第五部分三角函数、三角恒等变换、解三角形

1、第五部分 三角函数、三角恒等变换、解三角形一、知识梳理（一）基本知识梳理：见步步高文科P116P118；理科P128P130。 （二）要点梳理：1.若，则；角的终边越“靠近”轴时，角的正弦、正切的绝对值就较大，角的终边“靠近”轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大.例1方程的解的个数为个.解析：在平面直角坐标系中作出函数与的图像，由函数都是奇函数，而当时恒成立.在时，所以两函数图像只有一个交点（坐标原点），即方程只有一个解。同样：当时，方程只有唯一解.定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：由未必有；由同样未必有；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如；则；或；若，则

2、；若，则.例1已知都是第一象限的角，则“”是“”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.解析：都是第一象限的角，不能说明此两角在同一单调区间内.如都是第一象限的角，但.选D.例2已知，则“”是“”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.解析：注意到由，则可以看作是一三角形的两内角.选C.3.已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由的值求的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和

3、（差）的三角公式求得.例1已知，求的值.解析：由得：，则或.又，所以.，.4.欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次，即：；引入辅助角（特别注意，经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为的形式.函数的周期是函数周期的一半.注意辅助角的应用：.其中，且角所在的象限与点所在象限一致.5.当自变量的取值受限制时，求函数的值域，应先确定的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定的取值范围，并注意A的正负；千万不能把取值范围的两端点代入表达式求得.6.三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关

4、的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道ABC三边平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为（其中R是ABC外接圆半径）.7.在ABC中：；，等常用的结论须记住.三角形三内角A、B、C成等差数列，当且仅当.例1（1）已知ABC三边成等差数列，求B的范围；（2）已知ABC三边成等比数列，求角B的取值范围.解析：（1）由ABC的三边成等差数列，则，消去化得.所以；（2）同样可以求得.例2ABC中，内角A、B、C的对边分别为，已知成等比数列，且.（1）求的值；（2）设，求的值.解析：（1）先切化弦：.由成等比，所以.由得，则.（2）注意到，所以，则.又由余弦定理得：

5、，得，所以.8.这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本关系式，但是它们在求值过程中经常会用到，要能熟练地掌握它们之间的关系式：.求值时能根据角的范围进行正确的取舍.例已知关于的方程有实数根，求实数的取值范围.解析：令，则，其中.则关于的方程在上有解.注意到方程两根之积为1，若有实根必有一根在内，只要即可，得或.9.正（余）弦函数图像的对称轴是平行于轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的距离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期；函数的图像没有对称轴，它们的对称中心为.两相邻对称轴之间的距离也是半个周期.例若函数的

6、图像关于点成中心对称，则. （答案：）10.三角形中的边角关系：设ABC，角A，B，C的对边为a，b，c，外接圆半径为R，内切圆半径为r，面积为S，则角的关系：A+B+C=；边的关系：a+b>c, b+c>a, c+a>b; 边角关系：正弦定理a=2RsinA等，余弦定理a2=b2+c22bccosA等。三角形的形状：ABC（设a<b<c）为锐角三角形a2+b2>c2；ABC（设a<b<c）为直角三角形a2+b2=c2；ABC（设a<b<c）为钝角三角形a2+b2<c2；A的平分线AE（EBC）满足：；面积：S=二易错易混易忘知

7、识点提醒：【易错点1】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。1.下列命题正确的是（ ） A、都是第二象限角，若，则 B、都是第三象限角，若，则 C、都是第四象限角，若，则 D、都是第一象限角，若，则。 （答案：C）【知识点归类点拔】单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来，体现了数形结合的数学思想，要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数线在解三角不等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些

8、方面有着一定的优越性。例如利用三角函数线易知，等。2.（2000全国高考）已知，那么下列命题正确的是（ ） （答案：D） A、若、都是第一象限角，则 B、若、都是第二象限角，则C、若、都是第三象限角，则 D、若、都是第四象限角，则【易错点2】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将和求错。1要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A、 先将每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向右平移个单位。B、 先将每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向左平移个单位。C、 先把每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移个单位。D、 先把每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向右平移个单位。

9、 （答案:D）【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法，一般地由得到的图象有如下两种思路：一先进行振幅变换即由横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍得到，再进行周期变换即由 纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到，再进行相位变换即由横坐标向左（右）平移个单位，即得，另种就是先进行了振幅变换后，再进行相位变换即由向左（右）平移个单位，即得到函数的图象，再将其横坐标变为原来的倍即得。不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变换都是对纯粹的变量x来说的。【易错点3】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。1.已知，求的值。 （答案：）【知识点归类点拔】在三角函

10、数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在区间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数线可知若则必有,故必有。【易错点4】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解。1. 在三角形中，已知，求三角形的内角C的大小。（答案：）【知识点归类点拔】根据已知条件确定角的大小，一定要转化为确定该角的某个三角函数值，再根据此三角函数值确定角这是求角的必然步骤，在这里要注意两点一就是要结合角的范

11、围选择合适的三角函数名称同时要注意尽量用已知角表示待求角，这就需要一定的角的变换技巧如：等。二是依据三角函数值求角时要注意确定角的范围的技巧。【易错点5】对正弦型函数及余弦型函数的性质：如图象、对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。1.如果函数的图象关于直线对称，那么a等于（ ）A. B. C.1 D.1解析：（法一）函数的解析式可化为，故的最大值为，依题意，直线是函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即，解得.故选D（法二）若函数关于直线是函数的对称则必有，代入即得。【知识点归类点拔】对于正弦型函数及余弦型函数它们有无穷多条对称轴及无数多个对称中心，它们的意义是分别使得函数取得最

12、值的x值和使得函数值为零的x值，这是它们的几何和代数特征。希望同学们认真学习本题的三种解法根据具体问题的不同灵活处理。【易错点6】利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数。1.在中，。求的面积. (答案：)【知识点归类点拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如：在中，已知a,b和A解的情况如下：（1） 当A为锐角（2）若A为直角或钝角【易错点7】三角形中的三角函数问题。对三角变换同三角形边、角之间知识的结合的综合应用程度不够。1.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 （）求角B的大小（）若，求ABC的面积.（）解法一：由正弦定理得将上式代入已知 即 又A+B+C=， 为三角形的内角，. 解法二：由余弦定理得将