131单调性与最大小值1PPT学习教案

1、会计学1131单调性与最大小值单调性与最大小值1【知识提炼知识提炼】1.1.增函数与减函数的相关概念增函数与减函数的相关概念f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2) )第1页/共49页2.2.函数的单调性及单调区间函数的单调性及单调区间增函数或减函数增函数或减函数单调性单调性区间区间D D第2页/共49页【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题: :(1)(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗所有的函数在定义域上都具有单调性吗? ?提示提示: :并不是所有函数在定义域上都是单调的并不是所有函数在定义域上都是单调的, ,如函数如函数f(x)=1,xRf(x)=1,xR在在

2、定义域上就不是单调的定义域上就不是单调的. .第3页/共49页(2)(2)增、减函数定义中的增、减函数定义中的“任意任意x x1 1,x,x2 2DD”可否改为可否改为“存在存在x x1 1,x,x2 2DD”? ?提示提示: :不能改不能改, ,如函数如函数f(x)= xf(x)= x2 2中中, ,虽然虽然f(-1)f(2),f(-1)f(2),但该函数在定义域但该函数在定义域上不是单调函数上不是单调函数. .(3)(3)函数函数f(x)f(x)在实数集在实数集R R上是增函数上是增函数, ,则则f(1)f(4)f(1)f(4)成立吗成立吗? ?提示提示: :成立成立. .由于函数在由于函

3、数在R R上是增函数上是增函数, ,且且14,14,故故f(1)f(4).f(1)A.kB.k-B.k-C.kC.k D.k-D.k-【解析解析】选选C.C.若若y=(2k-1)x+by=(2k-1)x+b是是R R上的减函数上的减函数, ,则必有则必有2k-10,2k-10,所以所以kkf(b),f(a)f(b),则则a a与与b b的大小关系是的大小关系是. .【解析解析】因为因为f(x)f(x)在在R R上是增函数上是增函数, ,所以当所以当f(a)f(b)f(a)f(b)时时, ,有有ab.ab.答案答案: :abab第7页/共49页5.5.如图所示为函数如图所示为函数y=f(x),x

4、-4,7y=f(x),x-4,7的图象的图象, ,则函数则函数f(x)f(x)的单调递增的单调递增区间是区间是. .【解析解析】结合单调递增函数的概念及单调区间的概念可知结合单调递增函数的概念及单调区间的概念可知, ,此函数的此函数的单调递增区间是单调递增区间是-4,-2,4,7.-4,-2,4,7.答案答案: :-4,-2,4,7-4,-2,4,7第8页/共49页【知识探究知识探究】知识点知识点 函数的单调性与单调区间函数的单调性与单调区间观察图形观察图形, ,回答下列问题回答下列问题: :第9页/共49页问题问题1:1:上面四个图象从左到右的变化趋势分别是什么上面四个图象从左到右的变化趋势

5、分别是什么? ?它们的变化趋它们的变化趋势是否相同势是否相同? ?问题问题2:2:能否说能否说f(x)= f(x)= 在定义域在定义域(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)上是减函数上是减函数? ?1x第10页/共49页【总结提升总结提升】1.1.对增函数、减函数概念的三点说明对增函数、减函数概念的三点说明(1)(1)单调性是与单调性是与“区间区间”紧密相关的概念紧密相关的概念, ,一个函数在定义域不同区一个函数在定义域不同区间内可以有不同的单调性间内可以有不同的单调性, ,即单调性是函数的一个即单调性是函数的一个“局部局部”性质性质. .第11页/共49页(2)(2)定义中的定义中的x x

6、1 1和和x x2 2有如下三个特征有如下三个特征: :任意性任意性: :即即“任意取任意取x x1 1和和x x2 2”中中“任意任意”二字不能去掉二字不能去掉, ,证明时不能证明时不能以特殊代替一般以特殊代替一般; ;有大小之分有大小之分; ;属于同一个单调区间属于同一个单调区间. .(3)(3)函数单调性给出了自变量与函数值之间的互化关系函数单调性给出了自变量与函数值之间的互化关系: :比如比如f(x)f(x)在在定义域定义域I I上是减函数上是减函数, ,若若x x1 1,x,x2 2I,I,则则f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )x x1 1x0(1)y=ax+b,a0时时

7、, ,单调增区间为单调增区间为(-,+);a0(-,+);a0(2)y= ,a0时时, ,单调减区间为单调减区间为(-,0)(-,0)和和(0,+);a0(0,+);a0+n,a0时时, ,单调减区间为单调减区间为(-,m,(-,m,单调增区间为单调增区间为m,+);a0m,+);a4.4.4x第24页/共49页【解析解析】函数函数f(x)f(x)在在(2,+)(2,+)上是增函数上是增函数, ,证明如下证明如下: :任取任取x x1 1,x,x2 2(2,+),(2,+),且且x x1 1xx2 2, ,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=(x=(x1 1-x-x2 2)

8、+ =(x)+ =(x1 1-x-x2 2) ) 因为因为2x2x1 1xx2 2, ,所以所以x x1 1-x-x2 20,x4,x4,x1 1x x2 2-40,-40,所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).所以函数所以函数f(x)=x+ f(x)=x+ 在在(2,+)(2,+)上是增函数上是增函数. .4x121244xxxx211 24 xxxx1 21 2xx4.xx第25页/共49页【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )将本例中区间将本例中区间“(2,+)(2,+)”改

9、为改为“(0,2)(0,2)”, ,判断函数判断函数f(x)f(x)的单调性的单调性, ,并证明并证明. .第26页/共49页【解析解析】函数函数f(x)f(x)在在(0,2)(0,2)上是减函数上是减函数, ,证明如下证明如下: :任取任取x x1 1,x,x2 2(0,2),(0,2),且且x x1 1xx2 2, ,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=(x=(x1 1-x-x2 2)+ =(x)+ =(x1 1-x-x2 2) )因为因为0 x0 x1 1xx2 22,2,所以所以x x1 1-x-x2 20,0 x0,0 x1 1x x2 24,x4,x1 1x x

10、2 2-40,-40,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).所以函数所以函数f(x)=x+ f(x)=x+ 在在(0,2)(0,2)上是减函数上是减函数. .4x121244xxxx211 24 xxxx1 21 2xx4.xx第27页/共49页2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )将本例中的函数将本例中的函数“f(x)=x+ f(x)=x+ ”变为变为“f(x)= f(x)= ”, ,求证函数求证函数f(x)f(x)在在(-1,+)(-1,+)上为减函数上为减函数. .4x2 xx 1第28页/共49页【证明证明】任取任取x x1 1,x,x2 2(-1,

11、+),(-1,+),且且x x1 1xxx1 1-1,-1,所以所以x x2 2-x-x1 10,(x0,(x1 1+1)(x+1)(x2 2+1)0,+1)0,因此因此f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),所以所以f(x)f(x)在在(-1,+)(-1,+)上为减函数上为减函数. .21212123 xx12 x2 x.x1x1x1 x1第29页/共49页【方法技巧方法技巧】利用定义证明函数单调性的步骤利用定义证明函数单调性的步骤(1)(1)取值取值: :设设x x1 1,x,x2 2是该区间内的任意两个值是该区间内的任意

12、两个值, ,且且x x1 1x0,0,则必有则必有( () )A.A.函数函数f(x)f(x)先增后减先增后减B.B.函数函数f(x)f(x)先减后增先减后增C.C.函数函数f(x)f(x)是是R R上的增函数上的增函数D.D.函数函数f(x)f(x)是是R R上的减函数上的减函数 f af ba b第31页/共49页【解析解析】选选C.C.由由 00知知, ,当当abab时时,f(a)f(b);,f(a)f(b);当当abab时时,f(a)f(b),f(a)00”变为变为“(a-b)f(a)-f(b)0(a-b)f(a)-f(b)bab时时,f(a)f(b);,f(a)f(b);当当abaf

13、(b),f(a)f(b),所以函数所以函数f(x)f(x)是是R R上的减函数上的减函数. . f af ba b第33页/共49页类型三类型三函数单调性的应用函数单调性的应用【典例典例】1.(20151.(2015张家界高一检测张家界高一检测) )已知函数已知函数f(x)=f(x)=是是R R上的增函数上的增函数, ,则则a a的取值范围是的取值范围是. .2.(20152.(2015广州高一检测广州高一检测) )已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)是定义在是定义在(0,+)(0,+)上的增函上的增函数数, ,对于任意的对于任意的x0,y0,x0,y0,都有都有f(xy)=f(x)+f(

14、y),f(xy)=f(x)+f(y),且满足且满足f(2)=1.f(2)=1.(1)(1)求求f(1),f(4)f(1),f(4)的值的值. .(2)(2)求满足求满足f(2)+f(x-3)2f(2)+f(x-3)2的的x x的取值范围的取值范围. .2xax 5,x 1,a,x 1x第34页/共49页【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中x1x1时对应的函数值时对应的函数值f(x)f(x)与与f(1)f(1)的大小关系的大小关系如何如何? ?提示提示: :f(x)f(x)是是R R上的增函数上的增函数, ,所以所以x1x1时时f(x)f(1).f(x)f(1).2.2.典例典例2 2

15、中中f(2)=1,f(2)=1,则则2 2与与f(2)f(2)什么关系什么关系? ?提示提示: :2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).第35页/共49页【解析解析】1.1.因为因为f(x)f(x)在在R R上是单调递增的函数上是单调递增的函数, ,所以所以f(x)f(x)需满足在需满足在区间区间(-,1(-,1和和(1,+)(1,+)上都是单调递增的上都是单调递增的, ,并且端点处并且端点处x=1x=1的函数值的函数值-1-12 2-a-5 ,-a-5 ,即即a-3;f(x)=-xa-3;f(x)=-x2 2-ax-5-ax-5的对称轴为直线的对

16、称轴为直线x=- ,x=- ,且在且在(-,1(-,1上单调递增上单调递增, ,所以所以- 1,- 1,即即a-2;f(x)= a-2;f(x)= 在在(1,+)(1,+)上单调上单调递增递增, ,所以所以a0.a0.综上所述综上所述,a,a的取值范围是的取值范围是-3,-2.-3,-2.答案答案: :-3,-2-3,-2a1a2a2ax第36页/共49页2.(1)2.(1)令令x=y=1,x=y=1,得得f(1)=f(1)+f(1),f(1)=f(1)+f(1),所以所以f(1)=0,f(1)=0,令令x=y=2,x=y=2,得得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,f(4)=f(2)+

17、f(2)=1+1=2,所以所以f(4)=2.f(4)=2.(2)(2)由由f(2)=1f(2)=1及及f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y)可得可得2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).因为因为f(2)+f(x-3)2,f(2)+f(x-3)2,所以所以f(2(x-3)f(4).f(2(x-3)f(4).又函数又函数f(x)f(x)在定义域（在定义域（0,+0,+）上是单调增函数）上是单调增函数, ,所以所以 解得解得3x5.3f(b)f(a)f(b)ab,ab,单调减函数单调减函数f(x)f(x)中中f(a)f(b)f(a)

18、f(b)ab,af(3m-4),f(2m+1)f(3m-4),求求m m的取值范围的取值范围. .【解题指南解题指南】由由y=f(x)y=f(x)在在R R上是增函数可知上是增函数可知f(2m+1)f(3m-4)f(2m+1)f(3m-4)2m+13m-4,2m+13m-4,解此不等式即可解此不等式即可. .【解析解析】由由y=f(x)y=f(x)在在R R上是增函数且上是增函数且f(2m+1)f(3m-4)f(2m+1)f(3m-4)知知,2m+13m-4,2m+13m-4,解得解得m5,m5,所以所以m m的取值范围是的取值范围是(-,5).(-,5).第40页/共49页【补偿训练补偿训练

19、】(2015(2015杭州高一检测杭州高一检测)f(x)=)f(x)=是定义在是定义在R R上的减函数上的减函数, ,则则a a的取值范围是的取值范围是. .【解题指南解题指南】一次函数在定义域上单调递减一次函数在定义域上单调递减, ,则一次项系数要小于则一次项系数要小于0.0.(3a 1)x 4a,x 1,ax,x 1第41页/共49页【解析解析】因为因为f(x)= f(x)= 是是R R上的减函数，上的减函数，答案：答案：3a 1 x 4a,x 1,ax,x 13a 1 0,11a 0a.833a 14aa 所以，解得，1 1)8 3，第42页/共49页规范解答规范解答 利用函数单调性求解参数取值范围利用函数单调性求解参数取值范围【典例典例】(12(12分分) )已知已知y=f(x)y=f(x)在定义域在定义域(-1,1)(-1,1)上是减函数上是减函数, ,且且f(1-a)f(1-a)f(2a-1),f(2a-1),求求a a的取值范围的取值范围. .【审题指导审题指导】不等式不等式f(1-a)f(2a-1)f(1-a)f(2a-1)为抽象不等式为抽象不等式, ,不能直接解不能直接解. .考考虑到函数的单调性虑到函数的单调性, ,可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系关