高考数学一轮复习教学案（基础知识+高频考点+解题训练）函数y＝sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用（含解析）

1、第四节函数ysin(x)的图象及三角函数模型的简单应用知识能否忆起一、yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A>0，>0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx二、用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示:xx02yAsin(x)0A0A0三、函数ysinx的图象变换得到yAsin(x)的图象的步骤小题能否全取1函数ysin的图象的一条对称轴的方程是()Ax0BxCxDx2解析:选C由k得x2k(kZ)故x是函数ysin的一条对称轴2(教材习题改编)已知简谐运动f(x)2sin的图象经过

2、点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()AT6，BT6，CT6，DT6，解析:选A最小正周期为T6；由2sin1，得sin，.3(2012·安徽高考)要得到函数ycos(2x1)的图象，只要将函数ycos2x的图象()A向左平移1个单位B向右平移1个单位C向左平移个单位D向右平移个单位解析:选Cycos(2x1)cos2，只要将函数ycos2x的图象向左平移个单位即可4用五点法作函数ysin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_、_、_、_、_.答案:5函数yAsin(x)(A，为常数，A>0，>0)在闭区间，0上的图象如图所示，则_.解析:观察函数图

3、象可得周期T，则T，所以3.答案:31.确定yAsin(x)k(A>0，>0，|<)中的参数的方法:在由图象求解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，由周期T确定，即由T求出，由特殊点确定2由ysinx的图象变换到yAsin(x)的图象，两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(>0)个单位原因在于相位变换和周期变换全是针对x来说，即x本身加减多少值，而不是于x加减多少值函数yAsin(x)的图象典题导入例1已知函数f(x)3sin，xR.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的

4、简图；(2)将函数ysin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？自主解答(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图(2)先把ysin x的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象由题悟法函数yAsin(x)(A>0，>0)的图象的作法(1)五点法：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换法：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象

5、，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”以题试法1(2012·江西省重点中学联考)把函数ysin图象上各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为()AxBxCx Dx解析：选A依题意得，经过图象变换后得到的图象相应的解析式是ysinsincos 2x，注意到当x时，ycos()1，此时ycos 2x取得最大值，因此直线x是该图象的一条对称轴.求函数yAsin(x)的解析式典题导入例2(2011·江苏高考)函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是_自主解答由图可知：

6、A，所以T，2，又函数图象经过点，所以2×，则，故函数的解析式为f(x)sin，所以f(0)sin.答案若本例函数的部分图象变为如图所示，试求f(0)解：由图知A5，由，得T3，.此时y5sin.将最高点坐标代入y5sin，得5sin5，2k，2k(kZ)f(x)5sin，f(0)5sin.由题悟法确定yAsin(x)b(A>0，>0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.(2)求，确定函数的周期T，则可得.(3)求，常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是

7、在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x0；“第二点”(即图象的“峰点”)时x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时x；“第四点”(即图象的“谷点”)时x；“第五点”时x2(如例2)以题试法2(1) (2012·浙江金华模拟)已知函数f(x)Asin(x)的图象与y轴交于点(0，)，在y轴右边到y轴最近的最高点坐标为，则不等式f(x)>1的解集是()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析：选D依题意A2,2sin 且|<，则，由2sin2得，则2，由f(x)2sin>1，得

8、2k<2x<2k(kZ)，所以k<x<k(kZ)(2)(2012·长春调研)函数ycos(x)(>0,0<<)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点、最低点，且AB2，则该函数图象的一条对称轴为()AxBxCx2 Dx1解析：选D由ycos(x)为奇函数知k，其中kZ.又0<<，所以，则ycossin x.由AB2知 2，所以T4，得，ysin .结合选项知当x1时，ysin 1，此时函数ysin取得最小值，因此该函数图象的一条对称轴为x1.函数yAsin(x)的图象与性质的综合应用典题导入例3已知函数f(x)As

9、in(x)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x02，2)(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)求f(x)的增区间；(3)若x，求f(x)的值域自主解答(1)由图象知A2，由2得T4，所以.f(x)2sin，f(0)2sin 1，又|<，f(x)2sin，由f(x0)2sin2，x02k，x04k，kZ，又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，x0.(2)由2kx2k，kZ得4kx4k，所以f(x)的增区间为，kZ.(3)x，x，sin1，f(x)2，所以f(x)的值域为，2由题悟法利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之

10、间的距离为三角函数的个最小正周期，可求解参数的值，利用图象的最高点、低点为三角函数最值点，可求解参数A的值在求函数值域时，由定义域转化成x的范围，即把x看作一个整体，再结合三角函数的图象求解以题试法3函数f(x)Asin1(A>0，>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设，则f2，求的值解：(1)因为A13，所以A2.又因为函数图象相邻对称轴之间的距离为半个周期，所以，得T，所以2，所以f(x)2sin1.(2)因为f2sin12，所以sin.因为0<<，所以<<，所以，所以.1函数ycos x(xR)的图

11、象向左平移个单位后，得到函数yg(x)的图象，则g(x)的解析式应为()Asin xBsin xCcos x Dcos x解析：选A由图象的平移得g(x)cossin x.2(2012·潍坊模拟)将函数ycos 2x的图象向右平移个单位长度，得到函数yf(x)·sin x的图象，则f(x)的表达式可以是()Af(x)2cos x Bf(x)2cos xCf(x)sin 2x Df(x)(sin 2xcos 2x)解析：选B 平移后的函数解析式是ycos 2sin 2x2sin xcos x，故函数f(x)的表达式可以是f(x)2cos x.3(2012·天津高考)

12、将函数f(x)sin x(其中>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是()A. B1C. D2解析：选D将函数f(x)sin x的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为f(x)sin sin.又因为函数图象过点，所以sinsin0，所以k，即2k(kZ)，因为>0，所以的最小值为2.4.(2012·海淀区期末练习)函数f(x)Asin(2x)(A>0，R)的部分图象如图所示，那么f(0)()A BC1 D解析：选C由图可知，A2，f2，2sin2，sin1，2k(kZ)，2k(kZ)，f(0)2sin 2sin2×1.5.

13、(2013·福州质检)已知函数f(x)2sin(x)(>0)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是()A.B.C. D.解析：选D由函数的图象可得T，T，则2，又图象过点，2sin2，2k，kZ，f(x)2sin，其单调递增区间为，kZ，取k0，即得选项D.6.(2012·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()Aysin BysinCysin Dysin解析：选C由题意可得，函数的初相位是，排除B、

14、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T60，所以|，即.7.(2012·南京模拟)已知函数f(x)Atan(x)，yf(x)的部分图象如图，则f_.解析：由题中图象可知，此正切函数的半周期等于，即周期为，所以，2.由题意可知，图象过定点，所以0Atan，即k(kZ)，所以，k(kZ)，又|，所以，.再由图象过定点(0,1)，得A1.综上可知，f(x)tan.故有ftantan.答案：8.(2012·成都模拟)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的关系式为s6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为_s.解析：单摆来回摆动一次

15、所需的时间即为一个周期T1.答案：19给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；(3)图象向右平移个单位；(4)图象向左平移个单位；(5)图象向右平移个单位；(6)图象向左平移个单位请用上述变换中的两种变换，将函数ysin x的图象变换到函数ysin的图象，那么这两种变换正确的标号是_(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)解析：ysin xysinysin，或ysin xysinxysinsin.答案：(4)(2)(或(2)(6)10(2012·苏州模拟)已知函数yAsin(x)n

16、的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x是其图象的一条对称轴，若A>0，>0,0<<，求函数的解析式解：由题意可得解得又因为函数的最小正周期为，所以4.由直线x是一条对称轴可得4×k(kZ)，故k(kZ)，又0<<，所以.综上可得y2sin2.11设函数f(x)cos(x)的最小正周期为，且f.(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象解：(1)周期T，2，fcoscossin ，<<0，.(2)f(x)cos，列表如下：2x0x0f(x)1010图象如图：12已知函数f(x)2sincossin (x)(

17、1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值解：(1)因为f(x)sinsin xcos xsin x22sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，g(x)f2sin2sin.x0，x，当x，即x时，sin1，g(x)取得最大值2.当x，即x时，sin，g(x)取得最小值1.1(2012·江西九校联考)已知A，B，C，D是函数ysin(x)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对

18、称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则，的值为()A2， B2，C， D，解析：选A由在x轴上的投影为，知OF，又A，所以AF，所以2.同时函数图象可以看做是由ysin x的图象向左平移而来，故可知，即.2已知f(x)sin，g(x)cos，则下列结论中正确的是()A函数yf(x)·g(x)的周期为2B函数yf(x)·g(x)的最大值为1C将f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象D将f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象解析：选Df(x)sincos x，g(x)coscossin x，yf(x)·g(x)cos x·sin

19、 xsin 2x.T，最大值为，选项A、B错误又f(x)cos xg(x)cos选项C错误，D正确3为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住

20、客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解：(1)设该函数为f(x)Asin(x)B(A>0，>0，0<|<)，根据条件，可知这个函数的周期是12；由可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)f(2)400，故该函数的振幅为200；由可知，f(x)在2,8上单调递增，且f(2)100，所以f(8)500.根据上述分析可得，12，故，且解得根据分析可知，当x2时f(x)最小，当x8时f(x)最大，故sin1，且sin1.又因为0<|<，故.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)200sin300.(2)由条件可知，200si