第10章 梁的弯曲变形

1、 主讲 韩志型 西南科技大学土建学院力学教研室101 101 概述概述102 102 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程103 103 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形104 104 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形105 105 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施第第10章章 梁的变形梁的变形 精选课件3 ： 1 1、挠度、转角的概念、挠度、转角的概念 2 2、积分法求梁的挠度和转角、积分法求梁的挠度和转角 3 3、叠加法求梁指定截面的、叠加法求梁指定截面的 1 1、挠曲线微分方程的建立、挠曲线微分方程的建立 2 2、挠度、转角函数的确定、挠度、转

2、角函数的确定 精选课件要求：要求： 1 1理解挠度曲线、挠度、转角的概念以及它们之间的关理解挠度曲线、挠度、转角的概念以及它们之间的关系；系； 2 2、了解梁的挠曲线近似微分方程的应用条件，掌握梁挠、了解梁的挠曲线近似微分方程的应用条件，掌握梁挠曲线的近似微分方程；曲线的近似微分方程； 3 3、掌握用积分法求梁的变形；、掌握用积分法求梁的变形； 4 4、熟练运用叠加法求梁的变形。、熟练运用叠加法求梁的变形。 5 5、熟练运用刚度条件，解决刚度校核、截面设计和确定、熟练运用刚度条件，解决刚度校核、截面设计和确定容许荷载问题。容许荷载问题。精选课件10-1 概概 述述 精选课件6弯曲变形弯曲变形高

3、架桥高架桥研究目的：研究目的：对梁作刚度校核；对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。 精选课件一、梁的变形特征一、梁的变形特征精选课件一、梁的变形特征一、梁的变形特征精选课件精选课件2.2.转角转角：横截面绕其中性轴转：横截面绕其中性轴转动的角度动的角度。用。用 表示，顺时表示，顺时针转动为正，针转动为正，反之为负。反之为负。 3. 3.横截面形心沿轴线方向的线位移横截面形心沿轴线方向的线位移x x。在小变形情况下，。在小变形情况下， x x很小，通常被忽

4、略不计。很小，通常被忽略不计。 度量梁变形的两个基本位移量：度量梁变形的两个基本位移量：二、度量梁变形的两个基本位移量二、度量梁变形的两个基本位移量PxvCCv 1.1.挠度挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用用v v 表示。表示。 v v向下为正，反之为负。向下为正，反之为负。x 精选课件 挠度曲线挠度曲线指梁在弹性范围内的荷载作用下，指梁在弹性范围内的荷载作用下，梁的轴线将弯曲成一条连续光滑的曲线，该曲线称梁的轴线将弯曲成一条连续光滑的曲线，该曲线称为为挠度曲线挠度曲线，简称为，简称为挠曲线。挠曲线。 挠曲线方程挠曲线方程用来描述挠曲线的方程称

5、为挠曲用来描述挠曲线的方程称为挠曲线方程。线方程。)(xvv PxvC Cv精选课件 挠曲线上任一点的纵坐标挠曲线上任一点的纵坐标 v（x）即为该点的即为该点的横截面的挠度。横截面的挠度。可见：可见：梁的任一横截面的转角，等于挠曲线在对梁的任一横截面的转角，等于挠曲线在对应点的切线的斜率。应点的切线的斜率。四、转角与挠度的关系四、转角与挠度的关系 ddtgxv 小变形小变形 ddtgvxv 转角单位为弧度。转角单位为弧度。PxvC Cv ddtgvxv 精选课件 推导纯弯梁横截面正应力时，得到挠曲线的曲推导纯弯梁横截面正应力时，得到挠曲线的曲率公式：率公式：z zEIEIM M1 1 忽略剪力

6、对变形的影响，也可忽略剪力对变形的影响，也可用上式计算横力弯曲梁的变形：用上式计算横力弯曲梁的变形：zEIxMx)()(1 10-2 10-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然，在以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然，在纯弯曲时，曲率为常数，其挠曲线为一圆弧。在横力纯弯曲时，曲率为常数，其挠曲线为一圆弧。在横力弯曲时，曲率与弯矩成正比。弯曲时，曲率与弯矩成正比。PD精选课件由数学知识可知：平面曲线的曲率公式为由数学知识可知：平面曲线的曲率公式为3222)(1 1dxdvdxvd 略去高阶小量，得略去高阶小量，得221dxvd 所以所以zE

7、IxMdxvd)(22 1dvdx 在小变形（小挠度）在小变形（小挠度）zEIxMx)()(1 精选课件 其中的正负号与弯矩的正负号规则和其中的正负号与弯矩的正负号规则和v v坐标的取坐标的取向有关。向有关。vxM00)( xvvxM0( )0vx vx( )0vx 精选课件 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号相反，所以取负号，线的二阶导数符号相反，所以取负号，挠曲线的近似挠曲线的近似微分方程微分方程为：为：zEIxMdxvdv)( 22 由上式进行积分，由上式进行积分，就可以求出梁横截面的就可以求出梁横截面的转角和挠度。转角和挠度

8、。vxM00)( xvvxMb。解：解：1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：0,AABFbFaHRRll 2 2）弯矩方程）弯矩方程10 xa AC AC 段：段： 222()AM xR xF xaCB CB 段：段：ab1x2xACxARBRABBF 111,AFbM xR xxl2axl 22(),FbxF xal HA精选课件3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分111()FbEIvMxxl 121111()2FbEIvEIxxCl 1311116FbEIvxC xDl AC AC 段：段：10 xa2222()()FbEIvM xxF xal 22

9、222222()()22FbFEIvEIxxxaCl 23322222()66FbFEIvxxaC xDl CB CB 段：段：2axl 111,AFbM xR xxl222()(),FbM xxF xal ab1x2xACxARBRABBFl精选课件4 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数22,( )0 xlvl 110,(0)0 xv 代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件1212,( )( )xxaaa 1212,( )( )xxav av a 2212()6FbCClbl 120DD 121111()2FbEIvEIxxCl 131111

10、6FbEIvxC xDl 22222222()()22FbFEIvEIxxxaCl 23322222()66FbFEIvxxaC xDl 10D（1）3322()066FbFllaC lDl （2）212FbaCl 222FbaCl （3）3116FbaC aDl 3226FbaC aDl （4）ab1x2xACxARBRABBFl精选课件5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程12221()26FbFbEIxlbll 132211()66FbFbEIvxlbxll AC AC 段：段：10 xa2222222()()226FbFFbEIxxalbll 33222222()()6

11、66FbFFbEIvxxalbxll CB CB 段：段：2axl （1 1）（2 2）（3 3）（4 4）ab1x2xACxARBRABBFl精选课件6 6）确定）确定C C截面的挠度：截面的挠度：7 7）确定）确定A A截面转角：截面转角：222()6cFabvlabEIl将将 x x1 1=a =a 代入代入v v1 1 或将或将 x x2 2=a =a 代入代入v v2 222()6AFblbEIl 将将 x1=0 代入（代入（1）式：）式： ab1x2xACxARBRABBFl132211()66FbFbEIvxlb xll 12221()26FbFbEIxlbll 2222222(

12、)()226FbFFbEIxxalbll 33222222()()666FbFFbEIvxxalb xll 精选课件叠加原理：叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的变形多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)()()()()(221121iinnnPPPPPPP )()()()()(221121iinnnPvPvPvPvPPPv 10-3 10-3 叠加法求梁的挠度与转角叠加法求梁的挠度与转角计算时可查表计算时可查表10-110-1（p194p194）。）。 叠加原理适用条件：小变形、材料服从胡克定

13、律。叠加原理适用条件：小变形、材料服从胡克定律。精选课件例例4 4 按叠加原理求按叠加原理求A A点转角和点转角和C C点点 挠度。挠度。解、解、载荷分解如图载荷分解如图查梁的简单载荷变形表：查梁的简单载荷变形表：36C PP avE I 24A PP aE I 4524C qqavE I 33A qqaE I qqPP=+AAABBB Caa精选课件36C PP avE I 24A PP aE I 4524C qqavE I 33A qqaE I qqPP=+AAABBB Caa叠加叠加qAPAA )43(122qaPEIa EIPaEIqa624534 cqcPCvvv 精选课件例例5 5

14、 按叠加原理求按叠加原理求B B点转角和挠度。点转角和挠度。解、解、载荷分解如图载荷分解如图41()8Bq abvEI 31(),6Bq abEI 2BBBCCvvvb v 433(34 )8624qaqa bqaabEIEIEI BqABvBvcvC BqCABqCA=+（1 1） （2 2） 3,6cqaEI 48cqavEI 326BcqaEI 查梁的简单载荷变形表：查梁的简单载荷变形表：精选课件叠加：叠加： 41()8Bq abvEI 31()6Bq abEI 12BBB 32(34 )24BqavabEI BqABvBvcvC BqCABqCA=+（1 1） （2 2） 326Bqa

15、EI 12BBBvvv 43()(34 )824q abqaabEIEI 33()66q abqaE IE I 精选课件 maxvv 10-4 10-4 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 建筑工程中的梁主要是强度条件控制，即按强度条件建筑工程中的梁主要是强度条件控制，即按强度条件设计出梁的截面尺寸，然后进行刚度校核。设计出梁的截面尺寸，然后进行刚度校核。 刚度条件就是将最大挠度控制在一定范围内，而对转刚度条件就是将最大挠度控制在一定范围内，而对转角一般不要求。角一般不要求。 建筑钢梁的许可挠跨比：建筑钢梁的许可挠跨比：112501000vl 精选课件例例6 图示图示

16、一圆木桁条，一圆木桁条，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/mq=1.04kN/m，桁条的容许挠度，桁条的容许挠度 v=l/200, ,试校试校核此桁条的刚度。核此桁条的刚度。qBAlvmax444cm8956462.1114. 364 dI EIqlv38454max 解：解：查表查表 vllEIqlv 6 .1411089510103846 . 31004. 153845864334max可见，不满足刚度条件。因此需重新设计圆木的直径。可见，不满足刚度条件。因此需重新设计圆木的直径。精选课件qBAlvmax644dI vEIqlv 38454max（2 2

17、）重新设计桁条尺寸）重新设计桁条尺寸 根据刚度条件：根据刚度条件： vdEqlEIqlv 444max6438453845 mvEqld46443441054. 26 . 314. 310103842006 . 31004. 15643845 md126. 0 例例6 图示图示一圆木桁条，一圆木桁条，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/mq=1.04kN/m，桁条的容许挠度，桁条的容许挠度 v=l/200, ,试校试校核此桁条的刚度。核此桁条的刚度。精选课件二、提高梁刚度的主要措施二、提高梁刚度的主要措施挠曲线微分方程：挠曲线微分方程：zEIxMv)( 转角：转角：)( xv 1 1、选择合理的截面形状，以增大截面惯性矩、选择合理的截面形状，以增大截面惯性矩Iz尽量减小梁的跨度或长度，减少弯矩数值尽量减小梁的