,W 取得最大值 38.综合知，当 x= 9（千件）时，W 取得最大值为 3

13、8.6 万元.答 当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为 38.6 万元.跟踪训练 3 解（1）因为当 x= 5 时，y= 11，所以a+ 10= 11,所以 a= 2.4 000跟踪训练227例 3 解当 Oxw10 时,所以当x= 9 时，W 取得最大值,当且仅当詈=2.7x,即 x=罟时,由(1)可知，该商品每日的销售量y = - + 10(x- 6)2,x 3所以商场每日销售该商品所获得的利润22f(x) = (x- 3)+ 1O(X 6)x 32=2 + 10(x 3)(x 6)，3x6.2从而f(x)= 10(x 6) + 2(x 3)(

14、x 6)=30(x 4)(x 6).于是，当 x 变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f (x)+0f(x)/极大值 42由上表可得，x= 4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.x= 4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值为42.答当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.解(1)由题设知，每年能源消耗费用为C(x)= ,3x+ 5所以当再由C(0) = 8,得 k= 40,因此40C(x)=3x+ 5而建造费用为 Ci(x) = 6x.最后得隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和为f(x)=20_8

15、0必+6x(015 时，f (x)0;当 10Wx15 时，f (x)0.所以当 x= 15 时，f(x)取得最小值，即 f(15) = 2 000.答 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建15 层.当堂训练1 . 8 2.83.3004.1605.解(1)设商品降价 x 元，则多卖的商品数为kx2.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有2f(x) = (30 x 9)(432 + kx )=(21 x)(432 + kx2).由已知条件，得 24 = kX22,于是有 k= 6.所以 f(x)= 6x3+ 126/ 432x+ 9 072, x 0,21.2根据(1), f (x) = 18x + 252x 432=18(x 2)(x 12).令 f (x)= 0，即企=6,(3x+ 5)25解得 x= 5(x=舍去)，当 0 x5 时，f (x)0;当 5x0 ,故 x= 5 为 f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5) = 6X5+ -8也 =70.15 + 5答 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值为 70 万元.跟踪训练 4 解设该楼房每平方米的平均综合费用