最新二次函数与圆的综合-中考数学函数考点全突破

1、 1 一、考点分析：一、考点分析：二次函数与圆的综合题中涉及到的知识面还是很广的，包括待定系数法，二次函数与圆的综合题中涉及到的知识面还是很广的，包括待定系数法，勾股定理，相似三角形以及圆的基本的性质特征等等，所以对于学生的知识掌握程度要求很勾股定理，相似三角形以及圆的基本的性质特征等等，所以对于学生的知识掌握程度要求很高。这类题目基础问题考察解析式点坐标等问题，压轴问题考察动点相切以及长度面积的变高。这类题目基础问题考察解析式点坐标等问题，压轴问题考察动点相切以及长度面积的变化问题，或者相似三角形构成问题，这类难度比较大。化问题，或者相似三角形构成问题，这类难度比较大。 二、解决此类题目的基

2、本步骤与思路二、解决此类题目的基本步骤与思路 1.复习好二次函数与圆的基础题型，把基础内容掌握扎实复习好二次函数与圆的基础题型，把基础内容掌握扎实 2.整理二次函数与圆问题的常见题型整理二次函数与圆问题的常见题型 3. 正确应用二次函数的性质与圆的知识解决问题正确应用二次函数的性质与圆的知识解决问题 4. 合理的充分运用三角形的知识与定理合理的充分运用三角形的知识与定理 5.归归纳总结自己的薄弱知识环节并巩固纳总结自己的薄弱知识环节并巩固 三、三、二次函数中二次函数中圆的综合圆的综合问题问题 （一一）例题演示例题演示 1已知二次函数已知二次函数 yx2bxc1. (1)当当 b1 时时，求这个

3、二次函数的对称轴的方程；求这个二次函数的对称轴的方程； (2)若若 c14b22b，问：问：b 为何值时为何值时，二次函数的图象与二次函数的图象与 x 轴相切；轴相切； (3)如图如图，若二次函数的图象与若二次函数的图象与 x 轴交于点轴交于点 A(x1，0)，B(x2，0)，且且 x1x2，与与 y 轴的正半轴交于点轴的正半轴交于点 M，以以AB 为直径的半圆恰好经过点为直径的半圆恰好经过点 M，二次函数的对称轴二次函数的对称轴 l 与与 x 轴轴，直线直线 BM，直线直线 AM 分别相交于点分别相交于点 D，E，F，且满足且满足DEEF13，求二次函数的表达式求二次函数的表达式 2 【解析

4、】【解析】 ： 本题考察了二次函数的性质、二次函数的图像与本题考察了二次函数的性质、二次函数的图像与 x 轴的交点、顶点坐标圆周角定理，相似三角轴的交点、顶点坐标圆周角定理，相似三角形的判定与性质、根与系数的关系等知识，综合性很强。形的判定与性质、根与系数的关系等知识，综合性很强。 【解答】【解答】 (1)二次函数的对称轴为二次函数的对称轴为 xb2a， a1，b1，x12； (2)与与x轴相切就是与轴相切就是与x轴只有一个交点轴只有一个交点， 即即x2bx14b22b10有相等的实数根有相等的实数根， b24(1) 14b22b1 0 8b40，解得解得 b12，即即 b12时时，函数图象与

5、函数图象与 x 轴相切；轴相切； 设设 A(m，0)(m0)，则则 B(1m，0)，bm21m，对称轴为对称轴为 xb2m212m， yAM经过点经过点 A(m，0)，M(0，1)，yAM1mx1， yBM经过点经过点 B(1m，0)，M(0，1)，yBMmx1， 3 xEm212m，yEm212，DEm212， xFm212m，yFm212m2， DEEF13，DEDF 14， m212m212m214，m214(m0)，解得解得 m12， bm21m32， yx232x1. 【试题精炼】【试题精炼】 2在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，抛物线抛物线 yax2bxc与与M 相交于相交于

6、A，B，C，D 四点四点，其中其中 A，B 两点坐标两点坐标分别为分别为(1，0)，(0，2)，点点 D 在在 x 轴上且轴上且 AD 为为M 的直径的直径，E 是是M 与与 y 轴的另一个交点轴的另一个交点，过劣过劣弧弧ED上的点上的点 F 作作 FHAD 于点于点 H，且且 FH1.5. (1)求点求点 D 的坐标及抛物线的表达式；的坐标及抛物线的表达式； (2)若若 P 是是 x 轴上的一个动点轴上的一个动点，试求出试求出PEF 的周长最小时点的周长最小时点 P 的坐标；的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使使QCM 是等腰三角形？如果存在是等腰

7、三角形？如果存在，请直接写出点请直接写出点 Q 的坐标；的坐标；如果不存在如果不存在，请说明理由请说明理由 4 【解答】【解答】(1)如答图如答图，连连结结 MB，设设M 的半径为的半径为 r. A(1，0)，B(0，2)， 在在 RtOMB 中中，OB2，OMr1， 由勾股定理由勾股定理，得得 22(r1)2r2. r52.AD5. 点点 D 的坐标是的坐标是(4，0) 抛物线抛物线 yax2bxc 过点过点 A(1，0)，B(0，2)，D(4，0)， abc0，c2，16a4bc0，解得解得 a12，b32，c2. 抛物线的表达式为抛物线的表达式为 y12x232x2； 5 .【中考链接】

8、【中考链接】 3如图对称轴为直线如图对称轴为直线 x2 的抛物线的抛物线 yx2bxc 与与 x 轴交于点轴交于点 A 和点和点 B，与与 y轴交于点轴交于点 C，且点且点 A 的坐的坐标为标为(1，0) (1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式； (2)直接写出直接写出 B，C 两点的坐标；两点的坐标； (3)求过求过 O，B，C 三点的圆的面积三点的圆的面积(结果用含结果用含的代数式表示的代数式表示) 【解析】【解析】 ：(1)(1)根据对称轴和根据对称轴和 A A 点坐标可以求出抛物线的表达式。点坐标可以求出抛物线的表达式。(2)(2)根据抛物线解析式容易求出根据抛物线解析式容易求出 B

9、CBC 两点的两点的坐标坐标(3)(3)抓住抓住OBCOBC是直角三角形是直角三角形，所以半径就等于斜边的一半，从而快速的求出圆面积，所以半径就等于斜边的一半，从而快速的求出圆面积 6 (3)如答图，如答图， 连结连结 BC，则，则 OBC 是直角三角形，是直角三角形， 过过 O，B，C 三点的圆的直径是线段三点的圆的直径是线段 BC 的长度，的长度， 在在 Rt OBC 中，中，OBOC5， BC5 2， 圆的半径为圆的半径为5 22，S 5 222252. 4.已知抛物线已知抛物线 yax2bx3(a0)与与 x 轴交于轴交于 A(3，0)，B 两点两点，与与 y 轴交于点轴交于点 C.抛

10、物线的抛物线的对称轴是直线对称轴是直线 x1，D 为抛物线的顶点为抛物线的顶点，点点 E 在在 y 轴轴 C 点的上方点的上方，且且 CE 7 12. (1)求抛物线的表达式及顶点求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；的坐标； (2)求证：直线求证：直线 DE 是是ACD 外接圆的切线；外接圆的切线； (3)在直线在直线 AC 上方的抛物线上找一点上方的抛物线上找一点 P，使使 SPAC12SACD，求点求点 P 的坐标的坐标； (4)在坐标轴上找一点在坐标轴上找一点 M，使以点使以点 B，C，M 为顶点的三角形与为顶点的三角形与ACD 相似相似，直接写出点直接写出点 M的坐标的坐标 【解答】【

11、解答】(1)把把 A(3，0)代入代入 yax2bx3，得得 09a3b3. 抛物线的对称轴为抛物线的对称轴为 x1. b2a1. 解解组成的方程组组成的方程组，得得 a1，b2.抛物线的表达式为抛物线的表达式为 yx22x3. yx22x3(x1)24， D 的坐标是的坐标是(1，4) (2)证明：在证明：在 yx22x3 中中，当当 x0 时时，y3.C(0，3)，OC3. A(3，0)，OA3. 8 在在OAC 中中，由勾股定理得由勾股定理得 AC218. 如答图如答图， 过点过点 E 作作 EHCD，垂足为点，垂足为点 H.则则 EHCHEC212224. CD22，AC218， CD

12、 2，AC3 2. DH 2243 24. 在在 DEH 中，中，tanEDHEHDH243 2413. 在在 ACD 中，中，tanDACCDAC23 213. EDHDAC. ACD90 ，DACADC90 . 9 EDHADC90 ，即，即ADE90 . ADDE.DE 是是 ACD 外接圆的切线外接圆的切线 (3)CD 2，AC3 2. S ACD12AC CD3. 设设直线直线 AC 的函数表达式为的函数表达式为 ymxn. 把把 A(3，0)，C(0，3)代入，得代入，得 03mn，3n.解得解得 m1，n3. 直线直线 AC 的函数表达式为的函数表达式为 yx3. 设设 P(t，t22t3)，如答图，如答图， 10 (4) 0，13，(9，0)，(0，0) 提示：提示：ACD 是直角三角形，是直角三角形， ACD 与与 BCM 相似，相似， BCM 是直角三角形是直角三角形 抛物线的对称轴是直线抛物线的对称轴是直线 x1，A(3，0)，B(1，0)，OB1. 连