2018版高中数学苏教版必修5学案：3.2一元二次不等式(二)

1、 学习目标1会解可化为一元二次不等式 (组)的简单分式不等式 2 能够从实际生活和生产 中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的 解法 产知识梳理 _ 自主学习 知识点一分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 举) 0( V 0) g(x) 方法一： 错误!或错误！ 方法二： f(x) g(x) 0( 0( 0) g(x)() 方法一： 错误!或错误！ 方法二： 错误！ f a a g(x) 丿 y a 丿 先移项转化为上述两种形式 知识点二简单的一元高次不等式的解法 一元高次不等式 f(x) 0 常用数轴穿根法(或称根

2、轴法、区间法)求解，其步骤是： (1) 将 f(x)最高次项的系数化为正数； (2) 将 f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积； (3) 将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线 (注意重根情况，偶重根驻而不 穿，奇重根既穿又过); (4) 根据曲线显现出的 f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集 . 思考 (x 1)(x-2)(x 3)2(x-4) 0 的解集为 _ .第3隹不等戌 3.2 一元二次不等式(二) 答案 x|1v XV 2 或 x4 解析利用数轴穿根法 知识点三一元二次不等式恒成立问题 对一元二次不等式恒成立问题，可有以下 2 种思路: 分离参数，将

3、恒成立问题转化为求最值问题，即： kf(x)恒成立？ k f(X)max； k W f(X)恒成 立？ kW f(X)min. 車点突破 题型一分式不等式的解法 例 1 解下列不等式： x+ 4 x+ 4 解由 v 0,得 0, 3 x x 3 此不等式等价于(x+ 4)(x 3) 0, 原不等式的解集为x|xv 4 或 x 3. x+ 1 (2)方法一 移项得 一 2W 0, x 2 x+ 5 x 5 左边通分并化简有 W 0，即 0, x2 x 2 (1)转化为一元二次不等式解集为 2 . a0, R 的情况，即 ax2 + bx+ c0(a 0)恒成立？ I A 0. ax? + bx+

4、 c5. 原不等式的解集为x|xv 2 或 x 5. 仪一 50, 此不等式等价于丫 x 2 0 x5 5,解得 XV 2, 原不等式的解集为x|xv 2 或 x 5. 反思与感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型 f2L 0( O(w 0), g(x)g(x) 再化成整式不等式来解如果能判断出分母的正负，直接去分母也可 . x? 2x 2 跟踪训练 1 不等式 0, .原不等式? x2 2x 20? (x 2 + 2) 0, XM 2.不等式的解集为X|XM 2. 题型二解一元高次不等式 例 2 解下列不等式： (1) x4 2x3 3x2v 0; (2) 1 + x x3 x

5、4 0; (3) (6x2 17x+ 12)(2x2 5x+ 2) 0. 解 原不等式可化为 x2(x 3)(x+ 1) V 0, 2 当 xM 0 时，x 0, 由(x 3)(x+ 1) V 0,得一1V xv 3; 当 x= 0 时，原不等式为 0V 0，无解. 方法 原不等式可化为 x 5 0, x 2 原不等式的解集为x| 1 vxv 3，且 xM 0. 2 原不等式可化为(x+ 1)(x 1)(x + x+ 1)V0, 2 而对于任意 x R，恒有 x + x+ 1 0, 原不等式等价于(x+ 1)(x 1)v 0, 原不等式的解集为X 1 V XV 1. 原不等式可化为(2x 3)

6、(3x 4)(2x 1)(x 2)0, 进一步化为 x I x 3 x 1 (x 2) 0, “ 1 4 | 如图所示，得原不等式的解集为 cx|xv -或|V xv 3或 x2 : 反思与感悟 解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考 虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑数轴穿根法 2 x + px + q 跟踪训练 2 若不等式 x2+ px+ q v 0 的解集是x|1v xv 2，则不等式 0 的解集是 x 5x 6 答案 x|x 1 或 1x6 2 2 解析 由题意知 x + px+ q = (x 1)(x 2)，则待解不等式等价于 (x 1

7、)(x 2)(x 5x 6) 0 ? (x 1)(x 2)(x 6)(x+ 1) 0? x v 1 或 1 v xv 2 或 x 6. 题型三不等式恒成立问题 例 I 对任意的 x R，函数 f(x) = x2 + (a 4)x+ (5 2a)的值恒大于 0，贝U a 的取值范围为 答案 (一 2,2) 解析 由题意知，f(x)开口向上，故要使 f(x) 0 恒成立， 只需Av 0 即可， 即(a 4)2 4(5 2a)v 0, 解得2v av 2. 反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种： (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数

8、的最大 (小)值， 从而建立参数的不等式； 若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数 (如一元一次、一元二次函数)，并结合图象 建立关于参数的不等式求解 跟踪训练 3 对任意 a 1,1，函数 f(x)= x2 + (a 4)x+ 4-2a 的值恒大于零，则 x 的取值 范围是 _. 答案x|xv 1 或 x 3 解析 f(x) 0, 2 x + (a 4)x+ 4 2a 0, 2 即(x 2)a+ (x + 4 4x) 0, 设 g(a) = (x 2)a+ (x2 4x+ 4) g 1 0, x 2+ x2 4x+ 4= x2 3x+ 2 0, 即 x + 2+ x2 + 4 4x= x2

9、 5x+ 6 0, xv 1 或 x3. 题型四一元二次不等式在生活中的应用 例 4 某人计划收购某种农产品，如果按每吨 200 元收购某农产品，并按每 100 元纳税 10 元(又称征税率为 10 个百分点)，计划可收购 a 万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品， 决定将征税率降低 X(XM 0)个百分点，预测收购量可增加 2x个百分点. (1)写出税收 y(万元)与 x 的函数关系式； 要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%，试确定 x的取值范围. 解(1)降低后的征税率为(10 x)%，农产品的收购量为 a(1 + 2x%)万吨，收购总金额为 200a(1 + 2x

10、%). 依题意得，y= 200a(1 + 2x%)(10 x)% 1 =50a(100 + 2x)(10 x)(0 v xv 10). 原计划税收为 200a 10% = 20a(万元). 1 依题意得，50a(100 + 2x)(10 x) 20a x 83.2% , 化简得 x2 + 40 x 84 W 0, 由题意 42 W x 2. 又 0v xv 10, / 0 v xw 2. x 的取值范围是x|0v x12 , 2 S乙=0.05x+ 0.005x 10. 分别求解，得 x30. x40. 由于 x0 ,从而得 x 甲30km/h , x 乙40 km/ h. 经比较知乙车超过限

11、速，应负主要责任 . 已当堂检理 _ 自查自纠 x 2 1. 若集合 A= x| 1 w 2X+ 1 w3 , B= x w 0，贝V AQ B = _ . x 答案x|0v xw 1 解析 / A= x| 1 w xw 1, B = x|0v xw 2, A Q B= x|0vxw 1. 2. _ 若集合 A= x|ax2 ax+ 10 时，相应二次方程中的 = a2 4aw 0,得a|0 1 解析 原式可转化为(x+ 1)(x+ 2)2(X+ 3)(x + 4) 0, 根据数轴穿根法，解集为 4v xv 3 或 x 1. 4. 设 x2 2x+ a 8W 0 对于任意 x (1,3)恒成立，求 a 的取值范围. 解 原不等式 x2 2x+ a 8w 0 转化为 a 15,并且日销售收入为 x30 2(x 15)，由题意知，当 x 15 时，有 x30 2(x 15) 400,解得：15W xv 20. 所以为了使这批台灯每天获得 400 元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为 x 15,20). 课堂小结 - 1 1解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式 (组)求解. 若不等式含有等号时，分母不为零 . 2对于有的恒成立问题， 分离参数是一种行之有效的方法 这是因为将参数予