指数与指数函数讲义

1、指数与指数函数课前双击巩固1.根式概念 如果xn=a,那么x叫作a的 淇中n>1,nC Nn -n当n是 时,a的n次方根为x=Va次当n是 时，正数a的n次方根为x= ±va,方 性质根负数的偶次方根0的任何次方根都是0,记作nv0=0概念 式子n而叫作，其中n叫作,a叫作根式当n为奇数时，通性质当n为偶数时，n3n=|a|= 2 .有理数指数哥(1)哥的有关概念正数的正分数指数哥：aF=n/am(a>0,mn C N*且n>1).正数的负分数指数哥:a-n= 9nm(a>0,mn 6 N且 n>1).0的正分数指数哥等于,0的负分数指数哥(2)有理数

2、指数哥的性质 a ras=(a>0,r ,s C Q;(ar)s=(a>0,r,s £ Q;(ab)r=(a>0,b>0,r C Q).3 .指数函数的图像与性质xy=a（a>0 且aw 1）图像定义域值域性质a>10<a<1当x>0时,;当x<0时,在R上是过定点当x>0时,;当x<0时,在R上是常用结论1 .指数函数y=ax+b（a>0且aw 1）的图像恒过定点（0,1+b）.2 .指数函数y=ax（a>0且aw 1）的图像以x轴为渐近线.题组一常识题1 . 若 x+x-1 =3,贝U x2-x

3、-2=.2 .已知2x-1<23-x,则x的取值范围是 .3 .函数y=ax-1+2（a>0且a w 1）的图像恒过定点 .4 .下列所给函数中值域为（0,+8）的是.（填序号）y二-5x, y=(1)， y=/(2) -1, y=v1 - 2x. 32题组二常错题索引：忽略n的范围导致式子 van（a C R）化简出错；不能正确理解指数函数的概念致错；指数函数问题时刻注意底数的两种情况；复合函数问题隐含指数函数值域大于零的情况3 /4 /5 .计算 V(1+ v2) 3+V(l -v2)4=.6 .若函数f (x)=(a2-3) - ax为指数函数，则a=.7 .若函数f (x)

4、=ax在-1 ,1上的最大值为2,则a=.8 .设函数f (x)=ax2+bx+c(a>0)满足f (1-x尸f (1+x)，则f (2x)与f (3x)的大小关系是课堂考点探究探究点一指数哥的化简与求值例题 1 (1)已知 a-a=3(a>0),贝U a2+a+a-2+a-1 的值为()A.13- aATB.11- aA3C.13+HD.11 + v31171计算 0.02 73+2560.75- (4 27) 3-72 9,.总结反思指数哥运算的一般原则：(1)指数哥的运算首先将根式、分数指数哥统一为分数指数哥，以便利用法则计算.(2)先乘除后加减，负指数哥化成正指数哥的倒数.

5、(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.变式题(1)计算 43><2 7-2+3兀0=.(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根，且a>b>0,则 C=.0探究点二指数函数的图像及应用例题2 (1)函数y=1-e|x|的图像大致是()ABCD图 2-8-1 已知 f (x)=|2x-1|，当 a<b<c 时，有 f (a)>f (c)>f(b),则必有 ()A.a<0,b<0,c<0 B.a<0 ,b&g

6、t;0,c>0C2a <2c D.1<2a+2c<2总结反思 (1)研究指数函数y=ax(a>0,aw 1)的图像要抓住三个特殊点：(1,a),(0J),-1 1.(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过甘赘对邺变换得到其图像.(3) 一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图像，利用迎娶黄宜枣解.变式题(1)在同一平面直角坐标系中，函数y=ax(a>0且aw 1)与y=(1-a)x的图像可能是(图 2-8-2(2)已知函数y=(7)x的图像与指数函数y=ax的图像关于y轴对称，则实数a的值为()'

7、2a -4A.1 B.2C.4 D.8。探究点三指数函数的性质及应用EH3考向1比较指数式的大小例题 3 (1)已知 a=2'b=45,c=253，贝U ()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b若-1<a<0,则3a,a3,a3的大小关系是 (用“ >”连接).总结反思指数式的大小比较，靠的就是指数函数的单调性，当所比较的指数式的底数小于0时,要先根据指数式的运算法则把底数化为正数,再根加知薮函数的性质比较其大小.考向2解简单的指数方程或不等式例题4 (1)已知函数f(x)=2 -1)>表则不等

8、式f(x)<f($的解集是1, x w 1,x(2)方程 4x+|1-2 x|=11 的解为 .总结反思(1)af(x)=ag(x)? f_(x)=g(x);小')>/",当 a>1 时,等价于 f(x)>_g_(x.)；当 0<a<1 时，等价 于 f (x)<g(x).考向3指数函数性质的综合问题例题5 (1)函数f (x)=a+exb7(a,be R)是奇函数，且图像经过点(ln 3 ,),则函数f(x)的值域为()A.(-1,1) B. (-2 ,2)C.(-3,3) D. (-4 ,4)(2)若不等式1+2x+4x a>

9、;0在xC (-8,1时恒成立，则实数a的取值范围是 .总结反思指数函数性质的重点是其单W生，解题中注意利用单调性实现问题的转化.强化演练2321 .【考向 1】已知 a=(|)5,b=(5)5,c=(2)5，则()A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<c<a2 .【考向2】若存在正数x使2x(x-a)<1成立，则a的取值范围是()A.(-oo,+oo) B. (-2 ,+OO)C.(0,+8)D (-1 , + 8)4xx>0.3 .【考向2】已知实数aw1,函数f(x)=2a：x x <0 0若f(1-a)=

10、f(a-1),则a的值为.4 .【考向2】若偶函数f(x)满足f (x)=2x-4(x>0),则不等式f(x-2)>0的解集为.5 .【考向3已知函数f(x)=b ax(其中a,b为常数且a>0,aw 1)的图像经过点 A(1,6)旦3,24).1 X 1 x若不等式(a) +(_)-m>0在xC (-8,1时恒成立，则实数m的取值范围为 .参考答案1. n次方根奇数偶数没有意义根式根指数被开方数 a a(a >0), -a(a < 0)2. (1)0 没有意义(2)ar+sars arbr3. (0,+°°)(0,1) y>10&

11、lt;y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数1.±3v5 解析把 x+x-1=3 两边平方，可得 x2+x-2=7，则(x-x-1)2=x2-2+x-2=5，所以 x-x-1=± J5,所 以 x?-x 2=(x+x i )(x-x i)= ± 3 v5.2. (-00,2)解析根据指数函数性质，得x-1<3-x，解得x<2所以x的取值范围是(-oo,2).3. (1,3)解析令x-1=0，得x=1，此时y=a°+2=3所以函数图像恒过定点(1,3).1-x4.解析对于,1-x R，y=(3)的值域是(0,+川；的

12、值域为(-8,0)；的值域为0,+ 8)；的值域为0,1).一,一3,4,一 ,丁丁一5.2 V2 解析V(1+ v2)3 + V(1 -v2)4=1+v2+|1- v2|=2v.a2-3=1,6.2解析由指数函数的定义可得a> 0,解得a=2.a w 1,7.2 或1 解析若 a>1,则 f (x)max=f (1)=a=2;若 0<a<1,则 f (x)ma尸f (-1 )=a1=2，得 a=2. xx8.f (3)>f(2)解析f(x)满足 f (1-x)=f (1+x),，f (x)的图像关于直线 x=1 对称.由 a>0 知,f(x)图像的开口向上

13、.当x<0时,2x<1,3x<1,2x>3x,且f(x)为减函数，故f (2x)<f(3x);当x>0 时,2x>1,3x>1,3x>2x,且 f (x)为增函数，故 f(3x)>f(2x);当 x=0 时,f (3x)=f (2x).故 f(3x)>f (2x).【课堂考点探究】例1 思路点拨(1)利用完全平方公式找到a-,a2+42,a+1之间的关系即可求解；(2)根据分数aa-a指数哥的运算法则进行计算.(1)D (2)60.7解析(1)由 a-：=3,得 a-g 2=9，即 a2+-2=9，故 a2+a-2=11.又(a

14、+a-1)2=a2+a-2+2=11+2=13，且 a>0,所以 a+a-1=v13.于是 a2+a+a-2+a-1=11+v13,故选 D.(2)原式=0.3+ (44) 4-( 125)-3-(36)1=0.3+43- 3-3=60.7. 2 75变式题 (1)84 (2)-55 解析(1)原式=(3-2)-3X (33)-3+3=3-2x (3) X 33x (-3)+3=36 X 3-2 +3=36-2 +3=34+3=84.k k 2,加"口va-Vba+b -2Azab 6-2 4 1由已知仔，a+b=6，ab=4所以(.二) =a+b+2，芯=6+2 M =5.因

15、为a>b>0所以va>vb,所以占二W5. va+v b 5例2 思路点拨(1)结合解析式和图像，分析奇偶性和值域可得结论；(2)作出函数f(x)的图像,再重点分析a与c的情况.(1)A (2)D 解析(1)将函数解析式与图像对比分析，函数y=1-e冈是偶函数，且值域是(-8,0,只有A选项满足上述两个性质，故选A.(2)作出函数f(x)=|2x-1|的图像，如图所示，因为a<b<c,且有f (a)>f (c)>f (b),所以必有a<0,0<c<1, 且|2 a-1|>|2 c-1| ,所以 1-2a>2c-1，则 2a

16、+2c<2,且 2a+2c>1.故选 D.变式题 (1)C (2)C 解析(1)若a>1,则1-a<0,函数y=ax单调递增，y=(1-a )x单调递减；若 0<a<1,则1-a>0,函数y=a，单调递减，y=(1-a)x单调递增.所以y=a，与y=(1-a )x单调性相反，排 除ADy=ax的图像过定点(0,1)，所以排除B.故选C.1a(2)由两函数的图像关于y轴对称，可知0与a互为倒数，即20二=1，斛佝a=4.例3 思路点拨(1)化为同底指数式，结合指数函数的单调性比较；(2)先将底数在a>0且aw1 范围内进行转化，再结合指数函数白单调

17、性比较.a 3 14 , 一,154 15 -20 154 1 5 -12 15 八_5 -20 _一,15 15 15,A (2)3 >a >a3 解析(1)由 a =(2 3) =2 ,b =(2 5) =2 ,c =25 >2，可知 b <a <c，所以b<a<c.(2)易知 3a>0,a3<0,a3<0,又由-1<a<0 得 0<-a<1 所以(-a )3<(-a ”,即-a 3<-a所以 a3>a3,因此3a>a3>a3.例4 思路点拨(1)结合函数的单调性，分x>

18、2,1<x<2,0<xw 1,x<0四种情况求解；(2)分情况讨 论去掉绝对值，解相应的指数方程.(0,v2)(2) x=log 23 解析(1)当x>2时,1,不等式无解；当1<x<2时,1<|<2,结合函数的单调性，由不等式f (x)<f(2)得x<2,得1<x<v2;当0<xw 1时,：>2,不等式f1成立；当*<0时<0,2不等式无解.综上可得，不等式f(x)<f(x)的解集是(0,v2).当xW0时,1-2x>0,原方程即为4x-2x-10=0，可得2、=2+?,此日x&

19、gt;0,故舍去.当x>0时,1-2x<0,原方程即为4x+2x-12=0，可得2x=3，则x=log 23.故原方程的解为 x=log 23.例5 思路点拨(1)根据条件先确定a,b的值，再依据指数函数的值域确定函数f (x)的值域;(2)分离参数根据指数函数单调性和不等式恒成立得出关于a的不等式，解之即可.3.一一一，一一 一b _小(1)A (2)(-4,+ 8)解析(1)函数 f(x)为奇函数，则 f(0)=a+2=0，函数图像过点 L 3 9,则f(ln 3产a+b=1.2xx22结合可得 a=1,b=-2，则 f(x)=1-ex+p 因为 e>0,所以 e+1&g

20、t;1所以 0<<2,所以-1<1- e7+?<1,即函数f (x)的值域为(-1 ,1).(2)从已知不等式中分离出实数a,得a>-(1)x+ (1).:函数y=(；)x和y=(2-)x在R上都是减函数， .当 xe(-8,1时Gxwdxw,-<-4.1(4) +(2) WT3,从而得-"(；)+(1) 3故实数a的取值范围为a- 强化演练2 x . 3 2-.1 .D 解析:丫=4)在R上为减函数,5>5,.-. b<c.又< y=x5在(0, + 8)上为增函,|>|,. a>G，b<c<a. 5 5xx1